LE CERCIJS ET LA MESURE DES ANGLES
t. Ljk.^cû'conferénce du cercte est une ligne co,u^^9,fi^. 46. dont tous les points sont également distant^ d*uQ, point intérieur cju'on appelle centre.
Le cercle est Tespace terminé par cette ^igne courbe-
A^< il.. Qoclcfuefo» diMS it dÎMOitr» oivoôrtfoml If^cêt-cle irec sa circonférence ;.tnais î1^t|i; toujours facile de rétablir Fexàotîtude des expressions , en se souvenant qiie |e cercle. est un.e\ saifaeequi a longueur et largeur, tanrfis que la circonférence n'^st fp'unc ligne.
IL Toute ligne droite C^, CE,, ^Ç^,, ^ç. , mpnée du centre à la circonférence , Haj^pellefcgrqn on demi^ dianiktre; toute ligne, comme AB, qui pas£^ par 1q centre, et qui est terminée de part. e^. dVu^tre à la circbiiierencé, s'apnetïe â?iV//wè^r^. ^. ,.. ' ,
Eh' vertu dé b définition du cçrcle,^ toifs les rayo^ sont^aùx; tous les diamètres sont égaus^ aussi, «t doubles du rayon.
IIL On appelle arc une por^on de circenfërence telle que FHG.*
La corde ou sous-^endante de Tare est la ligne droite FG qui joint ses deux extrémités.
IV. Segment, est la surface ou portion .de cercle comprise entre Tare et la corde.
N. B, AU même oorde FG répondent tonjoqn dettxârcs FHG) F£G ,et par conséquent aussi deux segments; uiaia c'est toujou/*»
le plus petit dont on entend parler, à moins qu'on n'oxpiiiiif le contraire.
34 CBOMBTRip.
V. Secteur est la partie du cercle comprise entre un arc DE et les (U;ux rayons ^£1), CE, menés aux extrémités de cet àrë.
fig. 47. VI. On appelle ligne inscrite dans le cercle, celle dont les extrémités sont à la circonférence, comme AB;, - ... ; ..1 ;. : .. ; J '• ' • •
Angle inscrit , un angle tel que BAC , dont le sommet est à la circonfëreDoe> -et qui 0st formé par deux cordes;
Ti'iangle inscrit y un triangle tel <jue BAC, dont les trois àfig;Iès ont léuf^s sommets \ la ciréonferencè;
Et étl' général figure inscrite j celte dont tous les
angles ont leurs sommets à la circonférence: en même
temps ou dit que Te cercle est circonscrit à cette figure.
6g. 48. VU. 0|i appelle sécante une ligné qui r^hoèntre la
circonférence en deux joints : telle est AB:
y III. Tangêhte est uhe ligné qui ha qu^un point dé commua avec ta circonférence : telle est CD. .
Le point commun M s^appelle point de contacta
IX. ParnsillVmient îledx circonférences sont tan^ gentes Tune à Tautre, lorsqu'elles n^ont qu'un point de commun.
^. ,60. ^* l^n pol^^g'ohb est drconscrii 4^ un cercle , lorsque tous ses côtés sont des tangentes à U circonférence; dAils le tnèiue cas 6n dit que le cerclé est inscrit dans li pdl;fgoiié.
î^ftÔJ^OSttlOîir t>RÈMIÈàE-,
THBO.aBMB.
«g. 49. TàUt diamèûie AB iftVwé le cercle et sa circonférence en deux parties égales.
Car si on applique la figure AEB Sûr AFB , en consei-vant la base cottitnUtié AB, il (auura«que U ligue courbe AEB tombe exactement sur la ligne
LIVRB II. 35
dans .ce qui e9t oontre la définition du cercle.
cpui;b^ AFB, «ans quoi il j aumir dan« Tune ou dans fautre des points inégalement éloignéi du centré , ce
PROPOSltlON il
•fil
«HSOftàaa;- ' •) j •>.
Toute corde estpkupetita qme le dtMnètr^^ Car si aux extrémités de la corde AD oti Mène kb fig. 49.
layoïifl AC, CD, on aura la ligne droite AD < AO»^
GD,ouAD< AB. <
Cotiflft^H; \kih&\^'^\iB p^nàé ligné drpitê qub^
pttîÎMé iUftorirfe dâïM Un dei^te es< égale à âoi» dîaiiiitre.
piioposiTioK iri.
Une ligne droite ne peut rencontrer u/ié circonférence en plus de deux points.
Car si elle la /enix^héràit eh trbis, ces trois points seraient également distants du centre ; il 7 aurait donc trois droites égales menées d'un même point sur une
Ut.
