VÉ
fJ^O^^t^ dont la cotaogente est /^ ^—\ 3^. sur
le plan des xz , suivant les tangentes J^^^ h!ky l^mf de la parabole Sfhfl'.
De quelques propriétés des Surfaces du
second degré,
1S9. Théorème. Étant donnés un cercle d^une surface du second degré , et un point d'un second cercle de la même surface, ce second cercle est tout entier sur la sphère qui passe par le cercle et le point donné ?
Démonstration. L'intersection de deux surfaces du second degré est en général une ligne dont les projections sont des courbes du quatrième degré ; mais dans le cas particulier où les deux surfaces du 'Second degré passent par la même courbe plane , leur ligne d'intersection est le système de deux courbes planes j d'où il suit qu'une sphère et une surface du second degré qui passent par le même cercle , se coupent Suivant une autre courbe plane, et
le plan de cette courbe coupe la sphère suivant un second cercle. Donc , deux des cercles d'une surface du second degré appartiennent à une $phëre dont le centre et le rayon sont déterminés. Lorsque les deux cercles ne sont pas situés dans des plans parallèles , on les nomme sections sous -contraires de la surface du second degré. On n'avait considéré jusqu'à présent que les sections sous-contraires du cône oblique. Soient (fîg. i , PI. 5) ABC le cercle base d'un cône oblique ; AsB le diamètre de ce cercle qui passe par la projection s du sommet »S' du cône sur le plan de la base. La sphère du diamètre AB coupe le cône suivant les cercles des diamètres AB y ab, dont les plans sont perpendiculaires au plan du triangle ASsB. U est de plus évident que les côtés SA ^ SB de ce triangle (qu'on nomme sec*tion principale du cône oblique) ^ font avec les plans de l'une des sections circulaires , des an^ gles inégaux entre eux, et égaux aux angles que ces mêmes côtés font avec le plan de Tantre section circulaire. Ainsi on a :
angle SAB = angle Sai, ang!e SB A = angle Sba.
Soit l(;fig. Si, pi, 5) Sab la section pnncjipale d'un cône oblique > qui a son sommet au
( aa5 )
{>bint S de là sphère , et dont la basé est ttii cercle quélcotlque de cette sphère , qui a pour diamètre » la droite ab: Ayant mené par lë isOminet de ce cdne, le riayon SO de la sphère^ le plan diamétral :ÂB perpendiculaire à ce rayob fait avec les côtés Sa , Sb de la section pripcîpalè du cône , des angles Sa^V^ Sb'af égaux aux angles Sak , Sba ; d'oii il suit que ce plan diamétral coupe le cône oblique suivant un cerclie du diamètre a^b'.
i\ù. Theoremè. La sui^fàcë coniqcie qui à pour base une section plane d'un ellipsoïde ^ et pour sommet l'extrémité dé l'un des deux diamètres qiii passent par les centres des scc^ lions circulaires de cet ellipsoïde^ est coupée Suivant un cercle , par tous les plans menés pa-^ rallèlement à la sectioil , circulaire dont le centré est sur le diamètre à l'extrémité duquel dn à placé lé sommet de la surfisicé conique ?
Démonstration. Soient (fig. 5* PL 3) OS lé rayon d'une sphère dont le centre est au point O, et AA' un plan diamétral perpen-^ diculaire à ce rayon; Concevons que de tous les points de là sphère , on ait abaissé des per^ pendiculaires sur lé plan diamétral AA^^ et que par les pieds de ces perpendiculaires , on
ïiît mené des droites parallèles entre elles, ef proportionnelles à ces perpendiculaires ; on transformera , par cette projection oblique , la sphère en un ellipsoïde , dont les trois dia« mètres principaux rectangulaires dépendront ï^. du rayon de la sphère ; 2*>. de Tangle des perpendiculaires au plan diamétral AA^ et des obliques sur lesquelles on les projette ; 5^. du rapport de Tune quelconque des perpendicu* laires et de Toblique sur laquelle on la projette. Soit OT la droite sur laquelle on a porté le rayon OS^ après l'avoir augmenté d'une quantité Tù , qui détermine le rapport du rayon OS et de sa projection oblique OT, Le plan SOT qui rencontre le plan diamétral AA^ suivant un diamètre AA^ de la sphère , coupe cette sphère suivant le cercle SAA^R j ce cercle projette obliquement se transforme en une ellipse qui a pour diamètres conjugués AOA^y TOP ou les droites égales aOa'.T^OP'.
