I.1TRB II
PROPOSITION XIV
Si la distance CD des centres de deux cercles çst 4gale à la dijférence de leurs rayons CA, AI), ces d^u^ cercles se touchcrqnf intérieurement.
D*^harvl.Àl ^«J^ cjaîr qu'Us ont le point À cqnnmuD; iU P^en pfwml «Airoir dWlrej car pour wia ij faadriiu que. te pi»» gji^ndwjOA AP fût plua petit qwe.^ somme faite du ny^W AC et df >a 4Utam» def çm^^ CD*, ce qui n'a pas lieu. '*•
Corollaire. DonC, fi dplWi^wl««ll^touchent, soit intérieurement, soit extérieurement, les centres et le point de contact sont - tut la mêfne ligne droite.
Scholie. Tous les cercles qui ont leurs cjBntres sur ^'^ la droite CD, et qui passent par le point A, sont tangents les uns aux autres; il» n'ont entre eux que le èeul poîtit A dé commun. Et si ^af le poltit A on mèiiô At perpeudiculaire à CD, la droite AÈ sefâ'un^ W^^ geute eô^miine à tous ees eerdes.
PHQPOSJTIOIÎ XV.
«tfiomiMB. '
Dam le mém4 cercle ou devis des cercles égmâst^ «g. 6i. les, angles égaux ACB , DCE, dont lesofhtnet est au centre y mtetceptent sur la eirconférente de$ €»n» égaux AB, DE.
RédiproquemeMj si tes ares AB, DE, soM égaux, les angles ACB, DCE , seront àUsst égaux.
Car, i^ si Vangle ACB est égal à l'angle DCE, ce» Ûeux angles pourront se placer fun sur raùlre; et comme leurs côtés soîit égaux , il est clair que lé point A tombera en D, et le point B eti E. Mais alerd
44 GlloJ^KTRIE.
lare AB doit aussi tomber sur l'arc DE; car si les deux arcs n^étaient pas confondus en un seul , il y auniit dans Tun ou dans Tautre des points inégale* ment éloignés du centre, ce qui est impossible; donc 1 arc ABzzzDE.
2^ Si on suppose AB=DE, je dis que l'ançle ACB sera égal à DCE; car si ces angles ne sont pas égaux, soit. ACB le plus grand, et soit pris ACI=: DCE; on aura', par ce qui Tient d*ètre démontré. Al =:DE : mais, par hypothèse, l'arc AB=DE; donc oiri aurait AI=:AB, ou la partie égale au tout , ce qui est impossible ; donc Tangle ACBrrDGE.
PROPOSITION XVL
THBOEXMS.
«g. ««• Dans le même cercle ou dans des cercles égaux ^ si deux angles au centre ACB, DCE, sont entre eux comme deux nombres entiers ^ les arcs interceptés AB , DE , seront entre eux comme les mêmes nombres y et on aura cette proportion: Angle ACB : angle DCE : : arc AB : arc DE.
Supposons, par exemple, que les angles ACB, DCE, soient entre eiix comme 7 est à 4; ou, ce qui revient au même, supposons que Fangle M, q[ui ser-
• . vira» de coramiine mesure, soit contenu sept fois dans
l'angle ACB, et 4{natre dans l'angle DCE. Les angles partiek AC/it, mQn, f^Cp, etc. DGjp, xC^^ etc»> étant égaux entre eux , les arcs partiels Am, mn,
* 15. np, etc., Do:, xj-y etc., seront aussi égaux entre eux*;
donc l'arc entier AB sera à l'arc entier DE comme 7 est à 4- Or il ^^* évident que le même raisonnement aurait toujours lieu, quand à la place de 7 et 4 on aurait d*auters nombres quelconques^ donc, si le rapport des angles ACB, DCE, peut être exprimé
LIVHS 11. 4S
en nombreâ entiers, les arcs AB, DE, seront entre eux comme les angles ACB , DGE.
