X. Un polygone est circonscrit à un cercle, lorsque tous
N. B. On appelle en géDcral taDgentc à une conrbe la limite des positions qae prend nne sécante AB qni tourne autour d^un point A de la conrbe, jnsqn*à ce qu'an second point de section Tienne se confondre arec le premier.
Si la courbe est fermée , et ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points, comme le cercle par exemple, il est évident que lorsque les deax points dUnlérsectibn seront réunis en un seul, la droite n*aura plus qu'un point commun arec la courbe, et Ton pourra, si Ton veut*, appeler tangente une droite qui n*a qu*nn point commun arec la courbe. Mais la première définition convient senle à tontes les courbes , et même en la restreignant au cercle, elle a l'aTantage de montrer des analogies remarquables entre plnsifOurs tlicorèmes.
34 GÉOMÉtRIfi.
fig. i6o. ^** côtes sont dtt tangentes à la dfcohfertfnce; dans le même cas on dit que le cercle est inscrit ààn^\e polygone.
pROPosmosr première.
TBUBORBMB.
Tout diamètre AB dii^ise te cercle et sa circonfé-rence en deux parties égales i
Car'si on applique la figure AEB sur 4FB, en conservant la base commune AB, il faudra que la ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligne courbe AFB, sans quoi il 7 aurait dans Tune ou dans lautredes points inégalement éloignés du centrCi ce qui est contre la définition du cercle.
PROPOSITION
TASORÈME.
Toute corde est plus petite que le diamètre: ^ Car si aux extrémités delà corde AD on mène l«s fiTjrdtis
AC, CD, on aura la ligne droite AD < AC -f- CD, ou AD < AB.
Corollaire, Donc k plus grande ligne droite qu'on puisse inscrire dans un cercle est égale à son diamètre,
PROPOSITION III
THEORÈMB.
Une ligne droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Car si elle la rencontrait en trois, ces trois points seraient également distants du centre; il y aurait donc trois droites égales menées d un même point sur une même ligne droite, * 17, X, ce qui «9t impossible *<
t!VR« II.
PROPOSITION' IV
T;ii£OR£]iB.
Dans un Même ce^le m dam d^s cercles égaux j h^ arvs égitûài'stmt s&us-^téfklus par des cordes égalés, et héciproifm^eHi les contes égales sous-tendent des arcs égaux.
Le ràyoti Ati étant égal au rayon EO , et Tare ÂMD fig. 5o. égal à Tare ENÇ, je ctis que la.coi*cte ÂD sera égale à la corde EG.
Car le diaiiiètre AÈ. étant égal ^u diamètre EF, le demicercle AMDB' pourra s appliquer exactement sur le demîcercle ENGF, et la ligne courbe AMDB coïncidera entièrement avec l'a ligne courbe ENGÎ*. Aïais on suppose la portion AMD égale à la portion ENG; donc le point li tombera sur le point G; donc la corde AD est égale à Ist corde EG. , .
Réciproquement, en supposant toujours le rayon ACz= EO, si la corde AD==EG, je dl^ que lare AMD sera égal à larcENG.
Car en tirant les rayons CO, OG, lès deux triangles AÙD, EOG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir, AC = EO, CD= OG, et AD =EG ; donc ces triangles sont égàut* ; dÔhôlWgle ACD = EOG^. Mais éM posant te demi- * la, r. cercle ADB sliir son égal EGF, fufs^ue Tangle ACÏ)=:ÈClG, il est ckir qtife lé rayon CD tombera sui- lé rayon ÔG, et le poiivtD àur le point G; doiit l'arc AMD est égal a Parc
eng
proposition v.
THEOUEME.
DùM h mërne cercle ou dans des cercles égaux, un plus gtarid àrc est sous-tendu par une plus gmrtdè corde j et réciproquement , si ïôutefois tes arcs dont il s'agit sont moindres rpiune demi-circonférence .
36 GBOMJBTaiC.
fig. 5o. ^^ *^^* ^'^^^ ^^ P'^^ grand que EPÏG; prenons lare AMD=£N6, les cordes AD, EG seront égales. Enfin menons les rayons DC, CH : les deux côtés AC, CH du triangle ACH sont égaux aux deux côtés AG, CD du triangle ACD; langle ACH est plus grand que ACD^donc le troisième côté AH est plus grand que le troisième côté AD; donc aussi AH est plus grand que EG.