La droite BC qui divise en parties égales les angles POP', A^Oaf^ est dirigée suivant le grand axe de l'ellipse ; d'où il suit que l'ellipsoïde qui résulte de la projection oblique de la sphère, a pour diamètres principaux rectangulaires les Sroites BOC , DOE et SOR.
La première de ces droites est le plus grand
( "7 ) diamètre ; la seconde DOE est le plus petit ; et la troisième ROS ^ égale au diamètre de la sphère i est le diamètre moyen de l'ellipsoïde. La sphère du rayon OA^ coupe cet ellipsoïde suivant des grands cercles dont les plans OA^^ Oa' passent (art. 126) par Taxe moyen ROS. Ayant déjà mené la droite P^OT\ telle que l'angle aOT' soit égal à l'angle AOT^ on peut concevoir que de tous les points de la sphère du diamètre ^6^^=: AA'^ on ait abaissé des perpendicidâires sur le plan diamétral aa^ i que par les pieds des perpendiculaires , on ait mené des parallèles à la droite OT'^ proportion- ^nelles à ces perpendiculaires ; l'extrémilé s du rayon Os , perpendiculaire au diamètre de la sphère aOa^^ se projettera en un point T^ de la droite OT^ ^ et si Ton suppose le rapport de Os à OT^ égal au rapport de OS à OT, la sphère deviendra, par la seconde projection comme par la première , l'eilipsoïdc qui a pour diamètres principaux les droites BC , DE , RS. Cela posé, considérons le point S de la sphère comme le sommet d'un cône oblique qui a pour base un cercle quelconque C de cette sphère. Projettant obliquement tous les points de ce cône , comme on a projette totfc les points de la sphère pour former l'ellipsoïde,
le sommet du cône est transporté au point ï*, et la base C de ce cône devient une section plane de l'ellipsoïde. Le premier cône dont le sommet est en 5, et le second cône qui est la projection du premier , sont coupés par le plan diamétral j4J[' perpendiculaire au rayon OS suivant la même ligne : or ^ ce plan (art. iSg) coupe le premier cône suivant un cercle^ donc le second est aussi coupé par le même plan suivant un cercle. Cette proposition étant vraie , quelle que soit la base circulaire C du cône oblique , il suit qu'un cône qui a un sommet au point T de l'ellipsoïde , et pour base une section plane quelconque de cet ellipsoïde , est coupé par le plan diamétral jiA^ conjugué au diamètre OT, suivant tm Cercle. On peut substituer au point T les trois autres points Pj P^j T^ de l'ellipsoïde^ Tous les cônes qui auront pour sommets les points P et T^ et pour bases des courbes planes de l'ellipsoïde , seront coupés par le plan dia^^ métrai AA^ suivant des cercles. Lorsque les sommets des cônes seront situés aux points P^^ T'^ les bases étant toujours des sections planes de l'ellipsoïde , c'est par le plan diam<^-* tf al aa^^ ou ses parallèles , que les cônes seront coupés suivant des cercles^
t4i^ Lorsque l'angle donné du rayon OS.
de la sphère , et du diamètre TOP de Tellipse est nul, l'ellipsoïde est dé révolution autour du grand axe ; les sommets ^ et C de cet ellipsoïde sont situés sur le dianiètre RS de la sphère; les points Pet /^^ et le sommet 5» se confondent; les points 7^, T^^ et le sommet C, se rcutiissent en un seul point de la droite RS. U suit, du théorème précédent, que les 'kirfaces coniques qui ont pour sommet commun , l'ex-t trcmité de l'axe de révolution d'un ellipsoïde „ et pour bases des sections planes quelconques de cet ellipsoïde , sont coupées pai? um plan perpendiculaire à l'axe de révolution » suivant des cercles ; propriété connue de l'ellipsoïde de révolution , et qui résulte de la proposition plus générale que nous venons de démontrer.
