LI¥AB I. R

Le signe = est le signe de Tégalité; ainsi Texpres* sion A=B signifie que A égale B.

Pour exprimer que A est plus petit que B, on écrit A.<B.

Pour exprimer que A est plus grand que B, on écrit A>B.

Le signe + se prononce plus; il indique l'addition.

Le signe — se prononce moins; il indique la soustraction : ainsi A + B représente la somme des quantités A et B ; A — B représente leur différence ou ce qui reste en ôtant B de A ; de même A — B + C, ou A-f-C — B, signifie que A et C doivent être ajoutés ensemble, et que B doit être retranché du tout.

Le signe X indique la multiplication; ainsi A X B représente le produit de A multiplié par B. Au lieu du signe X on emploie quelquefois un point; ainsi A.B est la même chose que A X B. On indique aussi le même produit sans aucun signe intermédiaire par AB; mais il ne faut employer cette expression que lorsqu'on n'a pas en même temps à employer celle de la ligne AB distance des points A et B.

^expression A X (B-f-C — D) représente le produit de A par la quantité B + C — D. S'il fallait multiplier A + B par A — B + C, on indiquerait le produit ainsi (A+B) X (A — B + C); tout ce qui est renfermé entre parenthèses est considéré comme une seule quantité.

Un nombre mis au-devant d'une ligne ou d'une quantité) sert de multiplicateur à cette ligne ou à cette quantité; ainsi, pour exprimer que la ligne AB estprise trois fois, on écrit 3 AB; pour désigner la moitié de Fangle A , on écrit \ A.

Le quarré de la ligne AB se désigne par AB; son

a 6idlf.]ÉTRtB.

cube par AB. On expliquera en son lieu ce que signifient précisément le qtiarrc et le cube d*une ligne. Le signe V^ indique une racine à extraire; ainsi

W^ a est la racine quarrée de a; i/ A X fi est la racine du produit A x D , ou la moyenne proportionnelle entre A et fi.

▲ ttotl&B.

I. DeuiL quantités égaler à une troisième sont égaies entre elles.

a. Le tout est plus grand que sa partie.

3. Le tout est égal à la somme des* parties dans lesquelles il a été divisé.

4- D'un pointa un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.

5. Deux grandeurs, ligné, surface ou solide, sont égales, lorsqu étant placées Ttine sur Tautre elles eoinciUent dans toute leur étendue.

PROPOSITION PREMIÈRE

fig i«. /^^ angles droits sont tous égaux entre eujt.

Soit la ligne droite CD perpendiculaire 4 Afi, et GH à EF; je dis que les angles AGI), EGH seront égaux entre eux.

Prenez les quatre distances égales G A , CB, GE, G F, la disuince AB àera égale à la distance EF, et on pourra placer la ligne E F sur A B, de manière que le point E tombe en A, et le point F en B. Ces deux lignes ainsi posées coïncideront entièrement l'une avec Tautre; car, sans cela, il y aurait deux

iifii 1. 7

lignes droites de A en B , ce cpii est impossible * ^ *m. 4. donc le point 6 > milieu de E F , tombera snr le point G, milien de A B^ Le côté OE étant ninsi applitpié snr C A 9 je dis qne le càxé G H tombera sur G D ; car supposons, s*il est possible, qu'il tombe sur une lifne Cil dilTërente de GD; puisque, par hypothèse*, *^«'»<>- Ian;(le E6H ^ HGF , il faudrait qu on eût ACR =:£ KGB. Mais Tangle AGK est plus grand que ACD, 1 angle KGB est plus petit que BGD; d*aiHeurs /par hypothèse, ACD = BGD; donc AGK est plus grand que KGB ; donc la ligne GIl ne peut tomber sur une ligne GK diflTérente deGD; donc elle tSombe sur CDi et l'angle EGH sur AGD; donc tous les angles droits sont égaux entre eux.

PROPOSITION II

TKioaâMS.

Toute ligne droite CD, qui er^ rencontre une H* niUitre k'R^ fait avec celle-ci deux angles aJ/àcents ACD, BCD, dont la mmme est égaie à deux angles droits.

Au point G, élevez sun AB la perpendîculaîi'e GE. L angle AGD est la somme des angles ACE , ECD ; donc ACD 4- BGD sera la somme des trois ACE, ECD, BGD. Le premier de ceux-ci est droit, les deux autres font ensemble Tangle droit BCE; donc la somme des deux angles AGD, BGD est égale à deux angles droits.

Corollaire I. Si I un des angles AGD , BCD est droit , Vautre le sera pareillement. **• '^

Corollaire IL Si la ligne DE est perpendictilaite à AB, réciproquement AB sera perpendiculaire à DE.

Car, de te que DE est perpendiculaire à AB^ il

8 GBOMBT&IX.

s'ensuit que Tangle ÂCD est égal à son adjacent DCB, et qu'ils sont tous deux droits. Mais de ce que Tangle ACD est un angle droit, il s'ensuit que son adjacent ACE est aussi un angle droit ; donc rangleACE=:ACD, donc AB est perpendiculaire à DE. ffg. S4- Corollaire III. Tous les angles consécutifs BAC. CAD, DAE, EAF, formés d'un même cdté de la droite BF , pris ensemble , valent deux angles droits; car leur somme est égale à celle des deux angles adjacents BAC , GAF.

PROPOSITION m.

THBOaiMB.

Deux lignes droites qui ont deux points cornmuns coïncident Vune avec Vautre dans toute leur étendue, et ne forment qu* une seule et même ligne droite.

fig. 19. Soient les deux points communs A et B; d*abord les deux lignes n'en doivent faire qu'une entre A et B, car sans cela il y aurait deux lignes droites de A

*ax.4. en B^ ce qui est impossible*. Supposons ensuite que ces lignes étant prolongées, elles commencent à se séparer au point C, Tune devenant CD, lauire CE. Menons au point C la ligne CF , qui fasse avec CA langle droit AGF. Puisque la ligne ACD est droite, langle FCD sera un angle droit*; puisque la ligne ACE est droite, Fangle FCE sera pai*eillement un angle droit Mais la partie FCE ne peut pas être égale au tout FCD ; donc les lignes droites qui ont deux points A et B communs^ ne peuvent se séparer en aucun point de leur prolongement; donc elles ne forment qu une seule et même ligne droite.

*pr. a.

oor. X.