Schotie, Réciproquement, si les ares AB, DE, jftaient entre eux comme deax nombres entiers, les iarigles ACB , DCE , seraient entre eux comme ' le mêmes nombres, et on aurait todjoui^s ACBrDCË :: AB:D£; car les arcs partiels Am, m/t, etc., D:r,' xj-^ etc., ëtant ëgaux, les angles partiels ACÀt, mCn , etc. , DC^, xGf^ etc.^ sont aussi ^aux.
PROPOSITION XVII
Quel que soit le rapport {hs.deux angles ACQ^ ig. M. ACD, tes deux angles seront toujours entre eux comme les arcs AB, AD , interceptés entre leurs côtés et décrits de leurs sommets comfne centre» avec dès rayons égaux, i
' Supposons le plus petit'angle place dabsle plus grand? 51 la proposition énon'èée n'a pas lieu , Tangte ACB serai i' l'angle ACD comme Tare AB est & un arc plus grand ou plus petit qîïe AD: Sttpposohs cet ûtt plw grand,' et représentons-le par AO , nous aurons ainsi :
* Anglé^ ACB : angle ACD : î ârc AB ; arc AO. ' Iixiagiilons'Uià?nténattt que Taré AB soit divisé ^i pslrtïes égales dont chaîné soit phis pecite^que^DO^ il y àUra àû moins Un poitit de ^iéioh entre D et O ? wcAi I cfe point , et joigntbns CI ; les arcé AB , AI , serdnt entre eux comme deux nombres entieins, et on aura M rertu du théorème précédent : ' 'i
Angle ACB : aftgle AGI : : arc AB : arc AI. -
Rapprochant ces deux proportions l'une de lautre^ et observant que les antécédents sont les mêmes, on en conthu'a que les con^téquents sont pi\>portionne)S) étqifaîfisi
48 «lÉOKBl^lllB.
rahglé CAD aura pôUl» ihë^ùré la'iiiàiué'de ED; donc BAC-^CTADott B>AD ûuifa' poùr^tnemre la moitié de BE+EI>'ott la «idkié^de BD. '^
fig. «5. ' Supposons en second Bèu tjùe le^cêntre C soît situé hors<ie Tançle BAD, atôrsWnalitTc^ diamètre ÂÊ, fangie BAE aura pour met^t/i'e Vk tinoitié de BE, lange DAE ia moitié de DE; donc leur différence BAD aura pour m'esure la ihoitië de BEnioln^là moitié de £D, ou la moitié de BD. . ^ ' '
Donc tout angle inscrit a' potïT^ iiiésure U moitié de Farc compris "entr« ses côtéd. ' ^
fig.66. . Corsaire I. Tous les angles BAC, BDC, etc., inscrits dans le même segment- sont égaux; car ib ont pour mesure ia moitié du même arc BOG.
fis* <$7* ' U. Tout angle BAD inscrit dan^ le demi -cercle est un angle droit ; car il a poMt mesure la moitié de la -demi-circo&Anrence BOD, ou'le quaM de la dmonférenoe. .-
' Bosr démontrer la même ^hose d^e aàtre manière , tirez le rayon AC ; le triangle BAC est i^ scèle , ainsi l'angle BAC = ABC ; le triangle CAD est pareillement isôskèle ; donc * Tangle CAD = ADG ; donc BAC + CAD ou BAD = ABD + ADB. Mais si les deux angles B et T)' du trîangle ABD valent en- , semble le .troisième BAD, le^ trois ^angljss 4u f^iangle •• vaudrant ueux fois 1 ang'le BAÎ) : ils valent aaîHeun deux angles droits; donc 1 angle BAD est un angle dioît. i-*^ »'■' -'î»»^*' "' '^^\ •'.''*' * "■' '!'"'■
H* ^ Ili Touv 'angle 9AG ink^rit dans liti^églnent plus grand ique to deàii^^berbleV ^t un angle idgu; &ar il a pour ' mesure Ui moitié' de^i'arc BOG'moindre qu'une demi'Acirconférencé. . ' '^ • • <
Et tout angle* BOGv inscrit dans nn segment plus petit que le demi-cércle, etft un angle obtus ; car il a pour nuisure la nioitiéde V^rc BAC plus fraude qu'une tlenâ-circont'érenoe.
