SOI

sont négatifs. Les valeurs de L et il/ devienâ.«iit ':

Cette dernière quantité étant imaginaire , elle doit èlre exdue , et en supposant ilf =: o , on a t

A cettie valeur réelle de L , correspond pour r , la valeur imaginaire 1/^ JUi. i ce <|ui in»

dique que les plans z^zz^Ijoc ^ sont dans Fespace qui sépare les deux nappes de Thyperboloïde. Il faut donc prouver qu'un plan parallèle zz=:iLx'^N' pourra couper cet hyperboloïde suivant un cercle.

1 25. Quel que soit ce cercle , on peut le regarder comme Tintersection du plan z = Lx + iV, et^e la sphère (a:— .ce)» +.(j--^^)»+iB» = r*,

Substituant dans les équations de la sphère et de la surface du second degré, pour z sa valeur Loc'^'N ^ Icquation de la sphère devient :

Uéquatiou de l'hyperboloïde à deux nappes

étant :

iV + P'j-» — l^r* = I ,

on aura » par la substitution de la valeur de r r

Identifiant , terme à terme » les équations (â) et (6)j on a , pour déterminer les quantités

d'où Ton tire :

NS/iP+P'')(P"-P') \/N^P{Pi-P')-P*

Sabstituant ces valeurs dans Féquaiion de la sphère , elle devient :

r . jyt/(P-4-n(-P'-fO \' . ^ ■ ^ N^PjPH-PyP \^-\ pT ) +/•+«•= pt; :• (*)

Mettant dans l'équation du plan z = La:-\-Nf

r 1 l/"±±^ pour Z^ sa valeur fr ^ , on a :

=*V'(fÈ:f) + ^- ^'^

Subslituant dans l'équation (c), pour N sa valeur tirée de Téquation (d)^ le résultat de cette élimination sera 1 équation de l'byperboloïde à deux nappes :

Si Ton demande le cercle correspondant à un point {^^jj"'^ z^) de cette surface , on aura par réqualion (d^) :

et réquation du plan du cercle demandé sera :

La seconde équation du cercle sera réqualion (c) , dans laquelle on aura mis pour N

sa valeur z^'-^a/

1 36. Conclusions, i*. L'ellipsoïde est coupé suivant un cercle par uu plan qui passe par Faxn moyen a 6 , et qui fait , avec le plan des x^ , un angle dont la tangente est :

5^, L'b^perboloïde k une nappe est coupé

suivant un cercle par le plan qui passe par le grand axe 2 a , et qui fait, avec le plan des ^j'i un angle dont la tangente est : ^

f * ou -r- y -— f

5<>. Le plan diamétral parallèle aux sections circulaires de l'hyperboloïde à deux nappes , passe par Taxe moyen aè, etiait, avec le plan des xy , un an^le dont la tangente est :

l/fl±i^

4°. Les cerclés d'une surface du second degré sont (art. 122) dans des plans parallèles, et la ligne qui passe par les centres de ces cercles ^ est un diamètre de la surface.

127. Examinons maintenant les surfaces an second degré qui n'ont pas de centre , et qui sont comprises ( art. 1 1 1 ) , dans Féquatioa pz^'^rpY^ — kPV^^ = ^' Un calcul semblable à celui de l'art* i a5 , fait voir que cette équation est équivalente à deux systèmes d'équations (e)ct(/), ou(e')et(/):

( « — jRT )« +y» + «» = 4;>« , (*)

\*-*=jrj/^-,a(p^-p). C/>)

Dans le premier système , l'équatioa (e) ap« partîent à une sphère qui a son centre sur l'axe des x , à une distance de l'origine égale

à N^2pj et dun rayon rz=i:>yp{N-)rp)\ ensorte que l'équation de cette sphcre, avant la réduction , serait :

Par l'élimination de N entre les équations {é) et '/), ou de a entre les équations (^0 » (/') , on obtient l'équation des deux paraboloïdes du second degré :

Il est à remarquer que lorsque p^ change de signe , le coefficient de z dans l'équation (/*) , et le coefficient de^ dans Téquation (/^), sont imaginaires. D'où il suit que des deux paraboloïdes , Telliptique est Iq seul qui puisse être engendré par un cercle. Ce qui s'accorde avec la proposition d^jâ démèntrée (art. 121).

