LIVRE Via. a

lier AGB , et circonscrivons la portion de polygone ËFG, semblable à AGB.

Je dis d abord que la surlace de la zope AB çst cpoiprise entre les surfaces S et jr engendrées par les polygones EFQ, AGB, tournant autouf de 60.

En effet, la zone AB est plus grande que s ^ puisqu'elle Tenveloppe el est terminée au même contour ; pour montrer que la zone est plus petite que la surface S, menez la tangente AH ; les surfaces décrites par EFG et par AHPG ont une partie commune qui est engendrée par HFG; mais la surface décrite par HE est plus grande que celle qui est décrite par AH , puisque les mesures de ces surfaces sont * *9* TC.HE (HI-hEM) et ir.AH (HI-hAK) , et que, d après la figure^ on a EM > AK , et loblique HE > HA qui est perpendiculaire sur OA. Donc la surface décrite par EFG est plus grande que la surface engendrée par AHFG ; or celle-ci est plus grande que la zone AB * ; donc, à fortiori, la sur- *l«ffl.a . face S est plus grande que la zone AB.

Je dis, en second lieu, que si Ton doublait indéfiniment lé noi^bredes côtés des portions de polygones inscrit^ et circonscrites à lare AB , les surfaces S et ^ iraient en ^*ja^^ ptocham de la surface de la zone, et auraient ceUe »\^^ce poiu* limite. ^

Pour établir cette proposûiop / il suffit de montr^^r qfi» la AitférfiWie S^yrrs tend ludéfiT^iment vers o.

Or on a * S = awON X GM (i) • lo.

et jr=27cOPxB (2)

d'où S—s = aw (ON X GM -OP x BK) .

On sait déjà * que la diltereni^e entre ON et OP a pour * la, 4. limite zéro ; de plus , la différence GM — ^BK=GB — MK, qii^nci^ qui peut devenir aussi pet^e qixop. voudra, puis- ^i^e G^. et à plus forte raison MK, ont zéro pour limite. Ponc 1^ différence S— ^ peut être rendue moindre que

a8o GiOMÉTRÏE.

toute grandeur assignable, et la zone qui est toujours comprise entre S et 5 est leur limite commune.

Cela poséyde 1 égalité (2) on déduit, en prenant les limites des deux membres

Zone AB = 2iuONxBK.

6g. aao. La zone à deux bases décrite par Tare FH, a aussi pour mesure la circonférence d*un grand cercle multipliée par sa hauteur ; car elle est la différence des deux zones à une base décrites par DH et DF ; elle a donc pour mesure cire. CD (DQ— DO) ou cire. CD X OQ.

Corollaire 1. Dans des sphères égales, deux zones sont entre elles comme leurs hauteurs.

Corollaire II. La surface de la sphère pouvant être considérée comme une zone dont la hauteur est égale au diamètre, a pour mesure la circonférence d'un grand cercle multipliée par le diamètre.

Soit R le rayon de la sphère , on aura donc Surf. sph. = 2icR X 2R==4i^R^; d*où Ton voit que la sphère est égale à quatre grands cercles.

Corollaire III. La surface de la sphère étant ainsi me^ surée 'avec le carré construit sur lunité de longueur , on pourra facilement évaluer avec la même unité, les fuseaux, les triangles et les polygones sphériques, puisqu'on a trouvé^ ■ dans le livre VU , leur rapport au triangle tri-rectangle , qui est la huitième partie de la sphère.

PROPOSITION XIL

THÉORBMB.

Le volume engendré par un triangle tournant au^ tour (Vun axe situé dans sàn plan^ et passant par un de ses sommets , a pour mesurée la surface décrite peu*