VRB r. g

PROPOSITION IV

THÉORÂMB.

Si deux angles adjacents A CD, DCB, valent fi«- »«• ensemble deux angles droits ^ les deux côtés extérieurs AC, CB, seront en ligne droite.

Car si CB n'est pas le prolongement de AG, soit CE ce prolongement; alors la ligne ACE étant droite, la somme des angles ACD, DCE, sera égale à deux droits*. Mais, par hypothèse, la somme des angles *pr. «• ACD, DCB, est aussi égale à deux droits; donc ACD + DCB serait égale à ACD + DCE; retranchant de part et d'autre langle ACD, il resterait la partie DCB égale au tout DCE, ce qui est impossible; donc CB est le prolongement de AG.

PROPOSITION V

TH^ORBMB.

Toutes les fois que deux lignes droites AB, •«•**• DE, se coupent^ les angles opposés au sommet sont égaux.

Car puisque la ligne DE est droite , la somme des angles ACD , ACE , est égale à deux droits ; et puisque la ligne AB est droite , la somme des angles ACE, DCE, est égale aussi à deux droiu; donc la somme ACD + ACE est égale à la somme ACE + BCE. Retranchant de part et d^autre le même angle ACE, il restera langle ACD égal à son opposé BCE.

On démontrerait de même que l'angle ACE est égal à son op])osé BCD.

Scholie. Les quatre angles formés autour d un point par deux droites qui se coupent, valent ensemble

lO GBOIIBTRIB.

quatre angles droits; car les angles ACE, BCE, pris ensemble, valent deux angles droits, et les deux autres ACD , BCD , ont la même valeur.

*«• ^** En général, si tant de droites qu'on voudra CA, OB^ etc., se rencontrent en un point C^ la somme de tous 1m angles consécutifs ACB, BCD^ DCE, ECF, FCA| sera égale à quatre angles droits : car si on formait au point C quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendiculaires entre elles , le même espace serait rempli, soit par les quatrts angles droits , soit par les angles successifs ACB , BCb, etc.

PROPOSITION Vî.

Deux triangles sont égauxj iorsqm*Hs ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun,

^' «3. Soit Tangle A égal à 1 angle D, le côté AB égal à DE, le côté AG égal à DF; je dis que les triangles ABC 5 DEP, seront égaax^

En effet, ces triangles peuvent être posés Tun smr l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitemeiU* Et d'abord si on place le côté DE sur son égal AB , le point D tombera en A et le point E en B : mais puisque langle D est égal ^ Tangle A, dès que le côté DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direction AC. De plus DF est égal à AC; donc le point F tombera en G, et le troisième côté £F couvrira exac tement le troisième côté BG; donc le triangle DEF

*u- 5« est égal an triangle ABG*.

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir, Tangle A = D, le côté AB =r D£, et le côté Al« = DF, on peut conclure que les

LXTMS 1. Il

Vois «utrei le sont, «avoir, Tangle B =; E, Tangle C = F, et le côté BC = EF.

PROPOSITION Vil.

TKBO&âxS.

Dtuœ triangles sont égaux j lorsquUis ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun

€L chacun^

Soit le côté BG égal au côté EF, I angle B égal à fi«. a3. l'angle £» et Tangle C égal à l'angle F; je dis que le triangle DEF sera égal au triangle ABC.

Car, pour opérer la superposition, soit placé EF sur son égal BG, le point Ê tombera en B, et le point F en C Puisque Tangle E est égal à langle B, le côté £D prendra la direction BA ; ainsi le point D se trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, puisque Tangle F est égal à langle C y la ligne FD prendra la direction CA, et le point D se trouvera sur quelque point du côté GA; donc le point D qui doit se trouver a la fois sur les deux lignes BA, CA, tombera sur leur intersection A; donc les deux triangles ABC, DEF, coïncident Tun avec Tauue, et sont parfaitement égaux.

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deul triangles , savoir, BC =î: EF , B = E , C = F , on peut conduire que les trois autres le sont, savoir , A3=tDE, AC=DF, A:=rD.

PROPOSITION VIIL VBBoaiMB.

Dans tout triangle un <uité quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Car la ligw droite BG^ par exeiuplei Qêî le plus «a- ^S-

Xa GEOMSTKIB.

*d^f. 3. court chemin de B en C^ , donc BG est plus petit que AB + AC.

PROPOSITION IX

THSOAâME*

6g. ai* ^^ cTun point O pris au - dedans du triangle ABC, on mène aux extrémités d^un o6té BC les droites OÇ, OC, la somme de ces droites sera moindre que celle des deux autres côtés AB , AC.

Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côte AC en D ; la ligne dix)ite OC est plus courte que OD -h •jpr, 8. DC* : ajoutant de part et d'autre BO , on aura BO -1- 0C< BO+OD4-DC,ouBO-hOC<BD+DC.

On a pareillement. BD < BA4~ AD ; ajoutant de part et d'autre DC , on aura BDh-DC < BA + AC* Mais on vient de tromer BO + OC < BD+DC ;donc à plus forte raison , BO + OC < BA 4- AC.

PROPOSITION X

TBBORÂMB.

Si les deux côtés AB, AC , du triangle ABC ^' * ' sont égaux aux deux côtés DE , DF , du triangle DE F , chacun à chacun ; sien même temps l'angle BAC , compris par les premiers , est plus grand que V angle EDF , compris par les seconds ; je dis que le troisième côté BC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second.

Faites Tangle CAG=D, prenez AG = DE, et

joignez CG , le triangle GAC sera ëgal au triangle

DEF, puisqu'ils ont par construction un angle égal

• r 6. ^o"™P"* entre côtes égaux* ; on aura donc CG=EF.

Maintenant il peut y ayoir trois cas , selon que le point