1^2. On a vu (art. i^G) que l'équation du plan diamétral qui coupe l'ellipsoide suivant Vin cercle , est :
l'équation de cet ellipsoïde étafit :
Paur obtenir les coordonnées de l'extrémité du diamètre qui passe par les centres des ççrcles ,^ on remarque que ce diamètre est danir
le plan de la sectioa prinôpale qui a ponr équation :
et qu'il est conjugué au diamètre dont réqnatlon
PB — pi'
Menant une tangente à la section principale , parallèle à ce dernier diamètre , lescoordonnces ac^tj', i' du point de contact sont :
— r pp'P'iP'i—p)* y==0'
' — '^ r pp'pffi^p»—py
Ces trds valeurs prises avec les signes convenables , déterminent la position des quatre points , sommets des surfaces coniques qai jouissent de la propriété énoocée (art. 140 )•
Ces trois valeurs deviennent pour l'hyperboloide à deux nappes , à cause de P^ et /*', n^atifs :
bP-l/ZH+ZII,
e rb/perboloide est à une nappe , les
coordonnées des sommets sont imaginaires ; ce qui est d'ailleurs évident , puisque (art. i35) le diamètre qui passe par les centres des cercles de cette surface, ne la rencontre pas.
Des deux paraboloïdes , elliptique et hyper* bolique , le premier seulement peut être coupé suivant un cercle , et le diamètre qui passe par les centres de ces cercles coupe la surface en un seul point, dont Tabscisse ^' est (art. 127) égale :iz(p — /?'), l'cquation du paraboloïde étant :
C'est ce point qui est le sommet des surfaces coniques , que les plans des sections circulaires du paraboloïde elliptique , coupent suivant des cercles.
145. Théorème. Lorsqu\in cône est circonscrit à une surface du second degré , la courbe de contact est plane, quelle que soit la position du sommet du cône par rapport à la surface ?
Démonstration. Soit l'équation générale da la surface du second degré :
H-aC*' +aCy -{rzCHz' i
Le plan qui touche cette surface au point (a<,^\a^), a pour équation (art. 196):
Soient y, g:, A les coordonnées du soxnmet du cône, et supposons que le plan tangeni passe par ce sommet ; lequatiojçi (a) dçvicnt pour ce point :
Cette équation (5) établit une relation entre lç> coordonnées ^', j', z^ des points de contact de la surface et des plans tan^ens à cette surface , qu on peut mener par le sommet du cônei
(/» 8r ^)'y ^^^ ^^^^ ^st linéaire en oc^f, zh, ^'011 il suit qu'un cpnç quelconque , circonscrit à une suffacç du second degré , touçhç celte surfece suivant une courbe plane. Qo, aura Téquatioi;! du plan ée cette courbe en piettant dans Fequétion (3) , au lieu de a:', j', z\ les cot)ifdonnées jp , j", z du plan j ee qi» donne :
-h e {B'f+ Bg + A^h +C/0
— fl-
1 44- -^^ 1^^^ d'assujettir le plan tang<snt a^ passer paf un point (/j g^, A), on pourah pxpriiuer qu'il est constamment parallèle à mie droite. Soient x z=:z àz^ jr z±: f^z les équations de cette droite. L'équation de condition qui exprime que îe plan tangent représenté pa|î ^'équation (a) , passe pîir çett^ di*pite , est ( art#
Or y nn plan eo«ystamm0nt parallèle à une ^rofte , et qui se ineut en touchant une siirfacç du second àegté f engendre ipie surface cjlin<driqufi qui lui çit circonscrite î donc , Is^ courbe de contact de ces dêirx surfaces^ eit plane , et l'équation du plan qui ta Co&lîent ^t t
145. La propriété d'une surface du sçcQçd degré , d'élre (oucbée par un cône ou par ui% cylindre , swvaiiii msie CQwbte f^nt ^ est wat^
conséquence de la proposhion démontrée (art.^ 133), que toutes les sections parallèles d'une surface du second degré, sont des courbes semblables et semblablement placées. Eu effet , par deux quelconques de ces courbes » . on peut concevoir une surface conique , puisque le cône , ainsi que la pyramide , jouit de la propriété d'être coupé par des plails parallèles suivant des courbes semblables et semblablement placées ; or , Tune de ces courbes restant fixe, l'autre peut s'en approcher indéfiniment; donc , lorsque les deux courbes seront réunies » le cône sera circonscrit k la surface du second degré.
