III

la surface du premier degré , ou le plan qui

( '7^ ) n pour équation s

passe par les extrémités dqs trois demi- diamètres principaux a ^ b , c,

S ra.

Pes Sur/aces du second degré dépourvues d^ centre , ou dont le centre est à l'inJinL

I lo. On a vu (art. 97) que l'équation la plus générale des surfaces du second degré, étant :

les coordonnées « , jB , y du centre de ces surfaces devenaient infinies , lorsque les constantes des termes à deux dimensions de cette équation générale étaient liées entre elles par l'équation ce condition :

AB- + A'B'^ + A^Blf* ^ AA'Aff — s^BB'Bif ss p , ou , pour abréger :

jDans ce cas, les diamètres principaux de la i^urface, qui étaient réels, deviennent infinis; et en effet ^ le coefficient de s^ , dans l'équation

^ /) ( art. 99 ) , e«t égal à D j or , tous les termes de cette équation étant divisés par D y le derniet*

terme ~ » qui est le produit de toutes les racines de réquisition , doit devenir inâm ; donc ^ C€ coefficient D doit être nuL

m. En transformant (art, 86) les coordonnées rectangulaires tj u ^ (> , en d'autres coordonnées rectangulaires acf^ ^', «' parallèles aux axes principaux ( art. i o5 ) , on rarm-enerait Téquatiôn (i) de l'article précédent à la forme :

Elle comprend toutes les surfaces da second degré , celles qui ont un centre , et celles dont le centre est à l'infini ; n\ais lorsqu'elles ont un centre f les coordonnées de ce point sont

(art ïoi)-— -^7 '^Q^ '^i/f^' ^'^^ '^ ^^^^

que j pour les surfaces dont le centre est à finfini , l'un au moins des trois coefficiens Ç, Ç^ Ç'' est nécessairement nul , et cette condition est équivalente à celle qu'on exprime au moyen de l'équation de l'article i lo :

AB^ + A'B'^ + AffBil^ — AA'A^ — ^BB'B^ isz-o. Siipposons qu'on ait Ç :ê± o , ç'est-à*dire qu^

la coordonnée du centre parallèle à Taxe des ^r', soit infinie , lequation de la surface deviendra :

C'y* + q^z'^ + a y»' + 2 9'/' + s^qfiz' = jt ,

et en transportant l'origine des coordonnées en un point déterminé de la surface , on pourra la réduire à celle-ci :

pz^ -f p'y^ —- I^pp'x = o.

En effet, soient l^m^n les coordonnées de ce point respectivement parallèles aux ocf ^y^ ^ z': on aura pour ce point :

(0 Q!^^ 4- Ç"»* + 2 çZ + 2 7'm + %<i^n = k.

Transformant les coordonnées x^^ y\ z' en cr + Z, ^+m^ Z'^riy on obtiendra par la substitution :

Le coefficient de x qui ne renferme ni /, ni m y ne peut pas devenir nul par des valeurs particulières de ces quantités; d'où il suit que les deux termes qui contiennent le carré et la première puissance de l'une des coordonnées , telles que x , ne peuvent disparaître en même tems , à moins qu'on ne suppose la surface du second degré réduite à un cylindre dont les arêtes seraient perpendiculaires

( '^/5 ) «a plan des y% , et qui auraient pour base une courbe du second degré située dans ce plan.

En égalant à zéro les coeâxciens de y et de z , on aura :

Des trois équations (i), (a), (3), on tirera les valeurs des coordonnées ly m y n du point de la surface que l'on doit prendre pour origine des coordonnées , afin que l'équation générale des surfaces du second degré qui n'ont pas de centre , soit réduite à la forme la plus simple :

De la Dii^ision des Surfaces du second degré dont le centre est à F infini , en deux genres : le paraboloïde elliptique , et le paraboloïde hyperbolique.

113. La combinaison des signes de l'équation (/) , pz^ '^p^y* — ^pp^x = o , ne présente que deux cas : ou le coefficient /?' de j* est positif, ou il est négatif : s'il est positif , Féquation

» . t ti s

ipeprésente un par&holùïde elliptique '/ %ï ee coefficiem est négatif, réqc^don

appartient au paraboloïde hyperbolique. Nous déduirons de cts deux équationis (J''j i), (/', j2), tout ce qui est relatif à la forme de ces deux imrfaces., et ïious ferons connaître» les propriétés c|w les distinguent.

