Considérant une ligne comme le lieu géo
' liiétriqàç d'cm point mobile y^soamis à ime oa plusieurs forces constantes ou variables ^ la loi ia mouvement détermine celle quilie les pointe de la cousbe entr'eux;^
Suivant les: anciens géomètres , une ligne dfrpite est tangente à une courbe, lorsqu'ayant un point commuDr avec la. courbe, on- ife ^eut mener par ce point aucune autre droite, en- , tre elle et la courbp. Depuis , on a envisagé les tangentes sous nn rapport moins abstrait. Oa les a regardées comme des sécantes dont les deux rpoints d'intersection consécutifs sontréunis^ou comme les prôlongemens des^ côtés infiniment petits de la courbe considérée comme-un polygone d'une infinité de côtés, ou enfin comme ^
• la direction dumouvementcomposé par lequel la courbe peut être décrite^ Quelle que sait la
-manière de- les considérer,, il; est bien^ évident que les projections des^angezites-d^uiie courbe
• plane ou à double courbure, soiait les tangentes aux projections de cette courbe..
Lorsqu'une courbe est plane > la pçtpendt- Gulaire à la tangente , élevée par Le point de ^ eontact dans h plarhde Weonrbe^^t la 220^ jnale à la courbe au môme point.. . :
Un plan rper pendiculair^ à la tangente ^Tane* «o^irbe plan0' wi. à. double Qourbuc^, mené:
par lepoiat de contact^ se nomme filan non- .ma/ à la courbe. ; .
PropositioAs relatives au P^intf.àiai Ligne
droite et au Pian. .
6. Lorsqu'après sa^oiv fait tofuroer l'an des plans co<:M*donnés a;utour de l'axe des^coonlannées y ees plans comGid^it> les deux projëetioiis d'un même point sont placées sur une droite perpendiculaire à Taxe. . ' ):;>
7. Lorsqu'une droite passe par deux points, ia pro|eotion de la droite sur 1-un des pians coordonnés, passe par les projections des points siirice même plan. <
8. Deux droites parallèles ooit ponr^irojectioni» des droites parallèles; : >> .
^ > *' 9* Lorsque deux droites se coiq>entdans Testpace,et comprennent entr'elles un angle, le sàitaiiiet de cet angle a pour projection; sqr Fun des plans coordonnés^ le point d'inverséetiou des projections des deux droites sitr le 'tnéme phin coordonné, ; ' ; ' ih f -
~->'^îiii Aïéiiié ' proportion €st vraie pdar^deux lignes quelcoûques planes où à doublé tem*bure qttt se <>DupÀnt où se touchent; Si elles se touchent, là projection^dd leur point' d&cbn tact
est le point db ooMact des lignes qui en Boti projections. ( Art. 4 )• • • •
to^ Un pian eèt déterminé de positionàFégard des plans* coordonnés par tes traces.- Oa nomme ainsi ies demt droites qui sont les. in* terseclions ddce^ plfinsreoôodonni6s et duplab donné. ' ' •
. Xia pesitibn d'àn^ plan est toat-ià^^ait indépendante des:figoi:^s.pIU8 ou moins. grandes qu'on peut traosr i^r ce plan* Ainsi , pour ob-^ tenir ses tri^ces sur lesplanfs ooordonnés^ il faut le supposer prdlong^ indéfiniment dans tous les^ « sfeas ^> et à>moiiis « qu'il' ne soit parallèle à Tun des plans coordonné!»^ il les coupera tous deux^TantDdèfs droîtésxqtd< se croiseront sur y^xc des coorfqnnétau. Daiis.le cas du parallélâsnse^ une secrie traee sftk leplan coordoiuié auquel il n'est pas parallèle^ déterminera laa poisilion^çetie^ trace seir^ parallèle à l'axe, dés cokirdmmées. Dans le cas^ général > deuxitraoes seront nécessaires ^oùr déterminer un plan , et il est>évidei](t •qdei pa^ ces traces ^ qui otHzit prenn^^nt tmi àtt|fle dota t<jforj sommet est sur Y^oûb d^fcé^rdotméesi^'iOfi'^nefpept coiÉiutro qu'un seul plan, et quéMa position de cei^an
est détermina. -i -f-î'-i j;) '...:;*. ijî^.Ki,; .()r
€tir !es plaD$ coordonnas y dea dh>ités paràl-lèles. ....'.■.:••. .'•.'**'>;
' ia. Ayant den^F'droiteâ^^aoéMjarHtrairement^ et un plap qnéiconqxtc rwà^é pondes parallèles à ces droites^ ce^phm eA paorallèie aux deu;x: droites^ * ^t réeiproquemenii^ qsb) idroîrtea sont parallèles aa plan.
