IO
I ag. Mettant dans les équations (5) et (6) ,
pour P, Py P'\ leurs valeurs — ? -7— y — j
les équations de la génératrice de Thyperbo-
loïde sont :
(50 , ex \/a^a* + 3» + aV# ±LahtT=:o^ (6') jr=:«a; -f-V/ôv+ï».
' Pour éliminer a , on substituera dans l'équation (5'), pour s/a^aP- +6% sa valeur / — cea:, et on aura une équation linéaire en «, d'oii l'on tirera :
{c%y + aht) ( cx^ -f" ^^ )*
l'équation (5^) donne :
Substituant dans cette équation , pour et et «^ , leurs valeurs en a: , y, z , on obtiendra Féqua- ^ion de l'byperboloïde à une napps :
i3o. La section principale de cette surface . construite sur les axes 2 a , 2 & étant (art.. 116):
l'équation (6') appartient à la droite qui touche
«ette section en un point qui dépend de W variable « ; d'où il suil que toutes les droites de rhyperboloïde , se projettent sur le plan des jrj- suivant les tangentes Jg^ hk..., Cfîg, 2 , PI. 2) de Tftllîpse iSiV^iy^iS^'^ ' La section principale construite sur les diamètres principaux aa , ac 5 est (art. 116) :
c«jc» ~ aV* = aV.
En mettant dans l'équation (5'), au lieu de la
variable <t , la quantité 5 on pourra Técrire -
ainsi :
c« kHP]? + flM?/8 ± oz == o ;
iquation d'une droite qui touche la section principale du , plan des ocz en un point qui dépend de la variable jG : ainsi les droites d« rhyperboloïde se projettent sur le plan des xz , suivant des tangentes à Thyperbole SS^S^'^S^. ( fig. a , PI. 2). On démontrerait de la même manière qu'elles se projettent sur le plan des j*«, suivant des droites tangentes à l'hyperbole . . ^//^///^iv^v . ce qui est d'ailleurs évident , en considérant (art- 116) les trois sections principales comme les bases de trois cylindre^ «rcouscrits à l'hyperboloïde.
i5i. Lorsque rhyperboloïdis à ime nappi^
€st de révolution, on a b=zaj et les équations (5'), (6') de la droite génératrice de cette surface , deviennent ;
L'axe de révolution étant Taxe des z , tout plan perpendiculaire à cet axe coupera la surface suivant un cçrcle; et en effet , si Ton suppose z = Ç, on aura , en éliminant « des deux équations de la droite génératrice :
cqtiations du cercle générateur de Thyperboloïdc à une nappe. Mettant dans cette dernière équation ^ pour Ç^ sa valeur z , elle devient :
;^quation qui ne diffère pas de celle quon obtient en supposant dans Téquation de Vhj* perboloïde à une nappe a=zb (art. ii6).
Dans cette même hypothèse de azzzby la
c iX a- — b^ . V X 1
tangente -r- r -——— de 1 angle que le
plan d'un cercle de cet hyperboloïde , fait avec le plan des ocy est nul ; ce qui prouve qu il isiy a qu'une seule manière d'^engendrer l'hyper*
l)oIûïde de révolution par un cercle mobile , et que le plan de ce cercle est constamment per« pendiculaire à Taxe de révolution. La double génération par la Kgne di^oite a également lieu pour l'hyperboloïde à une nappe , soit que les deux diamètres principaux réels soient égaux ou inégaux.
1 52. Supposons qu'on ait mené par Forigine des coordonnées , qui est le centre de l'hyperboloïde à une nappe , une parallèle à la droite génératrice de cette surface, droite qui est représentée par les équations (5^) j^ (6') , les équations de cette parallèle seront :
éfiminant et , on a :
OU
(i) l»c*«* + c^ay* — ••ft»«* = o ?
équation <f une surface conique , dent le sommet est au centre de l'hyperbotoîde à une nappe ^ et dont la base est une ellipse qui a. pour équations :
z 7=sc f ^'x*" -f- ay* = a*b\
Ce çôi^e est droit par rapport à «eUe bas#
elliptique, c'est-à-dire que la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de l'ellipse » passe par le centre de cette courbe ; il est encore droit, en prenant pour sa base, ou
Fhyperbole , y=z by a*z* — c*x* =;= a*(^ ,
ou
l'hyperbole, a?=ta, b*z^ — cy^ r= ^V.