Des Plans tangens ^ et des Plans diamétraujc des surfaces du second degré qui n'ont pas de centre.

n5. Soienf à^ ^ J^> *' J^^ coordonnées d'un point de la surface représentée par Téquatîon (/) (art. iiî) :

pt^ + p'y» — ipfii = o. (/)

On a pour ce point :

Une sécante qui passe par le jnéme point ^> y» ^> 21 ;p6=ar éifttaiîons :

Elle coupe la surface en un autre point ce", /'',«'' pour lequel on aies quatre équations suivantes :

ftetranchaht la isecdndè de là ;^remière , on a :

tlelle-ci devient , au moyen des troisième et quatrième équations :

(i) pixff+z') + mp'{y^+y)^iïpp^^o.

lorsque la sécante devient tangente :

zt—z^^ yff=y, «'/:=^V

kl les deux constantes / et m sont liées ëntr^ elles par l'équation :

pzf -f- jnp'y' — a /;?^' == o.

iSubstituânt dans celte équation , pour / et /w ,

leurs valeurs - — ; ^ ' '^ ;• ■ et ^^ - ^ .- •'/ ■ , ori obtient

Téquàtion du plan taogent :

et en réduisant au moyen de réquàtîon (/*) :

, La corde qui coupe la surface du SecbQd degré itiiX points oc^; y^i V et oc^Uf^i ^'^ étant dï-

( ï^S ) visée en deux parties égales , le point milietl appartient au plan diaméti*âl qili divise en deux parties égales toutes les ^cordes de la surface parallèles à la droite a? = Zs , j- = ma ^ soient <c^ jj z les coordonnées de ce point milieu, où a évidremniènf :

Su]|)stituant ces valeurs dans lequation (i)^ elle devient :

pz + tnj/f — 2 /;?/>' = o. (S)

Cette équation ne contenant pas la variable a:, Oh doit conclure i^é tous les plàn's dtiàïnétràux de la surface du second degré qtii h'à pais dé centre, sont perpendiculaiTe^ au plan d«s yz^ un second plan diamétral qui diviserait en deux parties égalés les cordes parallèles à une droite des équations x = l^^^ jr = m^ss^ , aurait pour équation :

pz + m'py — 3 Vpp^ = o, (A')

Supposons que le secoiid plan diamétral

soit j^araitèle aux cordes que le premier divise en parties égales j et réciproquement »

que le premier soit parallèle iaùx cordes que le second divise en parties égales » on aura l'équation de condition :

Cette équation étant satisfaite , les deux plans diamétraux qui ont pour équations (A) et (h^)f se [coupent suivant une droite parallèle à l'axe des oc , qui rencontre la surface en un point ; ayant pris ce point pour origine des coordonnées , et menant par cette origine y <les parallèles aux cordes que les plans dia^ métraux divisent en parties égales, ces deux parallèles et la parallèle à Taxe des a:, sont les axesdW système de coordonnées obliques, ,tcl qu'en y rapportant la surface > Téquation .sera de la même forme que l'équation (/*)• Nommant t la coordonnée parallèle à Taxe primitif des jp^ li et f^ les coordonnées parallèles aux cordes que les plans diamétraux diviseni en parties égales f on aura :

équation de la surface , dans laquelle ;«- et ^ sont les coefficiens constans de m* et i^*,.

Le plan tangent à la surface , mené par Forigînc des coordonnées obliques coupe les plans diamétraux représentés parler équations (h) et (A'), suivant des droites qui sont les axes des coordonnées ii et f'. Lorsque ces plans sont

j)6rj)ciidlculaires entre eux> ôa a (art. 28), pour équation de condition :

OU à cause de l'équation {h/^) :

mm* ( p — y:;' ) = o.

Cette équation est satisfaite de trois manières^ en faisant, i<>. m = o, 3®. m'=o, "^^.p — pf=zo. On a m = o , ou m' = o, selon que Taxe des u, ou Taxe des v se confond avec Taxe des ;ç.

