I.IYAB 1. X
& tombe hors du triangle ABC, ou sur le c6të BG; ou ail-dedans du même triangle.
Prenyier cas. La ligne droite GC est plus courte figa^. que Gl + IG , la ligne droite AB est plus courte que AI + IB ; donc GG+ AB est plus petit que GI + AI + IG+ IB^ on, oe qui est la même chose, GG + AB < AG +BC. Retranchant d*un côté AB et de i autre son égale AG , il restera GG < BG : or GG = EF; donc on aura EF< BC.
Second cas. Si le point G tomhe sur le côté BG, il ^' ^^^ est étrident que GG ou son égale £F sera plus petit que BC.
Troisième cas. Enfin si le point G tombe ati-dedans *«• 27. du triangle ABC, on aura, suivant le théorème pré* cèdent, AG-f GG < AB+BC. Retranchant d'une part AG, et de l'autre son égale AB, il restera GG < BC, ou EF<BC.
Scholie. Réciproquement, si les deux cAtés AB, A G, du triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle DEF; si, de plus, le troisième côté ÇB du premier triangle est plus grand que le troisième EF du second, je dis que l'angle BAC du premier triangle sera plus grand que l'angle EDF du second.
Car si on nie cette proposition , il faudra que Panglé BAC soit égal à EDF, ou qu'il soit plus petit que EDF : dans le premier cas , le côté CB serait égal à EF* ; dans * P""- ^^ le second , GB serait plu5 petit que EF ; or Tun et Tautre est contraire à la supposition ; donc l'angle BAC est plus grand que EDF.
PROPOSITION XI
THBOaÂKB.
Deux triangles sont égaux , lorsqu*ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.
l4 GBOWST.miB.
fig. ,3. Soit le c6të AB=DE, AG=DF, BGsEF> je dis qu on aura Tangle A=D, B=£, CssF.
Car si Tangle A ëuit plus grand que langle D, oomme les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DS, DF^ chacun à chacun i il s en.«uiTrait) par le théorème - précédent, que le côté BG est plus grand que £F; et si Pangle A était plus petit que Tangle D, il $et^ suivrait que le côté BG est plus petit que EF ; or , BC est égal à EFf donc Tangle A ne peut être ni plus grand ni pins petit que l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même que Vangb &;=;=£, ei que langle G = F.
Scholk* On peut remarquer que les angles égpux sont opposés à des c^tés égaui^ : ii^qsi les angles éga^ux A et D sont opposés 9tux côtés égaux BG, £F*
PROPOSITION XII
THBORBMB.
Dans un triangle isoscèle^ les angles opposa qux côtés égaux sont égaux.
fig. «8. Soit le côté AB z=r AG, je dis qu on fiura Tçingle C=B.
Tire^ la ligne AD du som^netA mi ppint D, milieii de la tase BG, les deux triangles ABP^ 4DG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; ss^voir AD commun, AB=-4C par hypothèse^ et BD = PG par construction ; donc, en vertu du théorème précédent, Fangle B est égal à Tangle G.
Corollaire. Un triangle équilatéral est en même temps équiangle , c^est-à-dire , qu il a ses angles égaux.
Scholie, L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en même temps que Tangle BAD:=DAG, et que l'angle BDA = ADG; donc ces doux derniers sont
ftlTEB 1. iS
droits; dôme ta ligne meftée du sommet d^wi triangle isoscele au milieu de sa tase^ est peqfendiçulaire à cette iasoy et dùfise Pangle du sommet en deu^ parties , égaies*
Dans un triangle non isoscele on prend indifTéreau ment pour base un côté quelconque» et alors $on sansmet est celui de l'angle opposé. Dans le triaugU isoscele on prend particulièrement pour base le côté qui n est point égal à Fun des deux autres.
PROPOSITION XIU.
THBORBMB.
Réciproquement^ si deux angles sont égaux dans un triangle , ies côtés opposés seront égawf , et le triangle sera isoscele.
Soit langle ABG=AGB, je dis que le câté AG sera ^ égal au côté AD.