Enfin si Ton coupe ce cône par un plan parallèle à l'un de ses plans tangens , la section est (*) une parabole. Doii il suit ,
i^. Que l'équation de l'hyperboloïde a une nappe comprend les équations des cônes qui ont pour base des courbes du second degré ;
2^. Que ces cônes peuvent, ainsi que l'hyperboloïde , être coupés suivant des cercles par des plans parallèles à deux plans dont la p07 sition est déterminée.
i53. Un plan quelconque passant par Taxe des z coupe Thyperboloïde à une nappe suivant, un hyperbole, et le cône, représenté par l'équation (i) (art. iSa), suivant le système de deux droites , asymptotes de l'hyperbole. Eu effet, soit/=flta? l'équation de ce pianj substir
(*) Voyez Supplément de la Géométrie descriptive ^ art; 7a et 84.
tuant , pour y , sa valeur «tx dans l'équation de rhyperboloïde^ on aura :
équation d'une hyperbole qui a pour asymptote les droites représentées par l'équation :
rfc ex ^à'ie 4- ^» 4- abz = o.
C'est par cette raison qu'on regarde le cône reprcjïcnlépar l'équation (i) (art. iSa), comme une surface asymptetique de l'hyperboloïde à une nappe.
L'équation (i) du cône asympto tique est ce que devient l'équation de l'hyperboloïde à une nappe , lorsqu'on suppose » dans cette der« nière équation, le terme constailt nul.
134. Cotjclusions. i^. L'équation de l'hyperboloïde à une nappe comprend les équations de la surface engendrée par vue droite mobile qui tourne autour d'une droite fixe , et de la surface conique du second degré qui a pour base une courbe du second degré ;
a®. Les droites de l'hyperboloïde à une nappe se projettent sur les pMns des trois sections principales, suivant des tangentes à ces sec* tion« ;
5^. Une quclconc|ue dç ces tangentes est 1^ projection de deux droites de lat surface j
4*. Il y a sur l£^ stirfaçe deux systèmes de lignes droites, et une droite quelconque du premier système çptipe tpates le§ «lï*^^^^^^ ^** second système^
5®. En prenant dans l'un ou l'autrp système , trois droites quelconques , pour servir de dî-r Teétrices à une quatrième droite mobile , cette 4ernièrç engendre Thyperboloïde à une nappe.
i55. Pour démontrer directement ces deux dernières propositions , nommons (F) , (G) , ÇFiy \es trois droites fixes qui dirigent la droite mobile , et rappprtons la surface que cette droite parcourt à trois axes obliques parallèles aux directrices (F), (G), (/T).
Les équations de ces directrices seront :
pour la première (JF) , ^ =x/, y =/', ,
?our la seconde^ (^)t ^- ^é'r -* = 0'' >
pour la troisième (H) , y = /i , «: =:s A'.
Soient les équations de la droite mobile (M) ;
Les quatre quantités M^ N^ M^ N* sont liée^ entre elles par les trois équatiçns :
( «7 ) qui expriment que la droite mobile (Af) rencontre les droites fixes (F), (G), (^)-
L'hyperboloïde à une nappe est la seule surface du second degré ( en y comprenant les cônes et les cylindres) qui puisse être engen- 4rca de deux nianières , ou par la ligue droite ^ ou par le cercle. Connaissant deux cercles de cette surface , situes dans dés. plans parallèles, et une droite qui coupe les deux cercles en des points donnés , toutes les positions de la droite génératrice de Thyperholoïde sont déterminés. Eu effet , considérons d'abord Tliyperboloïdc à une nappe qui est de révolution , et supposons qu'après avoir divisé le plus petit cercle de cet hyperbolôïde en parties égales, on ait mené ^ par les points de division , les droites de la surface ^ il est évident que ces droites diviseront tous les cercles en parties égales. Concevons maintenant que de tous les points de l'hyperboloïde de révolution , on ait ^ibaissé des perpendiculaires sur le plati du plus petit cercle , et que , par les pie.d& de CCS perpendiculaires , on ait mené des droites parallèles entre elles , et proporlionnelles au3ç perpendiculaires , rhyperboloïde de révolution deviendra rbyperboloïde à une nappe ^ et api'ès çç changement, les droites diviseront encore
( ^'8 ) les cereles de la surface en parties égales.
Donc , si Ton donne deux cercles de cette sur* Êice , et si l'on divise leurs circonférences en arcs égaux , à partir des points où elles sont rencontrées par la droite donnée, les droites qui joindront les points de division, correspondront aux diverses positions de la droite génératrice de Thyperboloïde à une nappe.
Ce mode de génération fait voir que la droite qui passe par les centres des cercles d'un hjrperboloîde à une nappe , est un diamètre qui ne coupe pas cette surface.
