LIVRE
PROPOSITION XXL
THEORBME.
Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendi- fig. 36. culaires à une troisième FG , ces deux lignes seront parallèles^ c^est-à-dire qu* elles ne pourront se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge.
Car si elles se rencontraient en un point O, il y aurait deux perpendiculaires OF, OG, abaissées d*un même point O sur une même ligne FG, ce qui est impossible/ *p'- '^•
PROPOSITION XXII
THBOEEMB.
Si deux lignes droites AB , CD, font avec une fig. 36. troisième EF, deux angles intérieurs BEF, DFE-, dont la somme soit égale à deux angles droits^ les lignes AB^ CD^ seront parallèles.
Si les angles BEF, DFE, étaient égaux , ils seraient droits Tun et Tautre, et on tomberait dans le cas de la proposition précédente; supposons donc qu'ils sont inégaux et par le point F , sommet du plus grand, abaissons FG perpendiculaire sur AB.
Dans le triangle EFG, la somme des deux angles aigus FEG-fEFG est égale à un angle droit*; cette *pr. 19. somme étant retranchée de la somme BEF + DFE ^^^' ^' égale par hypothèse à deux angles droits, il restera l'angle DFG égal à un angle droit. Donc les deux lignes AB , CD , sont perpendiculaires à une même ligne FG, donc elles sont parallèles*. *pr. 21.
96 6BO|l|iTBIB*
PRQPOSI'qON ^XI|I.
THBOEÂMB.
*«• ^' Si deux lignes droites AB , CD, font avec une
çô!^ , d<>n(i ^ ^om^ ^<><( pJm peM^ qm pif^ gr^fji^^m? ^¥^ flf?^(f^ 4€Qits^ le^ lignes, A^ • PR^
Soit i^ La somme BEF+EFD plus petite c^ue 4^ax angles droits , menez FG de manière aue i^ang|e ÉfG = ÀEF, vous aurez la somme BËiF+TÈÎ''G égale à la somme BEF+AEF et par conséquent égale à deux angles droits, et puisque BEF + £F*D est plas petite que deux angles droits, la (lî*oIte DF sera comprise dans Fangle EFG.
Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre AB en M, langle AMF sera égal à GFM, puisau'eD ajoutant de part et d'autre une' même quantité EFH -f-F£M, les deux sommes sqnt égales chVcums à deux angles droi^. Prenez ensuite ^N==:FM et joignez F5) langle AMF, ^tériçur »u triapgle 1^W5 , e«l égal « \^ jommç des deni^ ^nfçrieujs flppqsfa IftF^ , ^Hf* ; ceux-ci sont 4g^H? fiÇHW Ç."^ » P.^WflH'M?. «^nf opjRM^ ^ de^ c^s 4gau35 ?(ilî » Î'M; 4qï?c Faqglç ^W W m é^al Mfp f,t ^qybte f|fi l^F^I} iqnç J* dçqitç F« divise en deux parties ^^1^ î 9?£^ Qf l^lg^FiÇ.xÇPPtlSl' ligne AB en up point N situé 4 If dvi^pji^ [!5n=FM. suit ae la même démonstration que si qn ViX&? HP:
•pf.19.
cor. (I.
qua On peu t donc prendre ainsi successivement ijf inoiii« le quart, le huitième, etc. de . Tangle GFM, et^ç lignes qui opèrent ces divisions, rencontreront la iign«
LiyiiB I. 97
AB en des points de plu^ eq p]u5 éloignes ^ mais faciles à déterminer, puisque JVIN=FM, NP=:FN, PQ= PF, etc. On peut même observer que chaque distance d'un de ces points d'intersection au point fixe F, n*est pas tout à fait double de la distance du point dlntersecfion précédent, car FN par exemple est moindre que FM+MN ou a FM; oA a pareillement FF <2PW, *'Q<aFP,etc.
Mais en continuant de sous-divis^r l'angle GFM en raison double, on parviendra bientôt à un angle GFZ plus petit que langle donné GFD , et il sera encore ▼rai qbe FZ'proIongëe rencontre AB en un point déterminé : donc à plus forte raison 1^ droite FO comprise dans Tangle KFZ, rencontrerS| AB.
Supposons a^ que La somme des deux angles inté» rieurs AEF-f-CF£ est plus grande que deux angles droits, si Ton prolonge AE vers B et GF vers û, la somme des quatre angles AEF, BEF, CFE, EFD , sei^ égaleàquati'e angles droits; donc si de cetle soqfme on retrancbe AEF-f-CFE plus grande que deux angles droits, il restera la somme BEF+ÉFO plus petite que deux angles droits. Donc ^uivaot le premier castes ligtiesEQ, FP, prolongées siiffis^mr^ent, doivent se rencQntrer.