Car si ces côtés ne sont pas égaux , soit AB le plus grand des deux. Prenez BD = AC, et joignez DC« L«iigie DBG est, par bjrpothèse, égal à ACB$ les deux côtés DB, BG soQt égaux aux deux AG» CB; donc le triangle DBG * serait égal au triangle AGB. *pr,6. Mais la partie ne peut pas être égale au tout; donc il n'y a point d'inégalité entre les côtés Afi, AC; donc le triangle ABC est "isoscele.
PROPOSITION XIV
TRBOBâMB.
De deux côtés d'un triangle ^ celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand usàgle 9 et réciproquement 9 de deux angles d'un
l6 GÉOMBTAIB.
triangle y celui4à est le plus grand qui est op*
posé à un plus grand côté.
6g. 3o. " i^ Soit langle G > B , je dis que le oàcé AB opposé
à l'angle C est plus grand que le côté AG opposé à
langle B.
Soit fait langle BCD=B; dans le triangle BDC V* >3* ^^ ^^^^ * BD=i DG. Mais la ligne droite AC est plus
courte que AD -f DG, et AD + DC=r AD + DB=
AB; donc AB est plus grand que AG.
a^ Soit le côté AB > AG , je dis que l'angle C opposé
au côté AB sera plus grand que langle B opposé au
côté AG.
Gar si on avait G<B, il s'ensuivrait, par ce qui
vient d^étre démontré, AB< AG, ce qui est contre la ^pr.iS. supposition. Si on avait G=B, il s ensuivrait * AB^=
AG, ce qui est encore contre la supposition; donc il
faut que Tangle G hoit plus grand que B.
PROPOSITION XV
THBOHBMB.
iig. 3i. D'un point A donné hors dune droite DE, on ne peut mener quune seule perpendiculaire à cette droite,
Gar supposons qu on puisse en mener deux AB et AG; prolongeons lune d'elles AB» d'une quantité BF = AB , et joignons FG.
Le triangle GBF est égal au triangle ABG : car 1 angle GBF est droit ainsi que CBA , le côté GB est comuiun, et le côté BFr= AB; donc ces triangles *pr. 6. sont égaux *, et il s'ensuit que Tangle BGF = BCA. Langle BGA est droit par hypothèse; donc langle BGF lest aussi. Mais si les angles adjacents BGA, BGF, valent ensemble deux angles droits, il iaut que la ligne
LIYAS I. 17
ACF soit droite"^; d'où U résulte qu'entre les deux * p^- 4. mêmes points  et F , on pourrait mener deux lignes droites ABF , ACF ; ce qui est impossible * ; donc il * •>• 4» est pareillement impossible que deux perpendiculaires soient menées d*un même point sur la même ligne droite.
Scholie, Par un même point G donné sur la ligne 6^. 174 AB, il est également impossible de mener deux perpendiculaires à cette ligne : car si CD et CE étaient ces deux perpendiculaires , l'angle DCB serait droit ainsi que BGE, et la partie serait égale au tout.
PROPOSITION XVI
[thboabiix.
Si dun point A situé hors cTune droite DE on sg. 31. rnène la perpendiculaire AB sur cette droite ^ et différentes obliques AE, AC AD, etc.^ à différents points de cette même droite :
1^ La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique.
1^ Les deux obliques AG, AE, menées de part et d'autre de la perpendiculaire à des distances égales BG, BE , seront égales.
3° De deux obliques kiZ et AD, ou AE et AD, menées comme on voudra ^ celle qui s'écarte le plus de la perpendiculaire sera la plus longue.
Prolongez la perpendiculaire AB d'une quantité BF = AB, etjoignez FC, FD.
i^ Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car l'angle droit CBF = CBA, le côté CB est commun , et le côté BF = BA; dont * le troisième côté CF est égal * pr. 6.
iH câoklIàiB.