i46. Théorème (*). On suppose que trois plans rectangulaires se meuvent en touchant constamment une surface du second degré qui & un centre; le point d'intersection de ces trois^ plans engendre une sphère concentrique à la surface du second degré, dont le rayon est égal à la racine carrée de la somme des carrés des trois demi-axes ?
(*) Ce théorème, iû à M. Monge, a été démontré par M. Poisson , I*'. vol. i]e la Correspondance , pag. 2t4(K C'est cette démoDstration qoe nous rapportons ici*.
Démonstration. Soit Pa:»-l-Py*+JP'z« = r , 'équation de là surface du second degré. Les rois plans rectangulaires touchent cette surace en trois points dont les coordonnées sont :
pour le premier point ,
pour le second ,
pour le troisième ,
ît on a entre les neuf coordonnées des points le contact :
Île premier , le second, le troisième,
Px'* + py* + Pffz'* ;i) { Pxf^ + py^ + pifzff'
Ces plans tangens ont pour équations (art* ï 43 ) :
le premier , Pxx* + P'yy^ -+. Pllzz'
PxxH^ + Pyyn + puzzfl Pxx"' + P';yf" + Plfzz»!
On exprime (art. ia8) que ces plans sont perpendiculaires entre eux , par les équations de condition :
{P^x'x^ + pfyyn ^ pn^z'z'' P^x'x'f'+ P'y'f" + pft^z'z"' P^xffx"'^ P'yfy ^ pn^z^z!"
Supposons ms^intcnant qu'on ait : »
Px'zsza^ Pxn-rriay^ Pa^"ts=ia^^
py = b , pyff= b' , . py = b»^
o'» 4-3'> 4-ir'* =.il^%
Les systèmes d'équations ( \ ), (a) et (5) devienneiMî
(6) ( 4i^x + by 4. <:'z = i,
^flx + b'fy + c'fz =1.
(7) { ^"^ + W^ + ^éf =o^
Les deux sjys^éme^ d'équations (4) et (7) som (art. 82) ctftfîvalens à ces deux*cîî:
a^« ÛV*
h Vc* »<ié«
( ^37 ) Cela posé , la question consiste à élîniineiS des équations (6) des plans tangens^ les coordonnées des trois points de contact. Pour e£^ fectuer cette élimination ^ élevons au carré les équations (6)5 après avoir divisé la première par JR , la seconde par /?', et la troisième par R!^', ajoutons ensuit^ ces carrés ^ et nous aurons ^ à cause des équations (8) et (q) :
Ajoutons les équations (5) , après avoir dî-* visé la première par /î*, la seconde par jR'*, 6t la troisième par R^* i on aura ^ à cause des équations (8) : •
^'T-^ + ^M — '^ + 'jpr + yfi
donc
équation d'une sphère du rayon ....-./
perboloïde , une ou deux des quantités P^ -P, P^ sont négatives^ et la réalité du rayon de la sphère dépend du signe et du rapport arithmétique de ces quantités^ Si Ton avait :
p *^ pf ^ pn — ® ^
jl Tiy aurait qu'un seul point par lequel on pût mener trois plans tangens rectapgulaires » et ce point' serait le centre de la sur hu^ puisqu'on aurait :
ou
i47« Lorsque la surface du second degré n'a pas de centre , ou plutôt lorsque le centre est à Tin fini , la sphère engendrée par le point d'intersection des trois plans rectangulaires tan** gens , devient d'un rayon infini , c'est-à-dire qu'elle se réduit à un plan.