" i5. Iiorsqtiefdeux plèa^s cPi et iP^së wupent, leur diroite d'intersectiçn passe! pa^ Je. pmùt.oi^ les traces de ceé pknsjP etJP' sur l'an des plans coordonnés^ onsur tout autre planf se rencbn-^ trent} elle passe i encore par 1er point ou une droite prise à volonté sur l'un des d^us plana P et P'> coupe Tautre: plan. },..?.; :| a^i; r i 'i'. i4a Si une droite; J9 teneontbe! fun pian P ^ en! même temps qu^uâL autre;iplan}CtuQleonque âsené par la ; droite i& coupe oè plan* îB ^oi vani: cine^'secônde drojitè 2i^,:lç point d© rèiiconlr© dé)la) droite iî et dkt plan JP , et Jejpçint d'iar tersaôtion des deux droites jD et i^'iCOUM^ldent.
, i5» Lorsqu'une idbroîte>4'^^^^^^^^^^^'^^ des plan» coordonnés > Jer plftn fpeifpeûdieulaire
à cette droite a p$frur.tirivce so|^. lemn^me plan
eobrdoÉméy i:|ne.se0anfli^drQit&,i^op^pendî«
onl^ir&àlaprêmièf^lZîfjp ]o ^<\rÀo [i:-.r /;-■ .
i6. Lorsqu'une droite est pejj^ildîculaare à
xuiplan^lesprojeotk^i/de^^âri^a^
• (9 ) diculaires aux traces da plan. ( Il eA entenda ^tcuà.la droite et le ;plan ^soiife rapportéd aux mêmes plans coordonnés).
. ;FGwdémoiKrercettepropkMttian: 9 désignons •par J? ^Ia:dn»te perpeiidieulaire à un plaà quelconque P-; le plan ff' conduit par cette jdrôite, .i£^;€l^ ^par sa pcojectioa sur Vùn des (fimsf ^oQcdottnés > est perpendjoulaire à ce plan coordonné! et au, plan P , puisqu'il passe .par d^ droites fierpendioulaires à ces plans; or* i un 'pl^' perpendiculaire à deux autres {plans est pi^rpen^culaîre à leur intersection 4^mmtm9r> idonc la traee du plaxi P! sur le plan coordonné . est ( art. , x5,). . pei^pendiculaire à la .ti:ac6.du;pl«a P ; iHaispCitte trftçe du plan P' et la pro)eiQtiiH|.^;ladroUf JD coïncidént( arl^ 5 ) ; 4'où il suit ^ue la projection d^une drc^le D .sur l'un des! ^pla^^ /coordonnés, e$t perpendi^ ^ukire à )a trace d'un plan P perpendicu-> laire à cette- droite. .
; :17« Ii(^*sqi:i'4jin6>droite €^t pefTpetadiculiune à iifitm^ ^utr^s^^rqitffSfi .elle est ^um perpencKcalaire au plan qui est parallé^O' & ces derr ;iaere§droU«s.