âU troisième AG.br, Attf ligiië Slrbite est pliiJ coÙHÂ ^i'ié AcP ligne brisée j llbilc ÀB moitié ile À.fiï' est plus courte que ÀC moitié de ACF; doiic i^, là pèrpéiicliculaire <est plus courte que tciute obuque.
i^ Si on suppose BE=BC,-comme on a en outre AB
commun et langle ABE=:ABC, il s'ensuit que le iri-
V« o- angle ABE est égal au triangle ABC*; donc les côtés
AE, AC sont égauxj donc 2«, deux obliques qui s*écar^
tent également de la perpendiculaire sont égales.
3'' Dans le triangle D^A la somnie des lignes AÇ, *!»• ». CF j est plus petite* que la somme des côtés AD, DF; donc AC, moitié de la ligne ACF, est plus courte que AD moitié d'e ATlF; dbHb 3"^ lés obliques qui ^V^cartent le plus de la perpendiculaire sont les plus longues.
Corollaire L La perpendiculaire mesure la yraie distance dun point à une ligne, puisqu'elle est plus courte que toute oblique.
II. bun même point on ne peut mener à une même ligne trois droites égales : car si cela était, il y aurait d'un même côté dé la perpendiculaire deux obliques égales, ce qhi est impossible.
PROPOSITION XViL
TUBORBHB.
^^' ^*' Si par le point C, milieu de la droite A.B> on élèife la perpendiculaire EF sur cette droite; I* chaque point de la perpendiculaire sera égor lement distant des deux extrémités de la ligné AB; a^ tout point situé hors de la perpendiculaire sera inégalement distant des mêmes extrémités A et B.
Car, 1° puisqu'on suppose ACrrCfe^ les deui bblf-
LIVAB 1. 19
«pies Âb, DÉ, s'écârtëîit egal'éinent Je la perpendiculaire; donc elles sont égales. Il en est de meniê dès deux obliques AE, EB^des deux A.F, Ffi, etc. ; donc M^j tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A tet B.
2^ Soit I un point hors de la perpendiculaire ; si on joint lA, IB, l'une de ces lignes coupera la perpendiculaire en U, d'où tirant DB, on aura DB=:DA. Mais la ligne droite .Ifi est plus petite que la ligne brisée tb+DB, et ïb-i-bB=lb-i-dA=tÀ; donc tB<IA; donc a^, tout point hoi-s ae la perpenilibulaire est inégalement distant des extrémitlis A et b.
PROPlOSITION xyiii.
tkÉoÈAitB.
Ùéux triangles réctangtès s'ont égaux lorsqu'ils ont in/potènuse égale eï un côté égal.
Soit l'hypoténuse AC=:DF, fet le bôté AB=DEj je fifç.3i. dis que le trianglfe rectangle ABC sera égal au triahgle réctâitgle DEF.
L'égalité serait' manifeste si le troisième côté BC était égal au troisième EF : supposons ^ s il est possible ^ que ces côtés ne soieht pAS é^aux, et que fiC soit le plus grand. Prenea B6=£F, et joigneiB AG. Le triangle AB6 est égal au triangle DëF; car l'angle «Irbit fi est égal à l'angle droit E , la côté AfimDË , et le côté B&=EF} donc ces deux triangle^ font égaux* * pr. 0. et on a pat cons^oent AG—'trDF; mais-, pat* hypothèse, DF=AG; donc AG=:AC. Biais loblique AG fie t)eut èttt égâte à AG*, {^Ùisqu elle est plus éloignée * pr. 16. de la perpendiculaire Ad ; donc il est impossible que
ao CBOMSTAIS.
BC diffère de EF; donc le triangle ABC est ëgal au triangle DEF.
PROPOSITION XIX
THBORBMB*
Dans tout triangle , la somme des trois angles est égale h deux angles droits.
Soit ABC le triangle proposé dans lequel nous %• ^- suppososons (i) que AB est le plus grand côté et BC le plus petit , et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, •pr. i4. et BAC le plus petit.*
Par le point A et par le point I milieu du côté opposé BC , menez la droite AI que vous prolongerez en C jusqu'à ce que AC'=AB; prolongez de même AB en B' jusquà ce que AB' soit double de AI.
