AÎ CK CK BI

Cela posé^ si Ton fixe les trois droites ^ Dy IK , jB.Ç , pour qu'elles servent de directrices à la droite mobile MNy cette droite dans une position quelconque^ partagera encore les' côtés dû quadrilatère gauche en huit segmens entre lesquels, on .aura pour, toutes ses positions le» relations précédentes {d) > et (c) ; c'est-à-dire , que pour toutes les positions dès droites mobi* le^IKpMNy on a également r

. AI CK , ,^ N-rf.Af EN

d'où il suit qu'il y a deux modes de géoéralioa de Vhyperboloïde aune nappe. Dans l'un, la droite mobile IK s'appœe sur lerdrpife^^ Jî^

( Od )

^C £>*, MN y et dana Fantre, la droite mobile JlfiV s'appuie sur les direcilrices A D j B C^ J K. Il n'y a donc aucun point G de cette surÊiee. par lequel oa ne puisse mener deux; droites MGN , IGKy appartenant aux deux séries de droites , qui correspondent aux deux modes de génération de Thyperboloide.

sft. Lorsque trois droites^de Tune des séries ^ et deux droites dé l'autre série seront projetée» sur: un' pb», on poprpa construire , arec la règle seulement , les projections sur le même plan de toutes les droites de Thyperfaoloïde & une nappe.

Bjî effet, soieBBt ( % i, ) AB, MN^ CD les^^proi^ctions des trois droites de la première mv}ie^, e^t^ADjB C\^s projections sur le méma plan de deux droites de k. seconde série. Four i^oqisti-iiîire la profisctioa J£ dfune autre droite 4e\d^ prëtaièfQaérie) obï mènera les deuxdiagoiiali5s>v^ C^ ^ ZD'duiquadrilatère ABCD.V9X X03L point q^dconqttè K de la droite donnée CZ> , on tirera lea dbroîjtesi KM' y KM qui

coupent les diagonales, AC^BD àiix points LtyJJ y éï on joindra les points L y Ny ainsi qtie les points L'y iW, par les éroitea LM yL'Nqui 86 croiseront au point /du câté^^i^cki qua« drilatère AB C£> : la dnàteiiSC aéra la pro«

j&^ion dfune^déoîteiderhypdHMtfi^eqm appal^ tiett t au premier raoclede géhéràttan . Pbur coïiV triijDrç kpm)ec€oûJU!^if ^imè^^oitëdèkmèiAe soiiface qui appartient àil second mode pour lequel les trob ^i^ectrioes 3aik ^ D^ B € , /JT^ on mènei^iap^aiiuri^ point qpelconqoç ZV du côté BCùfi ^^adrilatèrç >^^CZ>^ les. Coites NI^ NfC qn\ çoupeçp|t|t Ifis dia|p!?aJpS-<^ C^ B D ai» ^ints L, L\ Joiçnap^ ces iM?ift^; i^t ji?» i??Cf i;ér mités Ky Ide la droite / A^^^eUes s^ çi:oiaei;c)iifc en un point M du côté AD du quadrilatère AB CD. La droité^ MzN :%&£9k la projectioa d'une droite de Fhy perboloïde qui appartient aa second mode de géiiféraiibn de cette surface (*).

Autre Dénutpm^^^km de 2a daubps^

d^ l^h^^perboloïdeparune droite.

sg. Lemw^* 3^ ^^K ^^ ^^^^^ AJi{ fîg. 3 ) d^uii triangle CABA^aa prend trois points p> -P, Qf

( *) Ayant co^Muhiqùe celteconsIruttmDàM. Chaslès^ «Bcien élève de TÉcok Polytechnique ^ il m^a earùjé ea^ réponse' la démo'nistration suurante et U dèttbte génératîoit de rhjperbo1^de»par ttoe4roite înobil'e.'Cest à M. Châslet qae l'on dok la eoç^MJ^QC» de cette propriété dç'lliyp||r^ ^loîde à une- nappe f qui est exprimée (art. s^Op^ ftqi&atkm (c). (Yoyei ia Correspondétnce sur tÉcob ^jtechmqm , tome ù v pa je 44^ ; et bmfr lo v page ô >^

( a* l qjue.pajr le preiAier p: V<m mèhe une droite qj^ejconque pa&, qtii coupe iC7ii^ en a, Ci?

e^ 6, pais qa'QQ tire les deux ligneaPa, Qbj^ l^ Elles sje.coaperqnt en un point c situé sjof la droite. Ç Q, et Ton aura ••;.

p A. QS.P Oz=^pB:Q0.P^.

'a^. Les droites P àei Q 6 couperont les lignes C'B;C '/ respectivement en deux points a', i', tëlk i^ue là drôîtè iâ^ 6' passera par un point fixe iB^aéla'yroite i^'O/et ciu'on aura :

ùA. RA,, PA. QA .