Corollaire, Par up point donpç F on pc peut ipenfnr qu*upe seule p^allèle à la ligpe doqpép 4B; «^^t* ^J^fit tiré F£ à yolpnt^ , il q y a qu une ligne fG qui fj|^e la bomoie deç deu^ apgtes B|'^F4-EFG, ^ale k d^Uz angles droits; toute a):trç droitç FÛ ferait |a spniiçe des deux angles BEF-hEFD plu^ petite ou plus graiif^ que. deux droits; et reacontrorait p^r çonséquçpt la ligne AB.
PROPOSITIQW XXIV,
Si deux lignes parallèles AR, Gï), sqbI /.(?«' «g. 3». contréefi pqr ym sèçm^ EF , 4i summ^ des
a8 GÉOMÉTRIE.
angles intérieuT's AGO , GOC , sera égale à deux angles droits.
Car si elle était plus grande ou plus petite, les deux droites AB, CD , se rencontreraient d^un côté ou de »pr.a3. l'autre* et ne seraient pas parallèles.
Corollaire L Si Fangle GOC est dibit, Tangle AGO sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendiculaire à Tune des parallèles est perpendiculaire à Tautre.
Corollaire II. Puisque la somme AGO + GOG est égale à deux angles droits, et que la somme GOD+ GOC est aussi égale à deux angles droits; si on retranche de part et d'autre GOC, on aura langle AGO *pr.5. ==GOD. ITaiUeurs AGO=BGE, et GOD=:COF*; donc les quatre angles aigus AGO, BG£, GOD, COF, sont égaux entre eux; il en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut ob- ^rver de plus qu'en ajoutant l'un des quatre angles aigus à l'un des quatre obtus, la somme sera toujours égale à deux angles droits.
Scholie. Les angles dont on vient de parler , comparés deux à deux, prennent différents noms. Nous avons déjà appelé les angles AGO , GOC , intérîeftrs éPuji mime coté; les angles BGO , GOD , ont le même nom ; les angles AGO , GOD , s'appellent alternes^ UiterrteSy ou simplement altetnes^ il en est de même des angles BGO , GOC. Enfin on appelle internes^ externes les angles EGB , GOD, ou EGA, GOC, et , alternes-externes les angles EGB, COF, ou AGE, DOF. Cela posé on peut regarder les propositions suivantes comme étant déjà démontrées.
1° Les angles intérieurs d^un même côté, pris ensemble, valent deux angles droits.
Ol* Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi qne
LiTRs I. ap
les angles internes - ex tei*nes , et les angles alternesexternes.
Réciproquement si dans ce second cas, deux angles de même nom sont égaux , on peut conclui-e que les lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles. Soit^ par exemple, l'angle AGO = GOD; puisque GOC + 60D est égal à deux droits , on aura aussi AGO -T- GOC égal à deux droits, donc^ les lignes AG, COf V- ^^^ sont parallèles.
PROPOSITION XXV
THEOaiMB.
Veux lignes AB , CD , parallèles à une troi- ««. 39sièfne EF, sont parallèles entre elles.
Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. Puisque AB est parallèle à EF , la sécante PR sera perpendiculaire i AB*; de même puisque CD est pa- «cor.i. rallèle à EF , la sécante PR sera perpendiculaire à ^'* ^' CD. Donc AB et CD sont perpendiculaires à la même droite PQ; donc elles sont parallèles ^ ^p».»!»
PROPOSITION XXVI
THBORÂMB.
Deux parallèles sont partout également distantes.
Étant données les deux parallèles AB, CD, si par fig. 40. deux points pris à volonté, on élève sur AB les deux perpendiculaires EG, FH, les droites EG, FH, seront en même temps perpendiculaires à CD * ; je dis de plus *pr. «4. que ces droites seront ^ales entre elles.
Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés par rapport aux parallèles AB , CD, seront égaux comme alternes - internes * ; de même puisque les ♦^^i, droites EG, FH, sont perpendiculairei à une môme P''»4.
droite AB , éï par conséquent piaLratlelés éritrè ëlléi, les angles EGF , GFH , considérés par rapport àùi pâiîiltèles GE , Ffl , seront egailx comme àlterriesîiiternles. IJonc l'es deux iriahgles EÏlK, ïXîH , ont un côté comhiun FG adjacbht à deux angles égdlik, chacun a chacun ; donc cé^ (leùx triangles sont *pr.7. égaux ; aonc le coté E& qui mesuré la uistàncè dés parallèles Ati , CEI , au point E, est égal àli côte FH, qui mesure la distance de ces mêmes pâraltefes au point F.