Si on désigne par A, B , C, les trois angles du triangle ABCetsemblablement par A\B',C' les trois angles du triangle AB'C, je dis qu'on aura Tangle C'=B-hC^ et l'angle A=A'+B', d'où résulte A+B-|-C=:A'+B' -|-C\ c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans les deux triangles.
Pour le prouver, faites AK=Ai et joignez C'R , vous aurez le triangle C AK égal au triangle BAI. Car dans ces deux triangles, l'angle commun A est com« pris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir : AC, =AJBy et AK=AI. Donc le troisième côté C'K est égal au troisième BI ; donc aussi l'angle AC'K= ABC , et l'angle AKC=AIB.
Je dis maintenant que le triangle B'C'K est égal au
triangle ATII , car la somme des deux angles adjacent
^ pr. ft. AK.C'+C'KB' est égale à deux angles droits* ainsi que
(i) Cette supposition n'exclot pas le cas où le c6të moyen AC serait ^gal ii l'un ries extrêmes AB ou BC.
LITBE I. 21
la somme des deux ang^les AIC+AIB; retranchant de part et d autre les angles égaux ARC , AIB, il restera Tangle G'KB'=:AIC. Ces angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun, savoir C'K=i:lB=:CI, et KB'=AK=AI, puisqu'on a supposé AB'= 2AI= a AK. Donc les deux triangles B'C'K, AGI , sont égaux*; donc le côté C'B' •p'.6. =AC, l'angle B'C'K=:::ACB, et l'angle KB'C'=CAI.
Il suit de là i^ que l'angle AC'B' désigné par C est composé de deux angles égaux aux angles B et G du triangle ABG, et qu'ainsi on a C'=B-|-G ; a" que Tangle A du triangle ABG est composé de Tangle A' ou C'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à l'angle B' du même triangle, ce qui donne A=A'+B'; donc A + B-f-G=:A'-hB'+G'. D'ailleurs puisqu'on a par hypothèse AG < AB et par conséquent G'B' < AG', on voit que dans le triangle AG'B l'angle en A , désigné par A' , est moindre que B' , et comme la somme des deux est égale à l'angle A du triangle proposé, il s'ensuit qu'on a l'angle A' < 7A.
Si on applique la même construction au triangle AB'G', pour former un troisième triangle AG^B" dont les angles seront désignés par A'' , B", G" , on aura semblablement les deux égalités G' = G'+B't A'= A^'H- B" , d'où résulte A'+B'4-G'=A''-f-B"'+G\ Ainsi la somme des trois angles est la même dans ces trois triangles : on aura en même tems l'angle A' < 7 A', et par conséquent A" < ~ A.
Continuant indéfiniment la suite des triangles AG'BS ACB", etc. on parviendra à un triangle abc dans lequel la somme des trois angles sera toujours la même que dans le triangle proposé ABG et qui aura Tangle a plus petit que tel terme qu'on voudra de la progression décroissante -jA , J-A , 7A , etc.
On peut donc, supposer cette suite de triangles
pr. 2.
22 GIBOMETEIX.
prolongée jusqna ^e qu^ Tangle a soit moindre que ton! angle donné.
Et si au moyen du triangle ^bc on çonstruif le triangle suivant a! V c\ la somme des ancries o! -\^V tje cel\ii-ci ser^ fgale à i angle a, et sera par conseillent moindre que tout angle donné ; d oîi Ton voit que la somme des trois angles du triangle a^b'c* se réduit presque au seul angle c\
Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolongeons le côté fi'c' vers d\ et appelons a:' Tangle extérieur Vc'dJ\ cet angle x\ joint à T^n^tc; c* clu triangle a'b'd ^ fait une somme ég^le ^ d^vix angles droits * \ aitisi en désignant Tangle droit par D , on aur^ c'= aD — x'\ donc la spmme des ançles au trjangle a'c'b* sera
Mais op ip^wl coqçevoir gue Iç tj-ianglç a^c'b' vari^ dans ses angles et ses côtés, de manière à représenter les triangles SHCcessiff q^i naissent ^iltérieur^mept ^e la même construction et s'approchent de plus en plusd^laliraitçQÙlesanglfiç^' ft ^/seraient nijl^. |)^ns c«ue limite Ja droilQ a'ç'd' ^ qpnfppdaiit avec ^'^!, les trois points a\ç\k\hn\^ei\\ pjif. être exac^eçriççt çn ligpe droite; alors les angjef é' et aç' deyjennçnt nuls en mètpe temf quQ a\ et la quantité ^ l)+^'+é' — X , qui qie^urp la sonime d^^ troi^ ^^^^^g^^^^ d" f"9ft^^® a'c'b' , ce redujt ^ ^ D, K^onc dam foiU trîfiflgle In somme des trois angles esf égale à d^ux angles (f/viff^'
Corollaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés, ou seulement leur somme, on connaîtra le troisième en retranchant la somme de ces angles de deux angles droits.