Vt
• l>an$ un même cercle oju 4^nSt.dçfi cerefes égaux i le$ êtres égaux sont sous^tendus par (Jkfi êordes égaies, H récipro^uérfèeht les 'Caênleê égaies sous^tendeM des arcs égaux. > - '
Le rayon AG étaht égal au fayon EO , et rat*c AMD i^. §•; égal à l'arc ENG , je dis que la corde AD sera égale à la corde CG.
36 ÇBOMBTmiB.
Car le diamètre AB étant égal au diamètre EP, le demi-cercle AMDB pourra s'appliquer exactement sur le demi-cerde ENGIT , et la ligue courbe AMt)B coïncidera entièrement avec la ligne courbe EN6F. Mais on suppose la portion AMD égale à la portion ENG; donc le point D tombeca sur le point G ; donc la corde AD est égale à la corde EG.
Réciproquement ^ eft supposant toujours le rayon AiC==EO, si la corde ADndËG, je dis qu^ Varc AMD sera égal à 1 arc ENG.
Car en tirant les rayons CD, OG, les deux trian* gles ACD , EOG , auront les troi# côtés égaux chacun à chacun, savoir, AC=:EO, CD:=06, et AD^m *ii, 1. EG ; donc ces triangles sont égaux*; donc Tangle ACD = EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur son égal EGF, puisque Fangle ACD = EOG, il est clair que le rayon CD tombera sur le rayon OG , et le point D sur le point G ; donc Tare AMD est égal à Tare ENG.
PROPOSITION V
THBORBME.
Dans le même tercle ou dans descerci&$ égati^i un plus grand arc est sous - tendu par une plus grande corde , et réciproquement ^ si toute/ois les arcs dont il s'agit $ont moindres qu'une demicirconférence.
if. So. ^^^ ^^^^ ^^^^ ^^ P'^^ grand que AD , et soient menées les cordes -AJD , AH , et les rayons CD, CH t les deux eôtés AC,-GH, du triangle ACH sont égaux aux deux côtés^ AC, CD , du triangle ACD : Tangle
*!•, I. ACH est plus grand que ACD ; donc * le troisième coté AH est plus grand que le troisième AD; donc la corde qui soiis-tenci le plus grand arc est la plus
L I V R fi 1 1. ij
Réciproquement, si la corde AH est supposée plus grande que AD, on conclura des mêmes triangles que l'angle ACH est plus grand que ACD, et qu^ainsi l'arc AH est plus grand que AD.
Scholie. Npas supposons que les arcs dont il s'agit sont plus petits que la demi - circonférence. S'ils étaient plus grafids, la propriété contraire aurait lieu^ Tare augmentant I U corde diminuerait, et réciproquement : ainsi lare AKBD étant plus grand que AKBH , la corde AD du premier est plus petite que la corde AH du second.
PROPOSITION VI
THBOaâMS.
Le rayon CG^ perpendiculaire à une corde «*• ^i- AB, divise cette corde et tare sous-tendu AGR, chacun en deux parties égales.
Menez les rayons CA, CB; ces rayons sont, par rapport à la perpendiculaire CD , deux obliques égalés • donc ils s'écartent égaleraient de la perpendiculaire*; "^ i^ >• donc AD=DB.
En second lieu , puisque AD=;=33B , CH est une perpendiculaire élevée, aur le oulieu de AB donc * tout * 17/1. poiott .de cette peq^endiculaire doit être également dbtant . des deux extrëmitéa A et B. Le point G est un . da ces points; donc la distance A6z=BG. Mail» ai la corde AG est égale à la corde GB^ J'arc AG sera égal k Tare GB*; donc le rayon CG, perpendicùlaii« à la *?^' 4corde AB, divise Tare sous -tendu par cette corde en deux parties égales au point G.
Scholie, Le centre C, le milieu D de la corde Afi, et le milieu G de Tare sous- tendu par cette corde, aont trois points situés sur une même ligne perpendicul^iire à la corde. Or ilsuliit de deux points pour
38 GBOMfiTAlB.
déterminer la position dune ligne droite; donc toute ligne droite qui passe par deux des points mention* nés y passera nécessairement par le troisième, et sera perpendiculaire à la corde.
Il s'ensuit aussi que fa perpendicu/aû'e élevée sur le milieu cTufie corde passe par le centre et par le milieu de Varc sous^tendu par cette corde^
Car cette perpendiculaire n'est autre que celle qui serait abaissée du centre sur la même corde , puisqu'elles passent toutes deux par le milieu de la corde.
p,aoï>o,siTio.îï vu.