*■- lï'îîl ■••)'■■. 'r* '
( lo )
^ Heê Opératioti» de la Géomèirié dêhciiptipê^
V 1 8. Les-propositionsprécédentet», relatives à da ligna droite^et an plany i^nf ermeutla ^liéiodp deiagéoinétriedescri^tve^JSa considérant cette ^ométrie' ccMimei tin art gra]^hi4iie,^^dotft toutes U$^ opérations idoivettt 6'eiéctitei*^*ftV€fc 'la règle) et le compad^ éies opérations ddm^ .prennent d'abord^ celles ^«^ ttoiit tHéceisisairQs pour résoudre Ica problêmes ^e^^lagéotoétrie iéUmentaire ^ relatifs à k Hgnei td^oite «t^ au «ceffcle tracés sur xtn plan* DafnsîtbW k» aii^ très cas, même les . plus consposés , 0& ron «e tert à-^k-fefô de deux pkns ctMrAùnn^i^n jde. projections^ il est très-reikiai^cîU&bt^ quje le nombre des constructicms graphiques de' k •géométrie désoriî>!ive «e réduit à'deux , savoir: 1® cons^it^e^k ^disUaùcedé deui poîtfls tiorit on a les projections ; a^ conWrtiirte 4è |)<J«Bt de irenbôntré 4'un plan qtiî passé- J^ati ll^s points ^anés ) et 6^tme dircdté menée par détint points
-aasBi •donnés?': •" • ' 'i ■■■■? '■'■'■ "''■"" C'est ainsi que toutes les opérâ<i©ni9 àur les nombres se réduisent à la pratique des quatre règles connues de Farithmétique»
Des Surfacescourbesjdes Lignes courbes^
$. II
' De la Génération des surfaeesy de leur Définition.
ig. Si Ton considère une sar&ce comme le lieu d'cttie cônrbe: mobile dont la forme est constante ou' variable , la loi èxi mouvement de cette courbe détermine celle qui He> lès points de la surface entre eux. On nomme la courbe mohile la géir^ratrice de la surfiicè:
Bn faisant mouvoir une sur&ce d'une forme constante ou variable , Tenveloppe de l'espace qu'elle parodirtt eSt une* autre smfà^ (q[à'on
tidiiïtne surfdbe enveloppe ^ éti^tâ^st le lieu dès lignes d'intersections successives dé la surface mobile. Chacunef de ces ligiies peiit être considérée comme là génératrice de la * liuî^tace envëHappe. '^ ^ , ''■ . ''iWîM').'- - ^i
Unte feurfece est définie lorêljde ^^ànâ^^/ià'cun de ses pointe ^ on peut assigner' la ligné gé^ nércitricÉ^ quipaèsèparcépùintS<3ètt^ '^tiélri-'^ tribë pent^ éft^^ddilbéë on ed 'l^Iief / oU'^ilr ses projections. ( Art. 4. ) • ' -'^^
ÙiB ^y&détp^t^oii'emplbielepltïs fréqiibm-
ment dans les arb sont celles qui ont pour ^génératrices mobiles le cercle e.t^lajigne- droite^ Farmi les surfaces qui ont pour génératrice le eercle y on doit dîstinguei^. celles qu'on nomme êujfttcês de révolution y et qui s'exécutent sur lUne machine très-connue,. le tour à pintes y tour en l'air , .etc.
•Buy a dQu;:ipe8{»èeeSidesur&ci»$) engendrées par iine d|?pîtq^ les ung^^u'on v^omm^, mrfacë$ éépeli9ppç.^hii :lw; autres que je^pirQpQ^ç d'ftp-
Des SuTfacei^:,4e.jé99l^tiQn^^ ^éné^^l
j . S(trfmfi^} engifif^rées j^ifri^n CfircU. moltïU.
»,», sp. J^|^u'^9^c;ç^cIe; se ;tn;C|iit , /Sckii reentee uâécritu<ie;CQQrbe; son rayon \^ne suiva^it une sÇf(rtWiç.ilG4.;^l^^: intersections «çccessives du . plan, d» pf r/qlç ^ f orçaeq t un^ . . s» cfope. lii'esiYe- ^loppe . dfrl'egpacç qu'un c^Tcle par/t^pv^l; ij'fe^t donc déterminée que lorsqu'on connaiitce^1priqis ~dl|oses;;> i® la, loi suiyaut laquelle Is raypi» di> -Qçrçle varie ;,,a<» la çourbe.djécrite pa^y leijçntr^ r ^ §9 1^ sttrfjEice lie^i^ géométrique des..ij^tçrsactiQi;s iSOcpQssâv0 fdu. pÏAU m0bil0)> qui contieul; <)e
cercle. .• j- ' ^ •,: i :•:;::; v ..'