Pour déterminer la poisîtion de ce plan , substituons dans l'équation de la surface. . . Pœ^+Pj-^P^z^ , ^ pour />, />/ et F' leurs
valeurs > -7— ^ (a a, 2&, ac étant
les diamètres principauic de la surface). Prenant pour origine des coordonnées , Textrémîté .de l'un de ces trois diamètres, par exemple du diamètre 2a ^ rapportons la surface à trois nouveaux axes parallèles aux diamètres principaux. Le» nouvelles coordonnées x! ^j\ z^ d'un point quelcpnque de la surface , seront :
a/ = «+fl, y—Xt «'ssrw /
L^équâtîon de la surface deviendra :
— ? + -îr + — =«^
ou, supprimant les accens des lettres od ^y^^ J :
Nommant p et jci' les distances de rorîgîne des coordonnées aux foyers des sections principales, mesurées sur le grand axe 3a, on a :
Substituant ces valeurs dans la dernière équation , elle devient :
( a iip -^ p* ) ( a fl// — p'* ) { a:' — a or } K^
Divisant tous les termes par 2 as ;
Lorsque le centre de la surface est situé à une distance infinie de Tcxtrémité du diamètre principal ^ a , ce diamètre principal devient infini , et Féquation de la surface se réduit à celle-ci , qui comprend (art. 1 1 1 ) les deux pa-
taboloïdes :
En rapportant la s;pli^re décrite par le point d'intersection des trois plans rectangulaires, aux nouveaux axes , l'équation de 1^ sphère devient:
Lorsque le dianièire :2 a est indni , cette équation se réduit à celle d'un plan perpendiculaire à ce diamètre :
mt^pz^p^.
Lé signe -^ J)Our le paraholoîde elliptique , èl le signe + pour le paraboloidc hyperbolique*^
i4S« TinéoniplE» Le vplumè du pafolléli' pipède circonscrit à une surface du second degré , est constant , quelle que soit la direction des arêtes de ce parallélipipède ?
Démonstration. Soient trois diàmkrfs coû" itigùés a/j 2g j 2 h. Les six plans tangend à la surface du second degré, menés par les extrémités de ces trois diamètrds , sont parallèles deux à deux , et comprennent le parallélipipède circonscrit. Or, on a démontré (art^ 107) que le volume du parallélipipède obliqua
construit Sur les trois demi-diatnëires/, gy h^ est égal au parallélipipède rectangle construit sur les trois demi-diamètres principaux a> 6, c; donc tous les parallélipipëdes circonscrits sont égaux en volume ^ et l'expression de ce volume est 8 abc.
s. VL
De la Discussion des Equations numériques du second degré à trois variables (i).