Réciproquement , si la corde AH est plus grande que EG, lare AMH sera plus grand que ENG; car si AMH était égal à ENG, la corde AH serait égale à EG, ce qui est contre Thypo thèse; et si lare AMH était plus petit que ENG , la corde AH serait plus petite que EG, ce qui est encore contre la supposition.
Scolie. Nous supposons que les arcs dont il s*agit soient moindres quune demi -circonférence; s*ils étaient plus grands, la propriété contraire aurait lieu.
PROPOSITION VI
THÉORSMB.
fig. 5i. ^ rajon CG , perpendiculaire à une corde AB , divise cette corde et Varc sous-tendu AGB, chacun en deux parties égales.
Menez les rayons GA, CB; ces rayons sont, par rapport à la perpendiculaire CD, deux obliques égales; donc ils
*i7,i. s^écartent également de la perpendiculaire*; doncAD=DB. En second lieu, puisque AD = DB, CG est une perpen-
* i8, 1. diculaire élevée sur le milieu de AB; donc* tout point de cette perpendiculaire doit être également distant des deux extrémités A et B. Le point G est un de ces points ; donc la distance AG = BG. Mais si la corde AG est égale à la
*pr. 4. corde GB, lare AG sera égal à Tare GB*; donc le rayon CG, perpendiculaire à la corde AB, divise lare sous-tendu, par cette corde en deux parties égales au point G.
Scolie. La droite CG passe par le centre, par le milieu
LIVKS 11. 37
de la corde , par le milieu de Tare; enfin elle est perpendi* culaire sur la corde. Or deux de ces conditions suffisent pour déterminer la position d'une droite ; donc toute ligne droite qui sera assujettie a deux de ces conditions remplira nécessairement les deux autres.
Ainsi la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde passera par le centre et par le milieu de l'arc , et ainsi de suite.
PROPOSITION VIL
THÉORÈME
Par trois points A , B , C , non en ligne droite , on peut toujours faire passer une circonférence , mais on n en peut faire passer qu^une.
Joignez AB, BG, et par les milieux de ces droites élevez les perpendiculaires DE, FG, je dis d*abord que ces deux ligues se rencontreront.
Car si les droites DE , F6 étaient parallèles , les lignes BA, BC, menées par le point B perpendiculairement à ces parallèles, seraient dans le prolongement Tune de l'autre ; ce qui est contre Thypothèse.
Maintenant le point de concours O des deux droites DE, F6, appartenant à la perpendiculaire DE, est à égale distance des deux points A et B ; le même point 0, appartenant à la perpendiculaire F6, est à égale distance des deux points B et C; donc les trois distances OA, OB, OC, sont égales ; donc la circonférence décrite du centre O et du rayon OB, passera par les trois points A, B, G.
38 GiçMitvuM-
Je dis 4o. plus qu'aucune aatr^ oireoilCàMnoci ne^peul passer par ces trois points^ c^ s*il en eadscak une, $oa centre it^vrait se fxouver à la fois- sur les lignes DE et ¥G ; or ces 4eux droites ne peuvent âe couper qu'en un point; donc, etc.
Corolfaire I. La perpendiculaire élevée sur le milieu de AC passera par |e pojnt O , puisque <^e point est à égale distance des points  et C;'donc ies perpendiculft^s élevées sur les milieux des côtés d'un triangle se coupent en un même point.
II. Deux circonférences ne peuvent avoir plus de deux points communs sans se confondre.
PROPOSITION VIII
THÉORÈME
Peux cordes f;gales sont égaïenient éloignées dit centre ; et de deux cordes inégales ^ la plus petite est la plus éloignée du centre.
\^ Soit la corde AB = DE : divisez ces cordes en deux également par les perpendiculaires GF, CG , et tirez les rayons C A , CD.
