Cylindre hyperbolique* Soit

7* — z -f- 5 cz: o.

Les équations qui donnent tes coordonnées du centre sont

4* + 5^— -5ar— i =0 j des deux premières on tire aâ?=:z— «i, 3j^£=— z — i» Ces valeurs rendent la troisième équation identique ^ ainsi la surface est un cylindre dpnt l'axe a pour équations les deux précédentes (art. i52); la section par l'un des plans coordonnés étant une hyperbole , le cylindre est hyperbo* lique.

De la Projection stéréographique.

Pour définir un mode de projection | on donne les b'gnes qui projettent un système de points, et la surface sur laquelle on projette ces points. Dans la construction de quelques cartes géographiques , on suppose que les lignes de projection sont des -droites dirigées vers un point de la surface de la sphère qui représente la terre , et que lé plan de projection est parallèle au plan qui touche celte surface au point de concours des lignes de projection. Cette projection ^ qu'on nomme stéréographique y jouit ^ comme on sait^ de ces deux propriétés remarquables ;

!*• Que tontes les sections pkoes dek sph^e se projettent suivant des cercles;

a*. Que deux sections quelconques se coupent sons le même angle que. les projections de ces sections.

M. Legendre a remarqué que la première propriété a également lien pour un ellipsoïde de révolution, en pre^-^ nant l'extrémité de l'axe de révolution pour le point de concours des lignes de projection ( Voyez la Correspond dance sur l* Ecole Polytechnique , tome I, page 76 }• M. Hachette a fait voir que cette propriété avait encore liea pour une^surface du second degré , dans le cas oii le point de concours est à l'extrémité du diamètre de la surface qui passe par les centres des sections circulaires de c^tte surface ( page 225 , art. 1 4o)«

Le théorème suivant comprend ces deux propositions*

Théorème. Si par des courbes planes S^ S'y,,, tracées sur une surface du second degré, on fait passer des cônes qui aient leurs sommets en un même point P, et qu'oncles

. coupe tous par un même plan parallèle à celui qui touche la surface au point P^ les sections seront des courbes sèm-* blables entre elles et semblablement placées; elles auront

. leurs centres sur les droites qui joignent le point P et les sommets des cônes circonscrits à la surface suivant les courbes 5, S',„* respectivement.

Démotistmtion. SoilAx* -^A'jr^J^ A!*z^ — /îC = o(i)

réquation de la surface du second degré rapportée à trois diamètres conjugués (art. 107, page i65) :

Soient fjgy^^ les coordonnées du sommet d'un cône

qui touche la surface suivant une courbe S ; l'équation du

plan de cette courbe de contact est ( art. ilfi^ page 282 ] :

uifX'i-A'er-^yt'hz^K^SS.o. (2);

Considérons la même courbe S comme la base d'on se«| 1

ce

cond c6ne {S yP) qui a son sommet à Textrémîté P da diamètre de la surface dirige suivant l'axe des z^ en aorte que les coordonnées de ce sommet P soient ~ t

xi^zio^y z=z o,z = y "-jTi > ^* P^'*'^ abréger, z =c.

. L'équation du plan tangent à la surface du second degré

en ce même pomt P ; sera • • • • z = V J^

el l'équation de la section diamétrale parallèle à ce plan sera: ^*» + -^>* — /iC =: o^ (3).

Nous allons démontrer que le cône {S P), étant coupé par le plan diamétral parallèle au plan tan<gent »u point P, la courbe qui en résulte , et la section diamétrale de la surface du second degré située dans le même plan , sont des courbes semblables et semblablement placées (page 194, art. I 2a}.

Cherchons d*abord Téquation de la surface conique (SyP), Les éqnations de la droite génératrice de cette surface sont :

;cc=L.(« — c), (4)

j-s=:Af(«— c). (5)

Substituant ces valeurs de x et y dans les éqnations (i) et (a), et observant que A!* <?'— -iiLcâo, k cause de

«*S3-^, y on aura, en divisantpar z — c ,

éiinunaut («<—c) 'entre ces deux équations , on aura :

( a73 ) {K--A"ch) {AL' +A' M'-^A')^ + ^À"c(ALf+A'Mg + A"h)t=io. (6)

Cette équation e^Kprime la relation qui a lieu entre les quantités LtXM , et fiiit voir que l'une d'elles prenant (cotes les valeurs qui correspondent aux diverses positions delà droite génératrice du cane, les valeurs de l'autre pour les mêmes pôsilTons sont déterminées.

D'où il suit que le système des trois équations (4)} (5), (6) représente la surface conique («S*, JP).

Eliminant Z« et il/ au moyen de ces équations, ousubsti-

XX' tuant dans l'équation (6) les valeurs ■ , de L

z^^c z — c et M y tirées des équations (4) et (5) «on aura pour l'équation de la surface conique {S f P ):

r iK — A''ck)(Ax^ + Ay^A"{z—cy) + l +a J"c {AJ X +A'gj^ +A' h (z— c) ) (z -c) =0. (7)

-' On voit qu'en faisant 2=0, le plan diamétral qui contient la courbe dé la surface du second degré représentée par l'équation (3) y coupe le cône (S^P) suivant une ligne dont l'équation est :

A x^+A'r^ — 2 A" c> {Afx-y A'gr )

+ K-A\ch. ~^- ^^\

qu'on pourrait mettre sous cette forme :

^Cx - -^Y+ A'L^fiiy^

Comme elle ne diffère de l'équation (5) que par les termes

Jinéaires et constans, il s'ensuit (art. 122 y page 194) que

cps deuA acctiops sont semblables et semblablement placées.

lie centre de la section représentée par Téquation (8) est

sur la droite qui joint le point P et le sommet (/, gfh) du cône circonscrit à la surface du second degré suivant la courbe «9 , et dont les équations sont :

En effet , si l'on coupé le c6ne ( 5 , P) par le plan de Téqoation z =; A^ qui passe par ce sommet- (/^ g^ h)j on aura l'équation de la section ; en mettant dans l'équation '(7) du c^ne {S ^ P) pour z sa valeur h , çlle est :

Le centre de celte section est le sommet {fy g y h) ^du cône circonscrit. Mais toutes les sections parallèles d''un cône ont leurs centres sur une même droite qui passe par son sommet ; donc le centre de la section (8) est le point d'inter» section du plan diamétral 2 = 0, et de la droite (9) qui joint le point P et le sommet du cône circonscrit; propo* sition qui est encore démontrée par l'équation (8) , dans

laquelle les quantités ■ ^ , — ^ sont les coordonnées

du point oU la droite représentée par les équations (9) coupe le plan des x/. Le théorème est donc démontré.

Si le point (/, g, h) se meut sur une surface semblable , semblablement placée et concentrique à la pioposée^ oa aura -^/* + ^^ ^' + A" k^ — /f c=2 a* pour équation de cette surface; par conséquent la section préf évente par te plan z=:A sera toujours la memeçourKe.

On parviendrait à quelques autres théorèmes si l'on cou* pait le cône par un plan ;s=( qui ne passât pas par !• point ifigfh).

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