Dans le cas particulier oii Ton aurait p=pf ^ léquation mm! (p — ^' ) = o serait satisfaite , quelle que fût la valeur de m ou m^ Ce qui signifie que la surface du second degré est de révolution , et que tous les plans passant par Taxe de révolution divisent en deux parties égales les cordes de h surface, perpendiculaires à ces plans. En général , les surfaces du second degrés dont le centre est à Imfini, n'ont que deux plans diamétraux perpendiculaires ^ujc cordes que ces plans divisent en parties égales > elles n'ont qu'un seul sommet réel qui est sur la normale iotersection de ces plans diamétraux»*

Ves Caractères auxquels on peut reconnaître Cjuune Equation du second degré à trois variables représente une surface de réç'o* lut ion.

ii4» On pourrait s'assurer à priori qnune courbe du second degré , eu tournant autour de l'un de ses axes principaux , engendrerait unç surface du second degré. L'équation de celte surface serait nécessairement comprise dans Téquation générale (art. gS) :

^'^ \ +sJBw+2B'vt+2B^tu+:iCt+2C't+2afv j ^

On propose de trouver les relations qui existent entre les coefficiens constans de celte équation, pour qu'elle représente une surface de révolution ?

Pour résoudre cette question , nous remar-»

querons que Taxe de révolution d^une surface du second degré ne diflere pas de l'un des trois axes principaux de cette surface , dont ou a déterminé ( art. 99 ) la direction au moyeu des deux équations suivantes (g) :

Ak + Bfffi + i?'= A ( 1?'A + B^ + A^ ) , (^,1),. i?»* + 4> + 5 r= ^ ( ZJ'A + B^* -f- A<i ) , («,3).

( ^8^ ) (=txv^ u==:fAi' ëtam les équations de Taxe principal , ou d'une parallèle à cet axe.

En effet , supposons que la surface du second degré ait un axe de révolution 5 deux plans quelconques perpendiculaires entre eux , qui passent par cet axe , sont conjugués au plan diamétral perpendiculaire à cet axe^ or, des frois droites intersections de trois plans dîa-r xnétraux perpendiculaires et conjugués entre eux , l'iJine d'elles est un aa:e principal de h surface j donc , cet axe , et Yax$ de réyolutiou s'il existe , doivent coïncider.

Prenant cet axe de révolution pour Tun des trois axes principaux , les deux autres axes sont indéterminés, puisqu'ils peuvent tourner dans le plan diamétral perpendiculaire h Taxe de révolution.

Les valeurs de x et /a^ données par les équar tions (g) ne peuvent être indéterminées que dans le cas oîi ces équations ont un facteur commun ; or , chacune d'elles a un facteur linéaire qui donne la valeur de x ou de ji* correspondant à Taxe de révolution j donc le facteur commun aux deux équations , est linéaire. Ce facteur commun doit exprimer que les deUx autres axes principaux sont datis un plan perpendiculaire à l'axe de révolutron*.

( i8S) Soient lei pi les constantes qui déterminent ia direction de Taxe de révolution, ensortcque cet axe , ou sa parallèle , ait pour équations : Z;^/^, i/ = inp. Soient, déplus, t=i\i^, u:=^fA.v^ les équations de Tua des trois axes principaux , perpendiculaire à Taxe de révolution ; ces deu^ axes étant perpendiculaires entre eux, on a pour condition ( art. 1 3 ) :

I + '^ + '^f* = ^• Les équation^ (gr) > d'où l'on doit tirer la valeur / de A , et la valeur m de /x , doivent donc être identiques avec les équations suivantes :

( fi — m) ( X 4. / A + m ^ ) = o. {£'y2)

En identifiant ces équations , on détermine les valeurs des constantes l et m^ et on obtient les équations de condition qui expriment que Téqualion (i) appartient à une surface de révolution.

Pour comparer les équations (g) et (g^), écrivons- les ainsi :

A* + -j- Ail» + -^— 2 -— m/»— 1=0, te',!)