149. L'objet de cette discussion est de re* connaître la forme et la position d'une sur^ face du second degré , représentée par une équation dont tous les termes ont pour coefiîciens des nombres donnés. Quelle que soit cette équation , elle sera comprise dans l'équation générale (art. 95 ) :
«|- A. Cap + a C'x -J- â C^z )
Les surfaces du second degré , représentées
(1) Ce mode de discussion est Tobjet d'un article de
M. Petit I inséré dans la Correspondance , tom. a, p. 32s4«
par cette éqtiaiîon générale y se divisent d^abord eii denx classes ; la première comprend les trois surfaces qui ont un centre t VEllipsoïde , IHjperhoîoïde à une nappe , VHjperholoïde à ckujc nappes ; la seconde , les deux surfaces qui n'ont pas de centre : le paraboloïde ellip^ tique > et le paraboloïde hyperbolique. De ces cinq surfaces , les quatre premières peuvent être dé révolution. Elles comprennent comm« cas particulier , la sphère , le cône , les cylindres qui ont pour^ bases les courbes du second degré , lé système de deux plans qui se coupent ou qui sont parallèles , et le point. Nous allons exposer une méthode générale pour reconnaître à quelle espèce ou à quel cas particulier des surfaces du second degré, on doit rapporter la surface dont Téquation est donnée*
ï5o. Comparant réquatiôn proposée à Téquatîon (i) (àrl. ï49)» ^^ formera JejS équations ( art. 97 ) qw déierniiûent les cpordonnéêsi €t y ^ y y an centre de la surface:
^*4.^^^-f JBV-f-C =0, Bfi^^A'^ + By +C'=a^
CLacune de ces équations étant linéaire > elle représente un plan ^ et un point quelconque de ce plan a pour coordonnées it , jB , >. Ou trouvera , pour ceS trois coordonnées ^ où defl valeurs finies , du des valeurs indétertpinées j ou des valeurs infinies^ Examinons successi-* venient ces trois cas,
I®. Les valeurs des trois coordonnées du centre de la surface sont finies^
Soient et . 6, ^ y \es^ coordonnées du cetitr» de la surface , pris pour origine des coordonnées. En supposant (arté 97):
^Bfiy-^- a B'ay -f- a B^çifi \ ==i — JSf ^
2Ca 4.aC'i +aC//y'-.lf )
réonation |[énérale (i) (art. ^49) 4^viem :
Ajant nonitné a , h ^ c les demi-diamëtres principaux de là surface ^ et rapportant la sur-^ face à tes diamètres ^ on a pour équation de la surface (art. io5 et 106):
OU
Désignant par /î* (art. 99 et loo) Tun quelconque des carrés a*, 6*, c% et supposant
fi' , . . , a» &* c*
-^ = ^ , les trois quantités -7^ > -17- > -77-
sont donnéejS par Féquation (i) (art. 100). Si
dftns cette équation (1) on met — à la plac«
de s , elle devient :
ii^t*(^A + A' + A1) \
+ AB*+A'B:^+A/fBn*—AÂ'Aff—:iBB'BO
Nommant f , £', t^/ les trois racines de celt« équation (/')> on a :
•—-Ë. h*—— ^—JL
J--P__i. JL=iF-il J^-m-JL
Les trois quantités P, /^, -P' étant (art, io6) toujours réelles, les racines r, ^', t'' le sont aussi f d'oii il su^t qu'on pourra faire usage de la règle de D^scartes pour connaître le nombre de racines positives et négatives de l'équation (/') (voyez Complément des Elémens d'Algèbre, xleM- Laerpix, 3«. édit, , pag. 67).
Suivant cette règle , le nombre des racines positives sera le même que celui des variations de signe des termes successifs , et le nombre des racines négatives sera égal à celui des permanences dans les signes de ces termes. Les signes des racines de l'équation (/') détermineront ceux des quantités P, F, PL Ou ces trois quantités seront positives , ou deux seront positives et une négative , ou deux seront né-gatives et une positive , ou enfin elles seront toutes trois négatives.