^ JbTkb PB. q B

. jBn e£fe.l; • considérant le triangle CA B coupé, successivement par les trois transversales pa6^ (2 â^Â i PaV,yYon a ( art. iâ6 , eq^ (a) ) :

p A. 'B'^^^C'€^'==s'p B, Cb. Aa p B.^A^'. C 6 z=: QA. Bb. C a'^ ■^ ' JPiJ.'Ci'. Aa^P A. .Cd. Bb\

* Lès deux triangles COB^ COA coupés respectivement par les deux trftnsyersales P ô^' c^ Qa'c ^ donnant ; ,

. : r. P.O. Co^ Bb' = PB. Ch\ Oc , ' ^ qM. oc. Cd xrs, qO. c c, Aa'.

Multipliant ces cinq équations membre à membre , Ton a :

fA. QB. POis=rfB.PA. Q O.

' 5^^ La droite a' V coupe la droite P Q en un point R , tel que ( i** ) :

Donc le point R est fixe y quelle que soit là droite pa6. ' • •'

Eliminant entre les deux équations précé* uentes le rapport -r-r l'on a : ,

M RAP A QA pB' R B~ P B'\b

, On a déduit de ce lemmè la démonstratiox^ suivante :

3o. Spit v^ B CD ( fig/ 4> le quadrilatère ^«oehe 'yABj*CD,EFj trbis directrices du premier mode de génération. Si par uti point p de la diagonale A C Von mène deux droites pF et p i? qui coupent les côlés du quadrilatère AB y CD y aux points 4/> .1^ respectivement ^ la droite ilf iVsera une génératrice de ]^ surface. Tirant de même P JRM' , PEN\ la droite JRT'iV' sera june seconde génératrice. . .

Pour prouver que la surface peut être, eur' gendrée d'une seconde manière , par unje di^oite E^ F^ qui s'appuie sur les trois génératrices. Aj) ^ BÇ, MNy il faut faire voir que cette droite rencontre toute autre génératrice M'N' ^ car alors elle sera entièrement çur la surface.

Itest claii: que les deus lignes MN^ E^ F^ étant dans un même {dan^ leA deux droilet MIf\ NE^ se coupent en un point Qde la diagonale A Ci soient R^^ R^ les deux points de rencontre de cette diagonale avec les deux droites N'R' „ il^'i?' ise^pecUr^oieAt^ otiianra ( diaprés le lemme ) :

fA.RAPA. qj f A. R'A Fjt.Q A f a RCP C.Q C*'p C. A' C"~ PCQC^

donc ^^ = nTriy oe qui fait voir que Je»

deujE pqÎQte JR^^' D'eit> i^al ç^'na, et p»r o(sa« *éqq««f les, 49«*x clroâlBs JT' iV% £' J' sobI

Si. Lorsque les trois dl*oites direetrices de hi dtoite mobile sont parallèles à iin Éiême piun 9 lliyperbol(ndfe à une nappe; eqgendréet par cette droite prend'Ie nom dé plan gauche y ou de parabohïde hyperbolique^

Un plbn gauche est détermina lorsq^uron donne deux directrices i&xes de la droite mo* bile y et le plan directeur^ acquêt cette dï*QÎte ne ceâse pas d'être parallèle. En efiet » ce plan ou tout autre qui lui est parallèle » coupe les

(«7) âirectrices fixes en< deux poiots^, et la droite qui joint los deux points, esb toute entière sur le plan, gauche. Supposons q^e le plan parai-lèle SLU^ deux directrices soit perpendiculaire aupUtti (^recteur, on prouTera facHeftnent que ie plan gauche dans cette hypothèse peut être eDgendvé de deux manières différentes par une droite mobile. En ejffet , soient ^ B, C D (%f 6.)lee deux drpkesdireclrices delà dï>oite mobile' ;^ ^ D^ la ppo^ction de la dtooite^ CD ftutr le^plan conduit parallèlement à cette droite paD Tautre dix)ite ^ M^ plan qu'on choi»t pour le plant coordonné. Le plan directeur et te plan coordonné sont par hypothèse perpendicu-* laives entr& eux. Soient B Éf ^ hB^ les droites intersecl!Êon6 du plan coordonné et de deux autres plans P et JP' parallèles au plan directeur. Le p]^2 P coupe la directrâce AB au point jB, la^ dirèctriee CTJD^ au point B^ et la projection jâ^B^ de celle-ci an point B' sitné sur la droite BB% perpendiculaire au plan coordonné. Cecôté DD' du triangle rectangle BD'£V Qaiesur6)la:<£8tance èé la duectrice C B au. pTan coordonpév Le plam JP coupe lesdeux directrices AByCB re^eclivement aux pointa h et E^ et la pirojectioD AD' de la droite CZ>^ au point E' f ce qui détermine les trois

fioramets b, E y E* d'un second triangle rec*^ tangle h E E% dont la hauteur EE^ est égale au côté D D- du premier triangle. Les hypothénuses BD y 6 JE de ces deux triangles , et la droite y^ F menée par ce point d'interseo? 4ion A des droites -^^^^Zy^perpendicalair rement au plan coordonné^ sont évidemment des droites du plan gauche-

