LIVRE TIII

PROPOSITION X

THBORBMS.

Ui surface engendrée par une portion de polygone H- a^. régulier ÀBCD, tournant autoui* dun diamètre FG, a ffour mesure la circonférence du cercle inscrit dans le polygone ABCD, nudtipUée par la projection MQ du contour KW^ sur le diamètre FG.

Le point I étant au milieu de AB, et IK étant une perpendîcuiano à l'axe abaissée du point I, on a

f) Surf. AB=AB X ctrc. IK

Menez AX parallèle à Taxe^ les triangles ABX^OIK^ auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun ; donc ces triangles sont semblables , et donnent la proportion

AB : AX ou MN :: 01 : IK :: cire. OI : cire, IK; d'où

AB X cire. IK = MN X cire. 01; donc c ,

Surf. AB = MN X cire. 01.

On verrait de mime que

Surf.BC=z=NP X eire. 01, et surf. CD = PQ X cire. OI;

donc en ajoutant

Surf. ABCD= (MN+NP x PQ) X cire. Ot=MQ X cire. OI. Corollaire. Si Ton considère un polygone régulier d'un nombre de côtés pair, et que Taxe FG passe par deux sommets opposés F, G, la surface entière décrite par la révolution du demi-polygone FAGG sera égale à son axe FG

(*) Ifoos cotendons par surf. AB , surf. BC , les sarlîices eDgendrées par les lignes AB, BC..i

^^7^ GKOMKTAIE.

multiplié par la circonférence du cercle inscrit. Cet axe FG sera en même temps \t diamètre ^du cercle circonscrit.

DEFINITIONS

I. Une zone sphérique est une portion de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles qui en sont les bases. L un des plans peut être tangent à (a sphère ; alors la zone n a qu'une base.

II. IjSl hauteur d*une zone est la distance de$ plans des d«u^ bases.

fig. aao. ^^' Sî l'on conçoit que la demi-circonférence DÂË tournant autour du diamètre DE engendre la surface de la sphère, en même temps lare FH décrira la surface d'une zone.

PROPOSITION XL

THBOREME.

L'aire (tune zone sphérique est égale à sa hauteiw multipliée par la cirœnférence d! un grand cercle.

Considérons d abord la zone à une base engendrée par lare AB tou^oani; autour de BO.

Inscrivons dans Tare AB une portion de polygone régu*