Cylindre parabolique. Soit

j'* + 4^* + 4j'2*"5ar — 6z — 4.7^ "h ^ es o.

Celte équation n'ayant qu'un terme -—Sx, qui renferme la variable or , on ne pourra le faire disparaître , ce qui fait voir que la snrfiEice qu'elle représente n'a pas de centre:

mais ses sections par les trois plans coordonnés sont deis paraboles : cette surface est donc un cylindre parabolique (art. i55 ) ; car , sans cela 9 elle serait un paraboloïde, puisqu'elle n'a pas de centre : or, tous les plans qui coupent un paraboloïde suivant des paraboles sont parallèles à son axe principal , et par conséquent trois d'entr'eux ne peuveni être les trois plans coordonnés ; ainsi Téquation proposée représente un cylindre parabolique.

i3. Une droite. Soit i

{2 a: • + 5 J-* + 5 z* + a a? ^ — 6 ar z + a X + 4^ — a 2 + I c^ o.

Les équations qui donnent les coordonnées du centre sont aj:+y — 3z-4-*ï=o,5j-'4-a5-|7a5=:o,5z— 3x— 1 = 0;

les valeurs de y et z tirées des deux dernières équatioiis rendent la première identique , ainsi la surface est cylindrique ( art. i5a )• Pour avoir sa base sur le plan des^ z , je fais :r =: o dans son équation , il vient

5 (j^^ + z» ) 4. 4j^— a z+ 1 sso.

Cette équation donne un point qui a pour coordonnées

jr :^2 — -, z=-^ ainsi l'équation proposée représente

une ligne droite qui a pour équations

5/ + ar + a=:o, 5z— .5x*-i=o.

Et en effet , étant mise sous la forme *

( 5 j'- +a: — a )* 4- ( 5z — 3 X — I )• p: o ^ elle donne les deux précédentes*

i4« Hyperbolôïde de résolution à une nappe. Soit :

Les coordonnées du centre sont xz=:''9y:i:z — -,zï=:-; et réquatîon , rapportée à ce point , devient

la section par le plan des x.z est une hyperbole , ainsi la

surface est un hyperbolôïde. Or l'on a iH =; 3 + ô ^^>

JV=; — 6 — ia<^o, donc^<io, et par conséquent

t'fayperboloïde^est k une nappe. Ce qu'on pouvait voir en

observant que la section par le plan des^ z est une ellipse

réelle.

Lées coefficiens de la seconde des équations précédentes

satisfont à Téquation (4)f ainsi la surface est de révolution ,

et l'axe de révolution a pour équations, rapportées au

centre, z=:o,j-s=; x.

i5« Paraholoïde hyperbolique. Soit :

5 x* + J^* -f- a z* — 4 ^J +5j^z^-5arz+aj —

Lies équations qui donneront les coordonnées du centre sont

&x — 4j^ — 5z+i;=o, aj-*-4Jc4-5z-^ isso 4z -^^jr-^Sx — 2s=:o.

Multipliant la seconde par 2 ^ et l'ajoutant à la première y onaz — T^x — i:=o; qu'on multiplie la seconde par 5 y et qu'on en retranche la troisième multipliée par 2 , on

::: ^Tu

aura z — ax-4">==o: cette équation est incompatible avec celle que nous Tenons de trouver , ainsi la surface que , représente Téquation proposée n'a pas de centre ^ or \9f section par le plan des xy est une hyperbole : c'est donc un paraboloïde hyperbolique (art. i55).