aCx -j-aCj^ -f-aÇ^r

En coupant Cctlo s^urfncc par un plan dont

rcquation est:

(6) x:szLx + My + Ny

la projection de la ligne d'intersection sur 1« plan des acj- a pour équation :

. . , +:Lxy{BH+ BL +B'M+AflLM) \

^^^ ^ +2x(^C + C'/X +N(^B^+AfL)') ^ ^*

+ 2 y (^a + C//M +N(^B J^AHM) )

+ AHN- +2Cm^K

Or, quelle que soit iV, les coefScieos de a:* , ^« et xj' ne varient pas; donc les équations (7) qui correspondent aux diverses valeurs de N", appartiennent à des courbes pour lesquelles les équations de condition (4) sont satisfaites ; d'où, il suit que toutes ces courbes sont semblables et semblablement placées.

INommant X, }\ Z les coordonnées du centre de la courbe représentées par les équations (6) et (7), on i)L> pour ce point (art. lo.i), les trois équations suivantes :

X(A+^A'fL*+2B(L)+r{B0+BZ''^B'M^AffLMy\ r{A'^4''¥*+:iBM)+X(Bff+BL+B'M+AnM)\ .

+ C'+ Cm+N(fi+A^M)i

(«97) et à cause de Icquation (6) :

jv^sbZ — ix— Mr.

Éliminant N, on a en -X", X, JZ, deux équations linéaires , qui représentent deux plans diamétraux dont l'intersection est un diamètre qui passe par les centres de toutes les sections parallèles au plan dont l'équation (6) est:

s = Xd? -f- Jlfy -f- JVr.

Il suit de là, i^. que les courbes d'une surface du second degré situées dans des plans parallèles , sont semblables et semblableraent placées ^ 3°. que le lieu des centres de ces courbes est un diamètre de la surface , quelle que soit la direction du plan auquel elles sont parallèles.

123. Theorems. Les surfaces du second degré peuvent être engendrées de deux manières dificrentes , par un cercle variable de rayon, dont le centre décrit un diamètre de la surface , et dont le plan reste constamment parallèle à lui-même ?

Démonstration. Soit (art. io8) :

( ^98 ) l'cquation des surfaces du second degré qui ont un centre. Concevons une sphère concentrique à la surface du second degré , et rapportée aux mêmes axes. Uéquatipn de cettç sphère d'un rayon r, sera :

En coupant ces deux surfaces par un plan quelconque , passant par l'origine des coordonnées, Tune des sections est un cercle; lautre est , en général , une courbe du second degré } le plan qui coupe les deux surfaces peut être dirigé de manière que les deux sections soient circulaires. En eftèt, soit jç==Z.a:-|-7^/^, l'équa* tîon du plan coupant : les projections des deux sections sur le plan des xjr auront pour équa«> lions :

(i) :r'(i-j- £» )+y\i + JW» )+aXA/ay — f*=«,

Idenliiîant ces équations , terme à terme , ou 2^ ;

i^M\ F + M^P" ^^^ I +jL' "^ P +x»p// '

LM LMP»

^^>' ■, + x» = P+X^iV"^

'i + Xi'=^'P + W

Il e$t évident que les valeurs de L ^ M

( ^99 ) «t r , tirées de ces équations , détermiaent la position d'un plan qui coupe la sphère et la surface du second degré suivant le même cercle.

L'équation (4) donne LM=z oj aqtrement on aurait P^ = -P= jP^ c'est-à-dire que la surface du second degré se confondrait avec la sphère. De l'équation L/H= o , on tire L = o , ou M= o. Supposons d'abord Mz^o^ les équations (S) et (5) donnent:

Egalant à zéro le second facteur L , on trouve :

Dans Tune ou l'autre hypothèse^ la quantité L ovL M di deux valeurs j ce qui prouve que la surface du second degré peut étrô coupée suivant un cercle, par les deux jplans a=z±:La?, ou par les ^deux plans z = ±Mj-^ les uns perpendiculaires au plan des a:z ^ et les autres perpendiculaires au plan des jz. Le choix de l'un ou l'autre système de^ plans dépend de l'hypothèse qu'on a faito sur les grandeurs relatives de quantités P^ PU P^U Nommant a , 6 , c les demi-diamètrcA

principaux , siupposons a>bf b>c } on m (art. io6) :

1 34. Les quantités P, P', P'' étant poskives pour l'ellipsoïde , les valeurs de L et de r qu'on obtient en faisant 3ir=: o , sont réelles. La yaleur de M qui résulte de l'hypothèse L=zOf est imaginaire ; d'oii il suit que , pour lellipsoide ^ on doit prendre le système des deux plans re^ présentés par les équations z=z:^{ja:.

Les quantités P et jP' sont positives pour Thy* perboloïde à une nappe, et la quantité P^^est négative. Les valeurs de L et M deviennent :

r jp^ + pfi . ' 9^ TÇF^^

la valeur de L étant imaginaire , et celle de M étant réelle , il suit que , des deux facteurs de l'équation LM=o^ on doit supposer le premier L :;:t o, et prendre pourifcf et ries valeurs

suivantes ; itf = f^ ~Zl£, r=f^ -^^

Ce qui distingue(art. 1 09) l'hyperboloïde à une n^ppe de^l'hyperboloïde à deux nappes , c'est fjue pour ce d^mfv, jP étant positif, F et F^