II. Si deux angles d'un triangle §qnt égaux à (le^i^ angies d un autre triangle, chacun à çhac(i{) , Iq troî-
LIYRB I. .2i
sième de Tun sera ^^al au troisièpe de lauti^e, et \^s deux triangles seront équiangles entre eux.
\^' Da^is un ^fiai^glq il ÇQ pçu^ y ^vo\l flu un ?e\U
^fraî| être flul; à pl^^ for^ç. çaiçon UQ ^TJ^ngle çiç pe^t-il ^yoir q^i'^fl seul ^nglq obliw-
IV. Dans un triangle rectangle la soqinpie des deux angles aigus est égale à un angle droit.
Y. Dan^ un triangle équîlatéral chaque angle est le tiers de d^ux apgles droits ou les deux tiers dun angle droit. Donc si Tangle droit est exprimé par x, 1 angle du triangle équilatéral le sera par j.
VI. Dans tout triapgle ABC si on prolonge le côté AB vers D, Tan^le exlèriçur CBD sera égal à la somme des deux intérieurs opposés A et C ; car en ajoutant ue part et d'autre ABC, tes deux sommes sont égales à deux angles droits.
PROPOSITION XX
THBORÂXB.
La somme de tous les angles intérieurs ^un polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a d* unités dans le nombre des côtés moins deux.
Soit ABCD etc. le polygone proposé; si du sommet d'un même angle A, on mène à tous les sommets des fig. 4«. angles opposée les diagonales AC, AD, AE, etc., il est aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles, s'il a sept c6tés; en six triangle^, s'il avait huit côtés; et en général, en autant de triangle que le polygone a de côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être considérés comme ayant pour sommet
a4 GÉOMl^TRIE.
commun le point A, et pour bases les différents côtés des polygones, excepté les deux qui forment Tangle A. On Toit en même temps que la somme des angles de tous ces triangles ne diffère point de la somme des angles du polygone; donc cette dernière somme est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles, c'est-à-dire, qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés du polygone moins deux.
Corollaire I. La somme des angles d'iin quadrilatère est égale à deux angles droits multipliés par 4 — ^ 9 ce qui fait quatre angles droits. Donc si tous les angles d'un quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un angle droit : ce qui justifie la définition xvii où Ton a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits, dans le cas du rectangle et du quarré.
IL La somme des angles d'un pentagone est égale à deux angles droits multipliés par 5 — st, ce qui fait 6 angles droits. Donc lorsqu'un pentagone est équianglcy c'est-à-dire lorsque ses angles sont égaux les uns aux autres, chacun d'eux est égal au cinquième de six angles droits , ou aux \ d'un angle droit.
lU. La somme des angles d'un hexagone est de 2 X ( 6 — 2 ) ou 8 angles droits ; donc dans l'hexagone équiangle, chaque angle est } ou f d'angle droit, lig. 43. Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition à un polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs angles rentrants ^ il faudrait considérer chaque angle rentrant comme étant plus grand que deux angles droits. Mais, pour éviter tout embarras, nous ne considérerons ici et dans la suite , que les polygones à angles saillants ^ qu'on peut appeler autrement />o//gones convexes. Tout polygone convexe est tel , qu'une ligne droite , menée comme on voudra , ne peut rencontrer le contour de ce polygone qu'en deux points.