, , £' , ^{AV—A) Bff , ^

tf+'J-^fi £ -g- A— 1=0, (^,a)

(denliflant , terme à terme , les équations (g'v i )

?l(ê^j 0» (ê'»^) etfe^'^)'^"^*^ *"^ équations d« condition qui se réduisent aux quatre suivantes :

d'où il suit que i'axe de révolution , s'il existe , pu sa parallèle , a pour équations :

et cet axe existera , lorsque les équations 4^ condition suivantes seront satisfaites :

B'BfflJ'f^À') — B ( Jî«^*— JB'O = o. (b).

La direction de Taxe de révolution ne dépçnd que des trois cocfficiens B, B'^ 1^'^, Il est facilç de voir que si l'équation (i) est privée d'ui^ seul des rectangles uv ^ vt^ tu^ la surface nç peut être de révolution ; car , eq supposant iî = o , par exemple , on aurait jB'/?''» = ^» ^ qui donne ou ^' =: o , oii i5'' = o ; c'esl-à-dire quç deux rectangles disparaîtraient , ce qui est contre Thypo thèse.

SupposQiis maintenant deux des troisi coef" ficicns B, B\ B'^ nuls; soient, pjir exemplç, ^ =: O , Ê^ z=zOy ovi tirerait des équations (a^

( i85 ) j^ — yaiizdl :?! — J?!

Ds^ns ce cas , l'axe de révolution serait parallèle au plan des (tu) , et les deux équations {a) et (h) se réduiraient à celle-ci :

m^:=i{^A^—A)iAn^A'y

Si on suppose de plus i5^^=: o , cette dernière éqtxation fait voir qu'on a nécessairement ou A^ = ^ , ou A^^ = A^ ; c'est-à-dire que lors-r que les trois rectangles uvy 9ty tu manquent dans l'équation générale » la surface ne pei^t ê^re de révolution , à moins que dcu3^ des trois cqe0iciens A ^ A\ A^^ ne soient égaux et de même signe. Cette condition étant satisfaite , Taxe de révolution se confondra avec l'un des axes des coordonnées f, u , i^, ou avec une parallèle à cet axe, qui , dans ce cas , (art. 1 1 i)est cUcr mcme parallèle à l'un des axes principaux (*).

Uaxe de révolution doit passer par le centre de la surface . dont les coordonnées « , jS[ , > ( art. 97 ) sont connues j d'où il suit que cet axe a pour équations :

C^') Voyez la Correspondance séf* VÉcole Polytechnique^ article de M. Bourdon, tom. II , pag. 196.

S rv.

De la Génération deis Surfaces du second degré ^ et des Sections principales de ces Surf aces ,

De r Ellipsoïde^

1 1 5 • L'ellipsoïde ayant (art. 1 09 ) pour cqua.^ tion :

on aura , en faisant successivement s =: o « j- = o , a: = o , les é(|uations suivantes 4es trois fiectious principales :

(i) l^x^ + ay^ = a*3» ,

Ayant mené trois droites perpendiculaires entre elles (fig. i, PI. 2) SS^y S^^S'^[, S^^S^ qui se coupent en un point (O, O') , on prendra sur ces droites , à partir du point ( (?, O') àts parties égales aux demi-diamètres principaux de la surface iz, &, c, et on construira des ^Uipses ^pk aient pour demi-diamètres principaux, deux des trois quantités a^b^c. La première ellipse SS^S^^S!^^ ;situcç da^s Xc plaft

( ,87 ) ^és ±j'' â pour êquanon (i) :

Les équations (3) et (5) appartiennent aux ellipses SS^S^^S'' et S^^S^f^S'^S^ situées dans }cs plans des xz et des ^«.

LfOrique deux des trois diamèlres principaux s<i 9 ab f ac sont égaux entre eux, l'ellipsoïde est de révolution autour du troisième diamètre. Ë&fin , lorsque ces trois diamètres sont égaux filtre eux , l'ellipsoïde devient ui^e spbèrc*

Pe r/fyperboloïde à une nappe.