Éliminant , au moyen des cinq dernières équations, les quantités L^My U , ikf' , et ordonnant par rapport à vc , ^, z , on aura :
+ * iBh-fh')+jr çfg^g'hO+z (Jh-/'eOl=o. w
En substituant aux trois directrices (F), (G), {H) trois autres droites {P), (G^), {H') y telle que lune quelconque, {F') par exemple, soit parallèle à la directrice (F) , et rencontre les deux autres directrices (G) et {H), les équations de ces droites seront :
pour la première (F') , xts: g\ jr = A,
pour la seconde (G^) , z =: h\ «=y*,
pour la troisième (/f) , jr =/'» Kz=zg»
( 2i9> lEu exprimant que la droite mobile est dirigée par ces trois droites, on parvient à la même équation (a) , qui est du second degré entre les trois coordonnées obliques x^jr\z^ et qui serait encore du second degré , après les avoir transformées en coordonnées rectangulaires, au moyen des formules (art. 80).
i36. Théorème. Des deux surfaces da second degré qui n'ont pas de centre ^ le Paraholoïde Hyperbolique , et le Paraboloïde Elliptique , le premier peut être engendré de deux manières par une droite mobile assujettie à s'appuyer sur trois droites fixes parallèles à nu même plan ?
Démonstration, Le paraboloïde hjrperbolique ayant ( art. 1 1 a ) pour équation :
on le suppose engendré par une droite dont la projection sur le plan des xy a pour équation :
«=*J^ + ^- Ce)
Substituant cette valeur de a? dans l'équation (/O > celle-ci devient :
Si cette équation appartient à la projeciioil de la génératrice sur le plan desjZy il faut que le second membre soît un carré parfait^ ou qu on ait :
ipU^sz4pfi^ ou fisszpti*^
ce qui donne :
x = tty + pM^9
d'où il suit que \e paraboloïde bjperbolîcpie peut être engendré par une droite, de deux manières. La génératrice a pour équations :
du (la projection de cette génératrice , sur le plan des ocy^ ne variant pas) :
Le coeûiçient de j* , dans l'équation :
r«±(jr + a/r«>^
i/jt.
Xï,e contenant pas la variable « , toutes les droites di^ preroiar piode 4e génération , saut
^~jrr ~*ei
parallèles au plan s z=iy fr JL. ei les droites du second système sont parallèles au plan
-rK^
(*). Cette propriété du pa-
boloîde le distingue de Thyperboloïde à une
nappe ^ sur lequel on peut aussi tracer deux
systèmes de lignes droites ; mais pour cette
dernière surface « il n'y a que deux droites
qu'on puisse mener parallèlement à un plan
donné , et on déterminerait la direction de ces
droites, en menant par le sommet du cône
asymptotique (art. i3a et i35) un plan pa--
rallèle au plan donné.
iS^. Pour s'assurer que les équations
(^ Si on divise d*ux côtés opposés (fig. a, PI. 3), AB^ CD d'an quadrilatère gauche ^BCD en des points
i et A , tels qu^on ait : -=7- = a . -j^rr f « étant ufli
nombre donné , la droite IK engendre Thyperboloide i une nappe , et lorsque a = i , elle engendre le parabo* loTde hyperbolique. (Voyez la Correspondance sur TËcole polyteçhniaue y tom. 2 ^ f ag. 446- Article de M. Chasles.)
appartiennent à la droite génératrice du pa« raboloïde , on éliminera la variable a , qui correspond à une position déterminée de Ja génératrice. Le résultat de l'élimination sera léqualion du paraboloïde :
pz* — /l'y* -=1 l^p-p^x.
y tL
Changeant le signe de />', le coefficient
de y est imaginaire ; ce qui prouve que fe paraboloïde elliptique ne peut pas être engendré par la ligne droite; et en effet, on a prouvé (art. 121) que la ligne dmtersection de cette surface et d'un plan ne peut être ni une hyperbole , ni le système de deux lignes droites , qui est un cas particulier de l'hy*
perbole.
i38. Oo remarquera que l'équation. . . .
m: :==: oLy -^ ptt^ appartient à la tangente de la parabole j"^ = l\pp^cc. D'où il suit que \^% droites du paraboloïde hyperbolique se projettent i<». sur le plan des ocy y suivant \^% tangentes STyfg^ hk, Im,...: de la parabole Sss^... (fîg. 5, PL 2); 2^. sur le plan desji^^ «uîvant les parallèles O^U^f'^g^^y h'^k^...^ ou suivant les parallèles à la droite O^'t^, qui fait
( aaS ) avec Taxe des z un angle t'0"h" égal à l'angle