Dans le premier cas , la surface est un ellipsoïde (art/ n5); dans le second (art. ii6)f un hyperboloïde à une nappe ; dans le troisième (art, 117), un hyjierboloïde à deux nappes^ dans le quatrième cas, la surface est imaginaire ; car il est évident que toutes les valeurs réelles de a:, ^, js rendant la quantité Pac^ -|- P^y^ + P^.z'^ négative , il sera impossible de satisfaire à l'équation
j5i. Ayant substitué dans le terme — H (art. i5o) les valeurs eij ^^ y (art. 97) des coordonnées du centre de la surface, il peut arriver que ce terme, soit nul.. Alors l'équaiion^
(E) (a«t. 1 5o ) devient :
Cette équation appartient évidemment à un
cône , dont le sommet ou le centre est à
l'origiae d«s coordonnées. En eâfet, supposant
le rap|j|ort -r^r- égal à une constante, Téqiia-
tîoa (fi/) fait voir que le rapport — - sera aussi
constant. Ces deux rapports ne varient pas pour les points du cône situés sur une même droite, passant par le sommet.
Si réquatioa (^0 ne contient que les trois premiers termes Ax^ , -^'j* , A^^z^ , et si les coefficiens de ces termes sont dé mômè signe ^ l'équation proposée appartient à un point.
2®. Les valeurs des trois coordonnées du
centre sont indéterminées.
i52. Dans ce caî , lefc trois équations linéaires (art. i5o) , entre <* , jô , >^ , se réduisent â deux bu à une seufe. Supposons qu'elles se réduisent à une setile, cette équation unique représente le plan des centres, et Téquation |>ra|)Osée est le produit de cîeuaç facteurs li-
( ^47 ) néaires en oc ^ y ^ z qui appartiennent à deux plans parallèles au plan des centres , et situés à égales distances de cç dernier plan.
Lorsque , des trois équations linéaires en #t, j8, 7, Tune quelconque est une suite nécessaire des deux autres , eHes appartiennent à deux plans , et tous les points de la droite intersection de ces cPeux plans , peuvent être pris pour le centre de la Surface. Dans ce cas , la surface proposée «st un cylindre ou ie système de deux plans , c'est-à-dire un cylindre qui a pour base le système de deux droites.
Coupant la surface proposée par l'un quelconque des trois plans coordonnés , on détermine la ligne q«d sert de base à la surface cylindrique , par la règle connue ( voyez Trai(é des Courbes , de ©iot , pag. -jôo , 5^, édi-tion ).
II est d'ailleurs évident que les trois équations qui donnent les coordonnées du centré , ne peuvent jamais êtr>e satisfaites indépendamment de toute valeur de et, jS, 7; car il faudrait alors que tous les coefficiens du premier piembre de Tiq^viatiofi j^rjppQsée fussent nuls ^e qui est absurde»
^^. On suppose les coordonnées du çenir^ ^ infinies.
i55. On coupera la surface proposée par un plan. Si „ qucllç que soU la pQsiiion du piap sécant , la sçction qe peut p9$ être une bjpert>Qle , l'équatioi:! donnée représente ( art. i2q) lin patc^oloïdç elliptique ; si la section ne peut pas être une ellipse , l'équation donnée représente un p^raboloïde hyperbolique. Si la section f st toujours une parabole , la siirf^ce proposée es; vax cylindre ps^^abolique.,
i5.4. Les calculs préparatoires nécessairesi pour la discussion des surfa,ces du second degré se réduisent 4onç à former les trois équatio^s linéaires (art. ^5p) qui donnent les coordon-* nées ^^ ^ ^ y àxx centre de la surface , et réquation V (art. i5o), dont les racines déterminent Içs signes des çoef^cien^s ^^ iP, 1^^ 4e réquation
P«» + Py ^ P«^^ = 1.
On complettçra cette discussion en formant les équations de condition^ (art. ii4) qui ex-? pri^ment qu'une surface es^ t}^ révolu tipi^ ^
et les équations qui représentent Tate de ré« *voIution. Cependant il sera inutile de former ces équations, lorsqu'on aura reconnu que la sur&ce proposée est un paraboloïde hyperbo-> lique t un cylindre à base hyperbolique ou parabolique; car il est évident (art. lao) que ces surfaces ne peuvent pas être coupées suiyant des cercles , et leurs équations privées des trois rectangles ne satisfont pas à la condition trouvée (art. ti4)*
