LIVRE VIII
le côté opposé à ce sommet , multipliée par le tiers dé la hauteur correspondante à ce côté.
f" Supposons d'abord que le triangle GAB tourne autour d'un de ses côtés CB. Le volume engendré par CAB est la somme des cônes décrits par les triangles rectangles CAD> ADB ; on a donc
(*) Vol. CAB=l7c,ÂDXD+iir.ÂD!DB=:ix.AD!cB (i). Or si Ton abaisse CG perpendiculaire sur AB , on a CGx AB=rGBxAP, car ces deux produits mesurent le double de Taire du triangle GAB; remplaçant dans l'égalité (i) AD X GB par GG x AB , il vient
Vol. G AB=i7ir . AD . GG . AB=iGG . TT . AD . AB. Or TC.AD.AB, mesure la surface latérale du cône qui serait engendrée par AB, donc
Vol. GAB = surf. ABx|GG.
a** Supposons maintenant que le triangle GAB tourne autour d'une droite GD passant par un de ses sommets ; prolongeons AB jusqu'à sa rencontre avec Taxe en D, et abaissons GE perpendiculaire sur AB.
(*) Nous appelons vol. CAB , le yolame eugcodré par k triangle CAB tournint autour dcCB.
a8a G^uvÉTuie.
Od aura VqI. CAB— vol. CAP— VqI. C30. Or Vol. CAD=SMrf. AD X ^CJE;
et Vol. CBD =surf. BD X iCE.
Donc Vol, CAB =(surf. AD —Surf. BD) X ^CE
=Surf.ABx^E.
3° La démonstration précédente supposant que le côté AB vienne rencontrer l'axe CD , examinons le cas où ces deux lignes sont parallèles.
Abaissons AE et BD perpendiculaires sur l'axe CD , et CF perpendiculaire sur AB; nous aurons évidemment Vol. CAB=:Vol. CAE+Vol. ABDE— Vol. CBD.
Or Vol. CAE=iiî.ÂEcE
Vol. ABDE=ir.ÂË.'ED
Vol. CBD=jï^.ÂË".GD.
Ajoutant les d<9ix prenjières égalités, et retranchant la troisième, il vient
Vol. CAB=7^\lCE+ED— ICD).
Et comme CD=CE-rED, l'égalité précédente devient
Vol. CABrrut.lE.I.EDrsiAE.aTC.AE.ED =lCF.aurf.AB.
Ce qui s'accorde avec l'énoncé du théorème.
PROPOSITION XIII
I TH]U>ÙMB.
fig. a6a. i>oit ABCD une portion île polygone régulier; si on
LIVKE Vill. 1)33
imagine que le secteur polygonal AOD , Mué iTun même côté du diamètre FG, fasse une révolution aU' tour de ce diamètre , le solide décrit aura pour mesure la surface engerulrée par le contour A.BCD, multipliée par le tiers de F apothème OI.
En effet, le volume engendré par le secteur AOD est la somme des volumes engendrés par les triangles isocèles égaux AOB, BOC, COD.
Or * Vol. AOB=^surf. AB X pi
Vol. BOC=surf. lîCx|QI Vol. COD=surf. CD X |OI.
Donc, en ajoutant, on a
Vol. AOD=5iOI (surf. AB-hsurf. BC+surl. CD) ^=iOIxsu^f. ABCD.
pÉFimTW>!ÏS.
I. Tandis que le deini->cercle DAË tournant autour du c diamètre DE décrit la sphère, tout ^t^ctMixv circulj|ir« FCH décrit un solide, appelé secteur spherique.
Le secteur sphérique est terminé par la ^one que décrit yar€ FH.
II. Un segment de sphère est la partie du volume de la sphère comprise entre deux plans pamtlètes.
La hauteur ^a segment est la disuinoi^ des -plaM parallèles.
PROPOSITION XIV
THBORBMf.
fJn secteur sphérique a pour mesure la zone qui lui sert de ba^e, muitipliéç par le tier^ durajon.
Soît.AOB le secteur circalaîre qui, par sa révolution autour de AO, décrit le secteur sphérique.
Inscrivons et circonscrivons à Tare AB deux portions de polygones réguliers semblables BCA, DEF. Le volume du secteur sphérique est évidemment compris entre les volumes V, 7;, engendrés par les secteurs polygonaux DEFO, BCAO ; de plus , si le nombre des côtés des portions de polygones réguliers allait constamment en doublant, les volumes V, z;, iraient en s*approchant du secteur sphérique, et on pourrait pousser les opérations asse;^ loin pour que la différence entre chacun des volumes ^^Vy et le secteur sphérique fût moindre que toute quantité assignable. En effet, on a
V=surf.DE x^OI (i)
surf. ABC x^OH. (2)
Dz
D'où V— 1;=4 (surf. DEF . 01— surf. ABC . OH).
Or on sait déjà que OH tend indéfiniment vers.QI, quand on multiplie à Tinfini le nombre des côtés, et Vpna démontré * que la différence surf. DEF — surf.ABC a pour limite zéro ; donc la différence V — v peut être fendue aussi petite qu'on voudra ; donc le secteur sphérique qui est toujours compris entre V et v est leur limite commune.