Les triangles rectangles CAF, DCG, ont les hypoténuses G4, CD, égales ; de plus le coté AF, moitié de AB , est Çgal ;fu côté PG, moitié d^ DE; dor»c ce^ triangles sont
* 19, 1. égaux*, et le tpoisièfpe côté CF est égal au troisième CGj
donc, i^\^ fi^ux cordes égales AB^ DE, 30^( également éloignées du centre. , < ,
14'' Soit iA corde AH plus grande que DE, Tare AILH
♦ pr. 5. *«•» plus grand que l>rc DME * : sur Tare 4JKJH pr^pe-i^ \^
parfi? ANB := DMfi;;. tjrez la corde AB , et ab9iîs#«?( CF , pfir|>eniiiculaiFe sur c/enc corde, et CI, perpwdfcîilairi^ s»f, AH ; il est ^l^ir que CF est plus gra»4l qw CO, et CQ plps gland que CI; 4onc k pîu« fortp raison. ÇF>'Cl, Mais CF=ÇG, pqjsque les cordes A3 , D£, ^onl fg^l^ ;
Sg. 53
wvigï ïif 39
4oi}c pQ 9 GG>iC;;; a^^c 4^ d^m^ iw4^& inégales h plus pe^te est I9L pl^ éloignée du penira
PROPOSITION IX
Za perpendiculaire BD , menée à P extrémité dit rayon CA y «^/ ur^ tangente à la circonférence.
Car toute olbtUq^e GE ^t pluâ longue que b p^pendicu- fie- Pilaire CAj dpnc le point East hors du cercle; dofio la ligpe BD nV ^ue le point A comn^un avec la qircon£éfence; donc BD est une tangente.
Réciproquement, Le rayon CA mené au point de contact de la tangente BD, est pei^endiculaire sur cette tangente.
Car tous les points de cette ligne, à l'exception du point ky écaal entériaors à la eîrcûoférence;*, le rayon CA sera la ligne la plus «oiirf« qu on puisse mener du point C ^ la droite BD, ef par cojnséguent sera p^pendiculaire à cette droite.
Corollaire, Par un point A pris sur la circonférence on ne peut mener qu une seule tangente.
PROPOSITION X
THBOaBMB.
Deux parallèles AB, DE , interceptent st^r la çirconférmoe dfis arcs égaux MN, PQ.
Il peut arriver trois cas*
i"" 3i les àtMx, p^aUèles sqnt sécantes , menez le rayon fig. 55. CH perpendiculaire à la corde MP> il sera en marne temps perpendiculaire à sa parallèle NQ ; donc le point H sera à la fois le milieu de Tare MHP et celui de lare NHQ*; *6, fln aura donc lare MH = UP, et Tare NH:=HQ : d^; là résulte IHH — NH =;HP — HQ , c>st-à cUre MN = PQ. ;
a"" Si des deux parallèles AB, DE, lune est sécante, Tau- Sg. 56.
4o GÉOMiTtilE.
tre. tangente; au point de contact H menez le rayon GH; ♦g^ ce rayon sera perpendiculaire à la tangente DE*, et aussi à sa parallèle MP. Mais puisque CH est perpendiculaire à la corde MP, le point H est le milieu de lare MHP ; donc les arcs MH^ HP^ compris enti*e les parallèles ÂB, DE, sont égaux.
3° Enfin si les deux parallèles DE, IL, sont tangentes, Tune en H, l'autre en K, menez la sécante parallèle AB, vous aurez, par ce qui vient d'être démontré, MH=HP et MK = KP; donc l'arc entier HMK=HPK, et de plus on voit que chacun de ces arcs est une demi-circonférence.
PROPOSITION XI
Si deux circonférences ont un point commun A en dehçrs de la ligne CC qui unit leurs centres , elles ont un dewdème point commun M situe sur la perpendiculaire AB à CC', et à la même distance de cette droite que le point A.
En effet, A'B étant égal à AB, les droites CÀ, CA', seront égales comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire CB à la droite AA'. Donc le cercle décrit ' du point G comme centre avec CA pour rayon, passera par le point A' ; on verrait de même que le cercle décrit du point G' comme centre avec G'A pour rayon, doit passer par le point A'.
Corollaire I. Quand deux circonférences se coupent, la ligne qui unit les centres est perpendiculaire sur le mille u de la çprde copimune.
UVRZ II. 4l
II. Si deux circQuférenoas sont tangentes, le point de contact est situé sur la ligue des centres; car s'il en était autrement, les circonférences auraient un second point commun, et par conséquent se couperaient.
