Cette surface ayant (art. 112) pour équation

pr- ^pYzfil^pp'x p= o, (/')

les équations de ses trois sections principales qu'on obtient en faisant successivement • . • J5=ro,^ = o, ar==o, deviennent :

y*=:±:4/^a?, ;r»s=±:4pV, €z=±iyy^.

Les deux premières sections sont des paraboles , et la troisième est le système de deux lignes droites faisant entre elles un angle qui est divisé en deux ^airties égales par les axçs des / et des z.

Prenant les abscisses a: positivement pour la première parabole , les points réels de la section principale «* == ± 4/^'^ correspondent aux valeurs négatives de oc , qui rendent le produit 4/7^^? positif» D'çm il suit que les deux paraboles

p :^ ^pa: ; z^ == 4p^^ s etendeiit vert deui régions différentes de l'espace, et dans lé pafaboloïde elliptique , les deux sections divergent dans le même sens.

iio. Si la parabole z^ = J^p^x (Tabs^ssc x de cette courbe étant négative ) se meut parallèlement à elle-mêtr:e, tandis que son sommet parcourt la parabole j' =i 4p'^(*^ étant positive), la parabole mobile engendre le paraboloïde ïiyperbolique , car Téqualion (/) est le fésuliat âè Télimiiiaiion de eu entre ces deux équaûpûs i

L'abscisse jc d'un point de la surface étant ncga^ tive ,' on peut donner à ^ ou « telle valeur qu'on voudra , tet on aura pour l'ordonnée z une valciir réelle; mais l'abscisse x étant positive , la valeur de z ne sera réelle que dans' 1^ eus oii l'on aura i

P ï)'où il suit que le cylindre qui a pour basèi là parabole ^*=t=4/>^> et dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des:i^, est cîrcons-î crit au paraboloïde hyperbolique , et le touche? vivant lai parabole j'^ = j^px. Lès arêtes àé éë cylindre sont tangentes à la parabûk inc^

( ^95 ) pi

P ^ le parabololde.

L'axe de la parabole mobile pi^nd succès^ sivetnent les positions st^s^à^^ etc. (fig. 5) , , parallèles à la droite SS^ prolongement dt l^axe SO de la parabole fixe iS^'j'^.^é

ï a I . Le paraboloïde hjrperbolîqùe ne peut pas être coupé par un plan suivant une ellipse ^ car , quelle que soit Inéquation de ce plan , la valeur de x , tirée de cette équation , étant substituée dans l'équation '

l'é<{uatioxi est ;s et 7* qu'on obtiendra , et qui appartiendra à la projection de la section plane sur le plan des zy^ ne contiendra pas de termtt en zjTi or, le produit de quatre fois le coef^ ficiens de js* par le coefficient de j-* sera nécessairement négatif ou zéro : donc , d'après la théorie des coui'bes du second degré , une section plane quelconque du paraboloïde hjr*^ perbolique et sa projection sur le plan des isy sont des courbes qui ne peuvent pas être fermées. Dans le paraboio'ide elliptique, le produit de quatre ibis^ le coefficient de *V P^ le coel^

ficicut de j-* est positif ou nul j donc ce paraboloïde ne peut pas être coupé par un plan suivant une hyperbole. *

122. TuEOKiÈME. Les surËices du second degré étant coupées par des plans parallèles , deux sections quelconques sont des courbes semblables et semblablement placées , c'est-àdire qu elles peuvent être considérées comme les sections parallèles d'une surface conique ?

Démonstration. Soit /(x^ jr^z=zo l'équatîon d'une courbe rapportée aux axes rectangulaires des X et des jr. Nommant et, jg les coordonnées d'un point situé par rapport à une seconde courbe , comme l'origine des coordonnées par rapport à la première ^ l'équation de cette seconde courbe sera :

m étant un nombre qui exprime le rapport des lignes homologues des deux courbes. Soient les équations de deux courbes semblables du second degré :

<i) Dx^ H-£y* +:iFjpy + :iGx +2Hy — i = o.

( ^9^ ) Inéquation (2) sera nécessairement de la forme r

La comparaison , terme à terme ^ des éqnatiotis (2) et (5) donne cinq éqaations , dont trois déterminent les quantités m , « , jS ; les deux autres qui expriment que les courbes représentées par les équations (2) et (5), sont semblables et semblablcment placées , ne contiennent que les coefficiens des termes de deux dimensions , et se réduisent aux suivantes :

CD D' JB £' D Df 11

De ces trois équations (4) 9 lune quelconque résulte nécessairement des deux autres.

Soit l'équation de la surface du second degrc ^ rapportée à trois plans rectangulaires :