On conclut de là, en prenant les limites des deux membres de légalité (i)
Sect. sph.=zone ABXfOI.
LIVRK VIII. à85
Si le secteur sphérique ^it engendré par le secteur ^ô- »««- FGH tournant autour du diamètre DE, on aurait
Sect. FCH=sect. DCH— sect. DGF.
Or Sect. DCH=zoneDHxiCD
Sect, DCF=tzone DF x{CD.
Donc sect. FCH=4CD (zone DH— zone DF)
=iCD.zoneFH.
Seolié L Si le secteur cîit)ulaire qui décrit le secteur sphérique devenait égal au demi-cerde , le volume engen* dré serait celui de ]a sphère; mais alors la zone qui sert de base au secteur sphérique serait la surface de la sphère d'où Ton voit que le volume â*une sphère a pour mesure; sa surface multipliée par le tiers du rayon.
Scolie II. Soient R le rayon de la sphère, et H la hauteur de la zone qui sert de base au secteur sphérique; la zone a pour mesure aicR.H; donc le secteur sphérique a pour mesure aiçR.H.|R ou |irR*.H.
Dans le cas où le secteur sphérique devient égal à la sphère, on a H=aR ; donc la mesure du volume de la sphère est.fiçR^aR ou ^wR*.
Si Ton appelle D le diamètre de la sphère , on a R = — ;
d'où R^=z— ; la solidité de la sphère s'exprimera donc
aussi par ^ir. g- ou ^irD®.
PROPOSITION XV
THÉOREMB.
La surface de la sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit {en y comprenant ses bases) comme a es t. à 3. Les solidités de ces deux corps sont entre elles dans le même rapport.
Soit MPNQ le grand cercle de la sphère, ABCD le carré fig, 270. circonscrit ; si on fait tourner à la fois le demi-cerc]è
a86 aBOMCTRiB.
PMQ et le demi«>carré PADQ aulour du diamètre PQ , le demi-cercle décrira la sphère , et ié demi^carré décrira le cylindre circonscrit à la sphèrfe.
La hauteur ÂD de ce cylindre est égale au diamètre PQ^ la base du cylindre en égale au grand cercle, puisquelie a pour diamètre Afi égale à MN ; donc la surface convexe du cylindre est égale à la circonférence du grand cercle multipliée par son diamètre. Cette meMire.^t la tnéme que *ii. celle de la surface de la sphère * : d'où il suit que /a sUr^ face de la sphère est égale à la surface latérale du cylindre circonsorit.
Mais la surface de la sphère est égale à quatre grands cercles ; donc la surface latérale du cylindre circonscrit est égale aussi à quatre grands cercles : si on y joint les deux bases qui Talent deux grands cercles^ la surface totale du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles ; donc la surface de la sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit comme ^ e9lk6y ou eotiime 3 est à 3. C*est le premier point qu'il s'agissait de démontrer.
En second lieu, puisque la base du cylindre circomcrit est égale à un grand cercle et sa hauteur au diamètre, la solidité du cylindre sera égale au grand cercle multiplié « j parle diamètre^. Mais la solidité de la sphère est égale à *j, quatre grands cercles multipliés par le tiers du rayon *, ce qui revient à un grand cercle multiplié par | du rayon, ou I du diamètre ; donc la sphère est au cylindre circouscrit comme a est à 3 , et par conséquent les solidités de ces deux corps sont entre elles comme leurs surfaces.
ScoUe. Si on imagine un polyèdre dont toutes les faces touchent la sphère , ce polyèdre pourra être considéré comme composé de pyramides qui ont toutes pour sommet le centre de la sphère, et dont les bases sont les différentes faces du polyèdre. Or il est clair que toutes ces pyramides auront pour hauteur <K>mmune le rayon de la sphère \ de sorte que chaque pyramide sera égale à la face
du polyèdre qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon : dohc le polyèdre entier sera ëgal à Èà surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite. .
On Yoit parla que les solidités des polyèdres circonscrits à la sphère sotit entre elles comme lés surfaces de ces mêmes polyèdres.' Ainsi, la propriété que nous avons: démontrée pour le cylindre circonscrit est commune à une infinité d'autres corps.
On aurait pu remarquer également que les surfaces des polygones circonscrits au cet-de sont entre elles comme leurs contours.
PROPOSITION XVI
THÉORÈME
Ae solide engendré par le segment circulaire BMD tournant autour (Tun diamètre ACG extérieur à ce segmenta a pour mesure la sixième partie du cercle *«• ^n^ qui' aurait pour rayon la corde BD du segment ^ muU tipliée par la projection EF de la corde BD sur Vake AC.
En effet, on a Vol. BMD=vol. CDMB— toI. CDB.
Or Vol.CDMBrsfidGB'.EF (i)
VoL CDB={<Uxsurt DB.
Et comme Surf. DB=2TpCI . EF,
on a Vol. CDB=fi^! EF. (a)
Retranchant l'égalité (a) de l'égalité (r), membre à meni> bre, il vient
Vol. BMD=fir.EF^'^-Ici').
D ttilieurs, dans le triangle GBI, on a