En supposant que p^ ne change pas de signe , et que néanmoins il soit plus grand que p , le €oeffix:i6ntdje ;&^daas Inéquation (/) , est encore

imngÎDaire; mais le coefficient de j- daiis l'équation (/O» ^st réel. Réciproquement, lorsque ce dernier coefficient est imaginaire à cause de p^< p, le coefficient de z dans l'équatiori (y) est réel. D*oii il suit que dans le paraboloïde elliptique , représenté par l'équation :

selon que p^ sera plus petit ou plus grand que /?, les plans des cercles de cette surface , seront parallèles dans le premier cas au plan dont l'équation eSt :

et dans le second , au plan dont l'équation est :

Les cercles de l'un ou l'autre système étant situés dans des plans parallèles, les centres de ces cercles sont (art. 122) sur un diamètre du paraboloïde ; ce diamètre coupe la surface en un point pour lequel on a :

Lorsque p-^zj/^ ou lorsque le paraboloïde elliptique est de révolution autour de Tar des yT, ce^. deux systèmes de plans se con-

( ^07 ) fondent en un seul , et ils sont tous perpendiculaires à Taxe de révolution.

I28* Théorème. Des trois surfaces du second degré , qui on*, un centre,^ l'hyperboloïde à une nappe est la seule qui puisse être engendrée par une droite mobile^ et cette droite peut se mouvoir de deux manières pour engendrer le même hjrperboloïde ?

Démonstration. Soit

l'équation d'un plan perpendiculaire au plan des œj , qui coupe Thyperboloïde à une nappe suivant une courbe. L'équation de cet hyperboloïde étant (art. 109) :

on élimine jr entre ces deux équations , et on obtient l'équation en ^ et 2 d'une courbe du second degré :

(3) a?»(P+P««)+aP«/lar4.Fi8»— 1— l^x'aEo,

Cetle courbe , qui est la projection sur le plan des xz , de l'intersection de l'hyperboloïde à une nappe par le plan qui a pour équation : j^ = «a: •+- i^ , se réduira à deux lignes droites , lorsque ce plan coupera la surface suivant des

( ^8 ) lignées droûies. Donc , dan» ce tas , le premieif membre de réquation (3) sera le produit de deux facteurs linéaires > ou la difiérence de deux carres ) ensorte que Téquation (5) ne dif« férera pas de celle-ci :

C4) («v^p+pv+ v'p'/g* — 1> — ( t \/piy = o-

Identifiant les équations (5) et (4)9 on aurai

PUfi = v/(P+P'«>)CP'0*-.i) i d^oii Ton tire :

Substituant ces valeurs dans les équation^ (i) et (4) , on obtient le système des deux équations (5) et (6) :

(5) (a.»/P+PV+-j/^y-(^l/p5">=o,

Vcquatîon (5) ^e décooipo&unt en dcu^. facteurs linéaires :

( 2og ) Inéquation (2) est équivalente à f un ou loutre des deux systèmes d'équations V

!•'• systémei

* i/Kiipv + - |/Ç +, |/p» «0,

jpT»

aS système.

«/P+PV + * j/Ç — ^»/jrLo,

D'oïl il suit que Thyperboloïde à une nappe peut être engendrée par une droite de deux manières difTérenies. Les équations du premier ou du second système , appartiennent à la génératrice qui correspond à une valeur déterminée de ce. Étîminant « de l'un ou l'autre système , le résultat de l'élimination est l'équation (pi) de rhjrperbolmde à une nappe. Si les quantités /^eti^', ensemble ou séparément»

changeaient de signe , la première des équations de ces deux systèmes contiendrait ou un ou deux termes imaginaires ; ce qui prouve que, des trois surfaces du second degré qui ont un centre , l'hyperboloide à une nappe est la seule qui puisse être engendrée par la ligne droite.