Deux circonférences ne peuvent occuper Tune p^r rapport à l'autre que cinq positions différentes relies peuvent être extérieures ou intérieures; elles peuvent se toucher extérieurement ou intérieurement, ou enfin se couper.
PROPOSITION XII
THÉORSME.
Si deux circonférences sont extérieures , là élistance des centres est plus grande que la somme des rayons.
CaronaCC'=CA+C'A'-'-AA', d'où CC'>CA + CA'. PROPOSITION XIII.
THSORSMB.
Si deux citvonférences sont intérieures^ la distance des centres est plus petite que! la différence des rayons.
Car on a CC'— GA—CA'— A'A, d'où CC'<CA— CA'.
4a G«0]||hW£.
PROPOSITION XIV
THEOREMS.
Si deux circonfét'ences sont tangenêes eauémars' ment , la distance des centres est égale à la somme des rayons:
Car ie point de contact A étant sur la ligne des centres, o» a^f^vidpijjgîepiÇq'r^CiA + AC't . , . *
PROPOSITION XV
THEOREME.
Si deiLt circonférences se touchent intérieurement j la distance des centres -est égale à la différence des rayons.
Car le point de contact A est ^ur la ligne des centres, et Ton a CC =2:;CA — C'A.
PROPOSITION XVI
THÉORÈME
Si deux circonférences se coupent , la distance des centres sera en même temps plus petite que la somme des rajms , et plt^ grande que leur différence^ ,
uvKe u^ 43
Car en joignant les centres à lun d^s points d'intersection A, on form^r^ un triangle d«ns i^u^l la lîgse des çenti-es CC'^ et les rayons CA, C'A, seroxït Jes trois côt^sj or on a vu que d^os no triangle un pôté quelconque est plus petit que la somme deç deux ^utrçs, et plus grand que leur différence.
Les réciproques des cinq propositions précédentes sont vraies, et se démontrent toutes de la même manière; par exemple, si la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence, les oiroonférences se coupent; car »i eHes étaient extérieures ou intérieures, la distance des centre^ «erak plnj| grande que la somme des rayons, ou plus petite qae leur diffé* rence ; et si elles étaient tangentes, la distance des centres serait 4^ie à la somme dfs rayons im à lear différence.
PROPOSITION XVIL
TRÉOilèME.
Dans le même cercle ou cUuu des cereUs égaux ^ les angles égaux ACB, DCE, dont le sommet est au centre , interceptent sur la circonférence des arcs égaux AB, DE.
Réciproquement, si les arcs AB , DE , sont égaux , fig. 6i. les angles ACB, DCE, seront aussi ^gaux.
Car, 1^ si langle ACB est égal à Fangle DCE, ces deux angles pourront se placer Tun sur l'autre; et comme leurs côtés sont égaux, il est clair que le point A tombera en D, et le point B en E. Mais alors l'arc AB doit aussi tomber
44 GÉOM^tAlË.
sur 1 arc DE; car si les deux arcs n'étaient pas confondus en un seul, il y aurait dans l'un ou dans Tautre des points inégalement éloignés du centre, ce qui est impossible; donc lare AB=DE.
a"* Si on suppose AB=DE, je dis que langle AGB sera égal à DCE ; car si ces angles ne sont pas égaux, soit AGB le plus gi-and, et soît pris AGI = DCE; on aura, par ce qui vient d'être démontré, AI=DE : nidis, par hypothèse, lare AB = DE; donc on aurait AI==AB, ou la partie égale au tout^ ce qui est impossible; donc l'angle AGB=z:DGE. PROPOSITION XVIII.
THÉORÈME
Va/is wi même cercle ou (Ums des cercles égaux y le rapport de deux angles au centre , est le même que celui des arcs interceptés entre leurs côtés. 6g. 6a. Soient ABG, DCE, deux angles au centre de circonfé^ rences égales. Je supposerai d abord que les arcs AB et DE aient une commune mesure, et quVUe soit contenue 7 fois dans AB, et 4 fois dans DE; le rapport de AB à DE sera |.