- Q0el;que.s0i| te «loiiYôni^ d!Qa9 jplièjBs^
tfrtth rayon constant ou variable', fcnVelopipe de Féspace qu^elle parcourt est le Heu de^ cercles intersections successives de là' sphère mobile. Si Ton remarqtie que de^x spïières qiii se pénètrent oDft pour intersection un cercle' dont le plan est perpendiculaire à^Ia droite qui joint leurs centres , on verra &ci}ement que la* courbe décrite par le centre d'une sphère ixxo^ bile, est Taxe curviligne d'un canal dont les sections perpendiculaires à cet axe sont des cercles. Lorsqu'on substitue à cette courbe une ligne droite , la surface canal devient une sur^ face de révolution. On appelle ainsi la surface engendrée par une ligne droite ou courbe ^ plane ou à double courbure , qui tourne autour d'un axe fixe. Un plan mené par cet axé; le nomme plan méridien. Tous les plans méii^ diens coupent la surface de révolution suivant là' même ligne, qu'on nomme section méridUehne:
Toutes les lignes planes ou à double, courbure qu'on peut tracer sur une surface de révolution dont l'axe est donné , engendrent > par leur ïnouvement de rotation autour de cet axe , la même surface; ce qui est évident y en remarquant que les rayons et la positidot respective des cercles de la surface ne varient pas. • '
(i4) . Farmi les surfaces de révolution , nous citei^ xons comme les plus remarquables , le tore ou 1^ virfetce tfnm^laire , XeUipsoîde et Vhyperboîoide de révolution. lie tore a pour génératrice le cercle qui tourne autour d'une droite située dans le plandececercle. L'hyperboloïde de révolution est la surface ,^gendi;-ée par une droite mobile qui tourne autour d'une droite fixe. ( Ko} ez.la Simplement à, la Géornétrie descriptive , art. 75> page 63).
Des Surfaces âévéloppablea.
ai. Une surface développable est le lieu géométrique des tangentes à une courbe à double courbu^ ; deux tangentes consécutives correspondent à deux positions consécutives de It li^ne 4roite mobile génératric;e de la surface. La courbe dont^Iea tangentes forment une surface développable est une ligne de cette surface , c[uî sépare deux nappes égaler , dont l'une comprend toutes les tangentes , et l'autre leurs prolongiçpiens : on nomme cette ligne arête de r^roussement. lies cylindres et les cônes sont des surfacesidéveloppablesjdans un cône, Varéte de rebrousseme"' se réduit à un point qui est le sommet du cône. Quelle que soit la sur-
&ced^yelQppabIe , son arête de rebraussqmenjt;. en est une Jigae centrale.
as. Dec^x droitea consécatives d'une 0arfaçp( développablecomprennen t ij^n; Clément de ciette surface.^ 7 ow ces élémena peuvent être réunie, sur un seul et même plan. En effet , deux é\é* mens consécijitifs étant séjmrés par une droite» de la surfSe^^e , le second élément peut tourner; avec la surface autour de cette droite , jusqu'à^, ce qu'il s^appUque sur le plan du premier élé;-. ment. Ces deux premiers élémeus réunis étant fixes 9 le troisième élément peut tourner avec la portion%de surface qui lui est adjacente., pour s'unir au second, et ainsi de suite. T^OyUSt. cesélémens réunis, sur on seq.1 et même. plan r forment ce qu'on appelle Je dépeloppeinmP] de la surface. Il suit éyiden^ment de ce mpda, de dé yeloppomteiit que toutes les^courbes plaues ou à., dQublfl ; courl^ure , tracées sur la surface, déyeloppable; , et qui CQupept les diroiti^ai 4ff cette surface sous des sangles / 4éter naines , s^., transforment sur le plap de 4éveloppenûient en d'autl:ps courbes qui, coupent, les droites de la^^ sttrfSpice déyeloppable rappprtées sur ce plan,; sous des angles respectivement égaux mx pre^^ miers.
