LIVRE Wi
ABD + ADB. Mais si les deux angles B et D du triangle ABD valent ensemble le troisième BAD, les trois angles du triangle vaudront deux fois langle BAD; ils valent d'ailleurs deux angles droits; denc Tangle BAD est un angle droit.
III. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus grand g ^ ^le le detifi^ceFcIe^eét un fingle aigit) Oat î) a ploiivitBâsure Ift moitié et l'afo BOC mdhidfe qtt'iim< deibi^rconfé-! rence.
Et tout angle BOC, inscrit dans un segment plus petit que le demi-cercle, est u'rî'éiî|[iè dbtûs; tar il a pour mesure la moitié de l'arc BAïC pliis . grand qu une demi-circonférence.
' PROPOSÏTIQÏf XX. A
' ^àèonÉMÈ. \ s .
V angle ^kC ^ forme par une tangente et une cordée g a pour mesure la moitié de F arc A^t)C! compris entre ses côtés.
Au point de contact A menez le diamètre AD; langle BAD est droit *y il a pour mesure la moitié de la demi-cir- ^' conférence AMD; Tangle DAC a pour mesure la moitié de DC; donc BAD + DAC ou BAC a pour mesure la moitié de AMD, plus la moitié de DC, ou la moitié de lare entier
Am.fjCf , I.
Ob . démùiitrevait de même qu^ langle CAEa pourme« sure la moitié de Tare AC comprni entre ses côtés 4
PROPOSITION HXL
tHÉOHèMÉ.
V angle BAC, formé 'par les deux sécantes BÈ , AC. , et dont le sojrimet est dans V intérieur de la circonfé^ rence i a pour mesure la moitié» de Parc compris entre ses côtés f plus la moiu4 de l'arc compris entre lesprolongemenis^desmén^s'Côté^, '. . ..;
En effet, laDgle BAC extérieur au triangle AEC est égal à la somme des angles AEG, ACE, qUi ont respectivement pour mesure les arcs BC et DE.
PROPOSITION XXII
THéORBMS*
V angle BAC , formé parles deux sécantes AB, AC, et dont le sommet est Iiors de la circonférence y apour mesure la moitié de Varc concave BC, moins la moitié de Varc convexe DE.
Car Tangle A est égal à la différence des angles BDC, ABD, qui ont pour mesure le premier la moitié de fiC, et le second la moitié de DE.
La proposition est encore vraie, lorsque Tun des côtés de Tangle ou bien les deux sont tangents à la circonférence, et la démonstration est la même.
fig- ^' Corollaire, Varc de cercle BAC est le lieu géométrique des sommets des angles égaux à CDB, et dont les côtés passent par les points C et B. Car tous les angles inscrits dans le segment C AB sont égaux à Tangle CDB ; et il résulte du dernier théorème et du précédent, que tout angle dont
L1VK£ II. /|^
les côtes passeraient par les points C et B, et dont le sommet serait hors de l'arc CAfi, serait différent de l'angle CDB.
PROPOSITION XXIIl.
THBORSMS.
Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, les uiigles op- /josés sont supplémentainis.
En effet, les angles opposés ADG, ABC, ont ensemble pour mesure là moitié de la circonférence ABGD.
Réciproquement, si, dans un quadrilatère, deux angles opposés ADC, ABC, sont supplémentaires^ ce quadrilatère est inscriptible.
En eflPet, faisons passer une circonférence par les trois points A, D, C; Tangle ADC aura pour mesure la moitié de Tare AMC; donc Tangle ARC qui est le supplément du premier, a pour mesure la moitié de l'arc restant ADC, c'està-dire qu'il est égal à chacun des angles inscrits dans le segment AMC; or, ceci ne peut avoir lieu qu'autant que le point B est sur l'arc AMC.
Problèmes relatifs aux deux premiers livres.
PROBLÈMB PHEMISR.
Dii^iser la droite donnée AB en deux parties égales. H* 7®.
Des points A et B, comme centres , avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux aros qui se coupent en D.; le point D sera également éloigné des points A et B : marquez de même au-dessus e\i au-dessous de la ligne
$0 GBOMBTRIE.
AB VD second point £ également ëloignë des pointe A et B, par les /deux pointe D^ E, tîrescla ligne DE^ je dis que DE coupera la ligne AB en deux parties égales au point G. Car les deux points D et Ë étant chacun également éloignés des extrémités A et B, ils doivent se trouver tous deux sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Mi^rs par d'eux pointe doi^nés il né p^t paàker qu*une seule ligne droite ; donc la ligne DE sera cette perpandiculaîre elle-même qui coupe la ligne AB en deux parties égales au point G.