Maintenant si Ton joint les points de dirision des deux arcs aux centres des circonférences , on voit que l'angle AGB sera divisé en y angles égaux entre eux comme comprenant entre leurs côtés des arcs égaux ; et que l'angle DCE contiendra 4 des mêmes angles. Le rapport des arcs AB et DE sera donc aussi |.
Si les arcs AB et DE sont incommensurables, divisons l'arc DE en trois parties égales, par exemple, et supposons que l'arc AB contienne 4 de ces parties avec un reste KB plus petit que l'une d'elles; le rapport de AB à DE est plus grand que | ^ et plus peut que |.
Livjus II. 45
Mais si Toh joint les centres C, F, aux points de division des arcs, on voit que langle DFE est divisé en trois parues égales, et que langle ACB contient 4 de ces parties, avec un reste KGB plus petit que Tune d elles; le rapport des angles ACB, DFE est donc aussi compris entre | et | ; donc les rapports ACB : DFE et AB : DE contiennent ebacun 4 fois la fraction |. Mais on prouverait semblablement qn*ils
contiennent le même nombre de fois -|^, ^5^, ^^ , et
en général une partie aliquote de lunité aussi petite qu on voudra; donc ces rapports sont égaux.
Mesure des angles.
Mesurer une grandeur, c'est trouver le rapport de celte grandeur à Tunité de même espèce. La mesure d*un angle, en prenant pour unité Tangle droit, n'est donc autre chose que le rapport de cet angle à un droit.
Mais le théorème précédent montre qu au rapport de deux angles au centre, on peut substituer le rapport des arcs compris entre leurs côtés. Ainsi, au lieu de comparer directement un angle à l'angle droit, on pourra comparer l'arc compris entre ses côtés au quart de la circonférence; et c'est dans ce sens qu'on dit d'une manière abrégée , qu'un angle au centre a pour mesure l'arc intercepté par ses côtés.
Pour faciliter cette comparaison, on divise la circonférence en 36o parties égales appelées degrés ; chaque degré en 6o minutes, chaque minute en 6o", etc.
Si lare intercepté par les côtés d'un angle au centre renferme 24 degrés, la mesure de cet angle sera J^ ou -yr,»
Scoli'e. En appliquant littéralement la démonstration du théorème précédent, on prouverait que deux secteurs pris dans des cercles égaux sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côtés.
46 GÈojÊci^^ïk.
Proposition xix.
TSÉOItAlflE.
fig ^ . HaiîgU inscrit hkH a pour mesure la moitié de /a/Y? iJD compris entre ses côtés.
S^poaims d^âhord que )e centre du cercle sort situé
fig. 64. daos l'angle BAD, on mènera le diamètre AE et le§ raymift CB^ CD. L'angle BGËy extérieur m trî»ilgl6 ABC, est égal à * ^^y ^ la somme des deux hi«ériettrs GAB, ^BX!»* : nvais le triangle BAC étant isocèle, Fangle CAB = ABC,- donc l'angle BCE est double de BAC. L'angle BCE^ eomme angle au centre, a pour mesure l'arc BE; donc l'angle BAC aura pour mesure la moitié de BE. Par une raison semblable, Vpngle CAD aura pour mesure la moitié de ED ; donc BAC + CAD ou. BAD aura pour mesure la moitié de BE + £D ou la moitié de BD.
fig-.65. Supposons en second lieu que le centre C soit situé hors de l'angle BAD, alors menant le diamètre AE^ l'angle BAE aura pour mesure la moitié de BE^ l'angle DAE la moitié de DE; donc leur différence BAD ?ur» pour va^sure la moitié de BE moins la moitié de £D^ ou la moitié deBD.
Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de Tare compris entre ses côtés.
fig.66. Corollaire L Tous les angles BAC, BDC, etc., inscrits dans le même segment sont égaux; car ils ont pour mesure la moitié du même arc BOC»
^g- ^- IL Tout angle BAD inscrit dans le demi^cerde est un angle droit; car il a pour mesure la moitié de la demir circonférence BOD, ou le quart de la circonférence.
Pour démontrer la même chose d'une autre manière, tirez le rayon AC; le triangle BAC est isocèle, ainsi l'angle BAC = ABC; le triangle CAD est pareillement isocèle; donc l'angle CAD= ADC; donc BAC + CAD ou BAD =