1 16, Soient (fig. 2 , PI. 3) les trois droites rectangulaires SS^, S^^S^'^, S^^S^ qui ont pour iongueurs , les diamètres principaux réels 3<ï, ai, ac d'un ellipsoïde. L'cHipse SS'S^^S^^ construite sur les droites sa, 2b ^ comme diamètres principaux, et les hyperboles qui ont pour axes principaux l'une Its droites SS^ ^ S^'^S'^ égales à 3€z et 3Cj et l'autre les droites S'^S^^^^ aS^^iS^ égales à 3^^ et 3<;, sont ]es trois sections principales de Thyperboloïde à une nappe. Cette surface ayant (art. 109) pour équation :

Itë équations des trois sections principales sî«r tuées dans les plans des xy^ des oc% et des yz ^ Sont :

Tous les plans parallèles au plan des xy toupent cet hyperboloïde suivant des ellipses semblables à la section principale du plan des ocy : eii dessus et en dessous de cette section ^ les ellipses augmentent en grandeur; d'où il suit que l'hyperboloïde ne comprend qu'une seule nappe ^ui s'étend indéfiniment en dessus et en dessoiis de la section principale du plan des a^ i et qui est divisée par ce plan en deux parties égales et symétriques. Lorsque les deux diamètres réels aa» 26 sont égaux ^ la surface est de révolution autour du diamètre; on la nomme hyperboloïdede réi^olution à une nappe ^^ et elle a pour équation :

tf»

X* 4- y' —1 -^-- «* =3tf*»

Si IWç quelconque des trois quantités a> , è* , p^ devient infinie , l'équation de l'hjperbo^ îoïde à une nappe se réduit à celle d'un cylindre qui a pour base l'une des trois sections prin»cipales ^ et dont les arêtes sont perpendiculaire feu plan de cetttj section ^

De VHjperboloïde à deux nappes^

117. SoJeni (fîg. 3 , PL 2) SS\ S'^S''*^ S^'^S^ les droites rectangulaires la^ 2&, açj les hyperboles construites sur les deux droites SS', S'^S'^', et sur les deux droites SS^, S'^SK Gonime diamètres principaux , sont les sectioias principales de Thyperboloïde à une nappe ^ dont l'équation est (art. 109):

La première hyperbole est la section faitô dans cette surface par le plan des ocjr; la se*- COûde est la section faite par le plan des xz {

la troisième section principale qui serait dan$ le plan des xz^ est imaginaire.

Lorsque les deux diamètres imaginaires . ,

5 by — I, 2 c y/ — I sont égaux, la surface est tm hyperboloïde de révolution à deux nappes ^ qui a pour axe d^ réyolution le diamètre priïi* cipal répl 2 a.

Du Paraboloïde elliptique (û^.^ 4 f Pî- ^)»

tïS. Cette surface ayant (art. 112) pour équation :

les équations de ses trois sections principales , qu'on obtient en faisant suec^ssiyement ^5 = 0, yz^o^ ac=z o j deviennent :

Les deux premières sections sont des paraboles dont les branches divergent du m^me côte die l'espace ; elles ont respectivement pour paramètres p et p^. La troisième section principale qui n'est qu'un point , qui est l'origine des coordonnées ,. la surface n« diiEerge que d'un seul côté , au-delà du plan des jz.

Toute section faite dans la surface paral- Jèlçnient au plan des jrz est un ellipse ; c'est par cette raison que nous l'avons nommée paraholoïde elliptique ^ et cette dénomiuatio^ est d'autant plus exacte , que le second paraboloide ne peut pas être coupe suivant une ellipse (art. 121 ).

Lorsque les paramètres p et p* sont égaux , l'équation (/*) appartient au paraboloïde de révolution j^ dont l'axe de révolution coïncide avec Taxe des oc.

Si la parabole 2* = 4 ï^^ se meut parallèle^ ment à elle-mén;ie , de manière que son sommet décrive la parabole y^ = ^px , elle engendre le |Virabolo'îde elliptique, car l'équation (/*) est

le résultat de rcllminaiion vu entre les deux

équatioas t

p L'axe de la parabole mobile prend successivement les positions st^ sU^y i^V, etc. (Gg. 4)-

Du Paraboloïde hyperbolique ( fig. 5 , PI. 2 )•