THBORâMB.
fig 5a. p^^ irQÎg points donnés^ A, JB, C, non en ligne droite j on pf¥4 toujours Ji^ire pa^fr ufiç circonférence y mais on nen peut faire Jfi^r qu'une.
' Joignez AB , BC ^ et diviseï teê àewK droite.^ M deux parties ég:des paf les perpé>ndk»ulaires DB, PO| Jtl4ii
' ' ^ d abord qm eei |ierpetkii«)ulairai àe renODmrevôikt (Mi un point O.
^ Car leê \iffae$ DE, VG, «e «ouperoM tiécttêait^Mnent êi elles n« s<yat ^ pandlèles. Or «uj^pMrtil qu'elles fusient patuUèiêB; la ligttt AB, perpenâkii4
*H* i' faire à DE, lerait ^èrpEndicnlaire à F6% et t^Hgk
K temtc droit; maii fiK^ prolongemeiil de 9D, eAI
diftérentc de BF, ptli^ue les tfOM pointi A, B, C»
* tie sont pas en lig^e <lix>ite; dohc il y aurait dent
perpemlicalatre» 6F , BK. , abaissées d'nn méifie point
" i5,i. sur la môme ligne, ce <qui est impossible'*; donc 1^ perpendiculaires DE, FG, se cotifNsront toujoilrs en On jwint O. *
Maintenant le point O^ comme app«rcen«nt à 1« perpendiculaire DE, est à égale dîManee des deai points A.etn*; le même point O, comme appartenant
IiITRB II.' ^ 39
à la perpendiculaire PG, est à égale distance lUs deux points B, C; donc les trois distances OA. OB, ' OC, sont égales; donc la cîrcoriférèince décrit^ du ^otN^O et du rayon OB pàssèi^ par les trois points donnés A, B, G.
Il est prouvé par-là qu'on peut toujours' fafré pa^;er une drconférenee par trôîs points donnés^, non en Dgne droite; je dis de plus qu^on n'en peut faire passer qu'une. \ . •
Car s*il j àrait une seconde cîrcbnférence qui pas^ 6ât par les trois points donnés k\ B,'C2, son centre ne pourrait être hors de la ligne DE ^, piîlsqu alors il * i7>i* kcfrait inégalement 'élàigné de A et de fi ; il ne pourrait être noil plus Itbrs de la ligne F6 par une raison semblable ; donc il serait à-là-fois sûr les deux lignes DE, FG. Or deux lignes droites ne peuvent se couper en plus d'un point; <fona11a^f â qu^uaé circonférence qui puisse passer par trois points donnés.
Corollaire. Deux cÂreenférènces ne peuvent se rencontrer en plus de deux points; car si elles «Vrient trois^ points communs, elles auraient le même cé9kt« , et ne feraient qu'une setde et méniie circonfërenoa.
pnQF03IT|0N VIJL
THÉOEiUJi.
p0U3f çor4içf .^gf^les ^oHf igalem^n$ éhigné^ ^ cfintn^; et ^ fieuçc cordas inégal^ f lu plw petite e^ lopins élpign^eda ceMre.
i? Soit to oeide ABasDE : divi^» loes cordes eo ^, 53 4f9*^^ égalemeat par les perpendâculaines Cf*, CG, et ùr» les layons GA, CD.
lies tciapglei MOtanglee GAF, DG6, QtA les hypoténuses CA, CD, égales; de plus le côté AF
4o GBOV9TBIB.
moitié de AB, est égal au xiàtè. DG, moitié de DE;
♦ £8, 1. donc ces triangle» sont égaux *^ et le troisième c6té
CF est égal au troisième CG; donc, i° les deux cordes égales AB,. ])£, sont, également éloignées du centre,
a"" Soit la corde AH pli^s grande que DE, l'arc
*pr.5. AKH sera plus'graD4 V^^ ^'^^c PME,*: sur Tare
AKH prenez la partie ANB=DME, tirez. la corde
AB^ et abaissez CF, perpendiculaire sur cetftQ. corde,
et CI, .perpendiculaire sur AH.j..^l est .clair que CF
♦ i6, X. est plus grand que CO, e^ CQ, plus gnmd.qua CI*j ^^. donc à plus forte raispyi ,CI?>,^J[. .flfUi^ CF^i^CG,
puisque les cordes AB, PE, soft^t ég^l^ea ^ d^naçn.a CG > CI; donc de, deux> cordes illégales Ift .pins peitite est la plus, éloignée du centre. .^
PROPOSITION IK
fig. 54. La perpendiculaire BD, rfienée à Vejptrémit4
du rayon. QK,, est un^, ULnge^rU^,.i^ la çircetr^f^
rence. » , .^
Car toute oblique CE est plus longue que la per-
♦ i6, r. pendiculaire CA'; donc Ife )pb\tit E fest'librs du cercle,*
donc la ligne BD n*a que le point A commun avec la *déf.8. circonférence; donc BD est une tangente*.