BftOBLÈMB 11.
Cg 71. Par un point A , donné sur la ligne BC, élever une perpendiculaire à cette ligne.
Prenez les pointe B et G à égale distance de A^ ensuite des points B et G, comme centres, et d'un rayon plus grand que BA, décriveldeux arcs qui se coupent en D y tire» AD qui sera la perpendiculaire demandée. '
Gar le point D étant également éloigné de B et -de G^ appartient à la perpendiculaire élevée sur le milievi de SC • donc AD edt cette perpendiculaire*
SeoUe. 'La mè^fi conslructioA^sert à faire un angle droit BAD^n un point donné A- sur icin^ ligne donnée BC.
PROBLEME III
figi 72
D'un point A , donné hors de la droite BD ,• abais^ ser une perpendiculaire sur cette droite.
Du point Aj comme centre, et d*un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe la ligne BD aux deux pointe B et D ; marquez ensuite un point £. également distant des pointa B et D, et titez AE qui sera k perpendiculaire demAndée.
Gar ks deux.poinite A et E sont chacun éj^aknteiQt distante des pojtnte B eti D ^ Aopc h ligne AE •eftt, pf qiendioulake sur le milieu dâ BD. ' ,.
UVR£> 11. Si
PHOVLBMB IV.
Au point A de la ligne ÂB, faire un angle égal à fig. 73, f angle donné K.
Du sommet K, comme centre , et d'un rayon à volonté^ décrivez Tare IL terminé aux deux côtés de l'angle j du point A, comme centre, et^ d un rayon AB égal à Kl, décrivez l'arc indéfini BO; prenez ensuite un rayon égal, à la corde LI; du point B, comme centre, et de ce rayon;^ décrivez un arc q\|i. coiipe en D l'arc indéfini BO; tirent AD, et l'angle OAB sera égal à l'angle donné K.
Car les deux arcs BD,LI, ont des rayons égaux et des cordes égales; d^nc iU ^Qut égau.x *i donc l'angle BAD=:IKL. «4, 2.
PROBLEME V
Diuiser un angle ou un arc donné en deux parties fig. 74, égales.
i" S'il faut diviser l'arc AB en deux parties égales, des points A et B, comme centres, et avec un même rayon , décrivez deux arcs qui se cou^etit en D; par le pôitit D'et par le centre C tirez CD qui coupera l'arc AB en deut par»* ties égaler au point E.
Car les deux points C et D sont chacun également distants des extrémités A et B de la Corde AB ; donc la Ugne CD est perpendidulâire sur le milieu de cette corde; donc elle divise l'arc AB en deux parties égales au point E *. ^e^ a.
a'* S'il faut diviser en deux parties égales l'angle ACB, on commencera par décrire du sommet C, comme centre ,' l'arc AB, et le reste comme il vielàt d'être dit^.Il e»t clair que la ligne CD divisera en deux parties égales l'angle AiÇBi^
Scolie. On peut , . pack mêtne cotMtruction, diviser chacune des moitiés AE, £B, en deux parliez égales; aipsi,
5± aioMÉiniE.
par des subdivisions successives, on divisera un angle ou un arc donné en quatre parties égales, en huit, en seize, etc.
PROBLBMB VI.
% 75. Par un point donné A , mener une parallèle à la ligne donnée hC
Du point A, comme centre, et d'un rayon suffisamment grand, décrivez l'arc indéfini ËO; du point E^ comme centre, et du même rayon ^décrivez larcAP, prenez ED=AF, et tirez AD qui sera la parallèle demandée.
Car en joignant AE, on voit que les angles alternes-internes AEF, EAD, sont égaux; donc les lignes AD,EF, sont
parallèles *.
Pour résoudre ce problème, on emploie plus ordinairement I equerre.
L'équerre a la forme d'un triangle rectangle CDE ; on applique l'hypoténuse sur la ligne CD, à laquelle il faut mener une parallèle par le point A, et le côté CE contre une règle fixe CM, puis on fait glisser Téquerre le long de la règle jusqu'à ce que l'hypoténuse passe par le point A; la droite AD' sera parallèle à CD ; car les angles correspondants DCM, AC'M sont égaux.
PROBLEME VII
£ (5 Deux ofigles A et h (tun triangle étant donnés , tromper le troisième.
Tirez la ligne indéfinie DEF, faites au point E l'angle DEC= A, et l'angle CEH = B : fangle restant HEF sera