Cela posé^ nous allons prouver qu'un plan quelconque parallèle aux. deux directrices, ou au plan coordonné , coupe les trois droites JDD yb EjA F tn trois points d^^ «, /qui sont en ligne droite. En effet y. les distances dd' ^ee' y fA de ces |)oints ', à leurs.projections <2! > ^% ^ sur ce plat\ coordonné , sont égales ; de pluis^ à cause des parallèles D D' y 4^9 on adeox triangle3 teclangles semblables BDD' y Bdd'^ De méme^ à cause des. parallèles iSJS% .e^% côtés homoIqgue|S.dQS,deux triangles semblable^t h E E^i bfi ?' , qn a les propçrtioi».:

B D' i B d' V. D D' idd' V. RE' i ee' \\ bE'ibe'y ou B D' iBd' y.bE'ihe';:

Cest*à*dir6 que la droite é e' divise en parties proportionnelles les parallèles BD^, bE' comprises entre les côtés de Fangle BAD^ ,d'où il suit que cette droite ^ e^ concourt ver» lé point A jsomxxii^ d6 Tangle. Mais cette

tJfoite est la projection de la droite fed suç le plan coordonné ; donc cette dernière droite rencontre touted les droites du plan gauche , telles que bE, BD j etc. ; donc elle est toute entière sur cette surface. Ainsi , dans Fhypotfaèse où le plan directeur de la surface réglée dite plan gauche , est perpendiculaire au plan parallèle aux detix directrices de la droite génératrice de cette surface , tous les plans parallèles à Fun ou à l'autre de. ces plans la coupent en lignes droites; d'où il suit qu'il y a' sur cette surface deux séries de droites, les unes parallèles au plan directeur , les autres par rallèles aq plan des deux directrices. Ce dernier" plan devient plan directeur , lorsqu'on prend P9ur directrices d^xuL droites de la première aérie.

Autre Démonstratipni de la Double génération du Plan gauche par la ligne droite f ).

Sa.i Soient {ûg.G)AC,A' C" deux directrices du plan gauche; ^^", C6" deux droites de cette surface qm coupent les directrices^ l'une

( * ) Un Traité de Géométrie descriptive ( i vol. iii-8. ) publié à Pétersboùrg Tannée 1816, contient cette démons* tration. de Traité vient d'être réimprimé k Paris ^ chez

aux points^) A^' y Vautre au point C^ C^oinmels d^unquadrilatèi^ .gauche AA^ CC\ Pre*' nous pour plau coorcbiz/»^ le.plaii de» denxcotés CC'^ C'A'' de ce quadrilatère. Les plans menés par les droites A A^\ A C^ Pun ^parallèle .4 la droite CC\ l'autre parallèle à la droite 6" A'^ se couperont entre eux suivant une droite /4^a y et leurs traces A^' a , Ca sur le plan coordonné comprendront un parallélogramme Ce ' A^'tu Un plan quelconque B b"b , parallèle aux deux droites AA^\ CC aura pour traces sur ce .plan coordonné , une droite telle que B^' b parallèle à ce",. et divisera le parallélogramme CC'A^'a en deux autres C C B" b , ^" £" a b. Ge même^^ plan séparera du triangle CAa un triangle semblable CBb^ et contiendra la droite B B^ du plan gauche , qui est de la même série qu© les droites de cette surface A A^' , C C".

Gela podé/il s^agit de démontrer qu'un plan quelconque €! A' a! , parallèle aux deux directrices ^ C, -^"C", coupe *lès trois droites AA\ BB\ 'CC en trois points A\, B\ C qui sont en ligne droite. £n effets sa trace C ol sur le plan coordonné sera évidemment

Firmin Didot ; son auteur , M. Potier , est un ancien élèy» de r£çole Polytechnique , au service de la Russie.*

psrallôle :aax dwîtes C*' ^^' , Ca; «es îotetseTîtioBS A^à^, JS' y par les plans parallèles AA^^a^ BB'\b MMdt pttallèles entres elles y et séf^-- Feront dfes«rmia triangles^">o, C^ a, B" Bî^ d'autres ttiingl&s respectivement Semblables p qui donneront les proportions suivantes :

Ou supprimant les deux rapports intermé-^

Maires \ ' ^ .

AaiBhw A' 0' i^'V\

On a donc

Au A'à' CaCif JB b^ B' à'"^ Cb^ Cb'^

D'où il suit que les trois points A^ , B\ C^

•ont en ligne droite; âonc tout plan parallèle à

deux côtés ppposés du qxsadrilatère \gàudblâ

A B CD coupe le plan gauche en ligne droite.

. J^a)outerai à cette démonstration q^e les

mêmes triangles semblables donnent :

AB A* BT ^ A A' C G'