Scholie. On ne peut mener par un point donne A qu'une seule tangetite'AD î la circonrérêîflîcé ; car si 6« en pouvait mener Une autre, celle-ci ne è'ëVait plui perpendiculaire au rayon CA; donc, par rapport i cette nouvelle tangente, leniyon CA-Si^rait une oblique, et la perpendiculaire, abaissée du centre sur cette tangente . serait plus courte que CA; don< cette pif^ tendue tangente entrerait dans l^^^ercle, .et serait une sécante. -
r.iv]i£ u.. .^j
PROPOSITION' X
THÀOR^VB.
Deux parallèles kVir\ DE, iiïtercepterii sur )à èg 60. circonférence des arcs égau± MN, PQ.
Il p€nt arriver trois cas. *' ' "
I* Si* les deux parâllèle^ sont sëcantes, menez'^le rayon CH perpendiculaire à la corde MP, il sera en même temps perpendiculaire à #a parallèle NQ*; donc * ^4, i. le point H seia à-la-fois le milieu de lare MHP et celui de l'arc NHQ*; pp auf^ /donc lare MH=HP *«. et l'arc NH=HQ: de là résulte MH— NH=HP — HQ, ,q.'eat-Mw.WNî=;PQ. .. .>\
% Si. des.di^i^x.piirallèles AB, DE, Viu^e ,«$t . .«ér H- ^^ cante, Tautre taugeute; appoint de con^ct N[ meni^ le rajon CH; ce rayon sera perpendiculaire à la tangente DE*, et aussi à sa parallèle MP. Mais puisque «9. CH est perpendiculaire à la corde MP, le point H est .. . le milieu de Tare MHP; donc les arcs MH, HP ,' comr > ♦ pris entre les parallèles AB, DE, sont égaux.
3* Enfin sî les deux parallèles DE, IL, sont tangentes^ Tuiie en H, Tautre e'q K.*,. menez la sécante parallèle! AB,'Vous aurez, par ce qui yîèntj d'être démontré^ MHz^HP et MK=bKp; donc' Farc entief HMK=:HPK , et de plus on voit que cliaciih de ces arcs est une df mi -.circonférence ^ , I
PROPOSITION XL
TSBOaAlKB.'
Si deux circonférences se coupent en deux points j la ligne qui pa^se par leurs centres sera perpendiculaire à la corde qui joint les poinff d\intersection ^ et la divisera en deupp, partifff égales. ,. . •• ..
4^ GÉOMÉTRIB.
Car la ligne AB, qui joint Ui poiplj^ d'intersection, ^'Ap est une corde commune aux deux cercles. Or, si sur le
et 5e. , ,
milieu de cette corde on élevé une perpendiculaire, * ^ çUe 4pît passer pair chawn di|& dipu& A«fMa:«^ (Xm^V*. Mais par deux points dpn.n4^ q^ ^e p^ui; ii^ener ^v'mia seule ligne droite; donc la Ugnç 4lPit^9 4^î p«we par les centres, sçr^ perpendiculam ^u^ I9 n^Men df la corde comnmnç.
PROPOSITION xïi:
fHltOEftxB.
.$1 /a distance des deuâi céntf^fsft plus Courte
que la somme des rayons , ei ^i'eri même temps
le plus grand rayon est moindre qà^ ta somme
du plus petit et de la distance des ce/tfr^, les
*' * deù^ cercles sç couperont'
%-57 Car pour quil j ait U^u à in;ipi^<i^tioin , 9! fai^t mi^
le triangle CAD soit pp^^ibl^: il i^t donc nçn seu-
^'^7* lement ^ue CD ^it <AC+AD, maus aus^î ^u|» la
^•^•* plus grand rayon Ap soit <AÇ+ÇD. Or, tputes les
lois qui& le triangle CAD pourra être con^ruît, il est
clair que les circon|iér^nce(» 4^]^V^ à^À patres Ç et
pf 8p couperont en A et B.
PROPOSITION Xni:
ràJià&iiiB.
Si la distance CD dmo^mtres de deux cercles est égale à la somme de leurs rayons CA , ^D , ces deux cercles se toucheront extérieurement.
Il est clair quMls auront le point A comn^un ; mais ils nVuront que ce point; car, pour qu*ils eussent deux points communs, il faudrait que la distance des centres fût plus petite que la somme des rayons.