En considérant une surface courbe quel-
conqae^ rien n'empêché de la coceeToîr di-^ Tisée en un assez grand nombre de partiesr pour que chacune de ces parties tae diffère pas sensiblement d'un élément plan. Mai» si toutes ces partiesétaient réunies sur un tagiême plan^ de manière que deux pat'ties contiguës aient un côté commun, elles laisseraient entr^elles des intervalles, ou se superposeraient. L'aire comprise dans le contour extéric^ur de toutes ces parties ainsi réunies, ne serait pas de même grandeur que la portion de surface courbe formée des ^émes parties; les surfaces dé veloppables jouissent donc seules de cette propriété, de pouvoir se développer sur un plan sans rupture ni^u^ plicaiure ; elles sont les seules dont les élémens' plans ont une dimension illimitée dans le sens des droites de la surface.
â5. De quelque manière qu'un plan se meuve , l'enveloppe de Fespace qu'il parcourt , eçt Utie surface déi^eloppable, lieu des droites in(te;r— v sections successives du plan mobile. - '
Nous reviendrons sur la génération et le développement d'une surface développable, lorsque nous aurons traité la question du pkun tangent à cette sur&ce.
Génération des surfaces réglée^.
fi4. Deux droites consécutives d'une surface développable se rehcotitrent , et comprennent un élément plan de cette surface. Dans une wriace réglée y deux droites consécutives, quelque petite que soit ' leur distance , ne se reheontrent pas , et Péléraeiit cobipris entre ces deux droites n'est pas plan ; .c'est un élément' courbe, qui a une dimension illimitée dans le $ens des droites qui lé comprennent.
On peut concevoir que la surface réglée là ^lus générale 'est engendrée par une droite mobile quV s'iij)puie sur trois courbes données comme dîtfedtrièies. Prenant un point quelconque sut la première directrice, et le considérant comme lé sommet de deux cônes qui' ont pour basés^'lés deux autres directrices , les droites intersfections de ces côiiès appartiennent à la surface réglée. On peut encore déterminer le mouveineiit de la droite mobile gériëratrice de la surface ', par ' d'autres conditions^, par exemple^, celles-ci, de passer ^ar'^dçttx' courl^es , et de toucher un cylindre sur ïequel Tune des deux courbés est' donnée. Îles tangentes à la section droite de ce cylindre sont pour ce mode^de génération ^ les projections
des droites de la surface réglée sur le plan de cette section* - -
Parmi les surfaces jéglées^ ily en -a npe trèsremarquable que uou3 avons nommée, *è^m notre Traité des surfaces du second degré «i ^ h^perboloïde dlune nappe : elle est engendrée par une droite mobile qui s^apfuûe sur trois droites fixes comme directrices : elle jouit -de cette propriété^ qu'en prenait pçMirdirectricei les droites qui çoxrespojthlen|; à trois,poâitioas quelconques de, la génératiice . mobile ^ une autre droite mç^bile qui . s'appuierait sur les nouvelles directrices, engendrerait la mêtxj» surface; ensorte qu'il n'y a.aifcno point de cette surface per lequel on ne ipuisse mener deux droites dont chacune appa^rtient à Pua des deux modes de génération. . .
La démonsti^atioa de cette !proposUion ne suppose que la connaissance de Ja théorie des proportions géométriques,
•b5. Soit IJS. ( fig. I , ph 1 ) une; drc^t^ mobile qui s'appui& co^tamment sur^ troi;; droites I fixes -<<jB, MNy CJy^ pour, engendrer une
sprface réglée. ]^e considérant que la portion 1 de surface comprise entre lesi cdtés 4u,quadri'
Ictère gauche ^.^9 CZ>, toulç^ , le^: positions de la droite mobile coi^respçxull^ftnt à des
(19) âfoîtes, telles que / Ky T^K' , etc., qui cou|ietft les directrices fixes en trois points ( /, 6^ K )y {