Les signes des valeurs de '-tt- données

par l'équation (/) (art. 99), déterminent le genre de la surface du second degré. Ou ces trois valeurs sont positives ; ou deux sont positives et la troisième négative ; ou l'une est positive et les deux autres négatives ; ou enfin les trois valeurs sont négatives , mais il est évident qu'alors la surface est imaginaire. L'équation (c^) devient , pour les trois premiers cas :

^ ^•+^r +7-**= ^ ^ Ellipsoïde, (•,!)

— «• + — ^* — — r*= I, Hyperboloïde à une nappe , (tf',a) —«»——/*— —4r*=i , Hyperboloïde à deux nappes, (e',3)

( nO

On déduit les deux dernières équations de la première (e', ï), en supposant d'abord que c

devient c y — i , et ensuite que b ex c deviennent h \/ — I , c y—i .

£n examinant chacune de ces équations séparément, on connaîtra la forme des trois surfaces qu*elles représentent.

Nous avons déjà remarqué (art. loo) que lorsque Tune des racines de Téquation (/) (art. 99) serait négative , deux valeurs d'un demi - diamètre principal , deviendraient imaginaires, quoique la droite (art. io5), suivant laquelle se dirigerait le demi-diamêtre , fût tou« jours réelle; d'oii il suit:

1®. Que dans les équations (e') les signes

négatifs afi'ectent les carrés des coordonnées

parallèles aux diamètres principaux imaginaires;

2®. Dans l'ellipsoïde, les six sommets (art.

1 00) sont réels ; Thyperboloïde h une nappe

a quatre sommets réels, et il ny en a que

deux réels sur l'hyperboloïde à deux nappes.

Toutes les surfaces du second degré qui ont

un centre , étant représentées par l'équation (e') :