PROPOSITION XXVII
THEOEÂIEB.
fig- 41. Si deux angles BAC, DEF, ont lès côtés parallèles , chacun à chacun , et dirigés dans le ine/ne sens^ ces deUx angles seront égaux.
Prolopi^ez, s'il est nécessaire , ,IJE jusqu'à la ren* contre de AG en G ; Tangle DEF est égal à DGC ^
*l»r.24. parce* que EF est parallèle à GC^ $ T^ngle pGG est égal à BAC , parce que, DG est parallèle à Afi ; donc langle DEF est égal à BÀC.
Sckolie. Oki rnfet dans cette proposition la restriction que le côté EF soit dirigé dans le même sens que AC et ED dans le même sens que AB ; la raison en est que Bi oii prolonge FE ver!» H, l'angle DRH ïiuràît ses côtés parallèles a ceux de l'angle BAC, mais ne lui serait pas égal. Dans ce cas , l'angle DE et 'angle BAC feraient ensemble deux angles droits,
ï>ROPDSITION XXVltl.
THBOaâHE.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux y ainsi que les angles opposés,
fig.U. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB,
DBC , ont le côté commun BD: de p}n»y à cause des parallèles AD, BC, l'angle Abfiz=:Déc'', et à cause «pr.^t des parallèles ÂB , CD ^ langle ABD=BDC; donc les deux triangles ADB, DBC, sont égaux*; donc le •pr.j. cèl^ AB 6ppbsé k Tangle ÀDB èSt é^l àû bStë DC opposé à rÂngle égal DBC $ et pareillement le troisième icdté AD est égal au troisième BG ; donc les côtés opposés, d'un par^lélqgrainme sont égaux.
En second lieu , de Tégâiité, des mêmes triangles il s'ensuit que l*angle A çst égal à langle C, ef s^ussi ({ue l'angle ÀDC, composé des deîix angles ADB) BDG^ est égal à langle .ABC^ composé de^, deux angles bfiC^ ABD^ dbnc les angles opposés d'un parallélo* gramme sont égaux*
Corollaire. Dôîiii 'd^iii {ià'rMtèl^ Âb, cb, bom^ prises entre deux autres parallèles AD, BC, sont égales.
PROPOSITION XXIX
TftSOmÂlIB.
Si dans itn quadrilatère ABCD les côtés Jûp^ 6f« 44« po^ 'sont é^auôc j en sorte qu'on aif ABsCD) et ADsBC^ les câtés égùuJt seront parcdtèle&x et ia figure sera un paralMagramme.
Car, en tirant la diagonale BD, les dbbx ttiiain'^^ ABD , bDC ; fturoht 1^ trois côtés égaék thattîfo à fchacun; donc Us seront égaut; doilc l'angle ADB op- (>ôsé an côté AB ^ est égal jk t'angle DBC opposé an côté CD ; donc* le côte AD est parallèle à BC. Par V*M. une semblable raison, AB est pahillèle à CD; donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3a GiOMÉTRIf.
PROPOSITION XXX
THliOBibfB.
fig.44. Si deux côtés opposés ÂB, CD, dun quadrilatère sont égaux et parallèles ^ les deux autres côtés seront pareillement égaux et parallèles ^ et la figure ABCD sera un parallélogramme.
Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à CD, les angles alternes ABD, BDC, sont
* pr. a4. égaux ^ *. d'ailleurs le côté AB = DC , le côté DB est
commun ; donc le triangle ABD est égal au triangle
* pr. 6. DBC * ; doue le côté AD = BC , l'angle ADB = DBC,
et par conséquent AD est parallèle à BG; donc la figure ABCD est un parallélogramme.
PROPOSITION XXXI
THEOREME.
fig. 45. Les deux diagonales AC , DB, d'un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales.
Car, en comparant le triangle ADO au triangle
GOB, on trouve le côté AD=CB, Tangle ADO=
*pr.24. CBO^; et l'angle DAOi=i:OGB, donc ces deux trian-
*pr.a7. gles sont égaux ^; donc AO, côté opposé à l'angle
ADO , est égal à OC , côté opposé à l'angle OBC ; donc
aussi DO=OB.
Scholie, Dans le cas du losange , les côtés AB , BG, étant égaux, les triangles AOB, OBC, ont les trais côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent égaux; d'où il suit que l'angle AOB=BOC, et qu'ainsi les deux diagonales d'un losange se coupent mutuelle* ment à angles droite.
J ) V- •••Vi'
