I.ITBB II

IV* Les angles opposés A et C dun quadrilatère %. <M. inscrit ABCD, valent ensemble deux angles droits ; car Tangle BAD a pour mesure la moitié de Tare BCD , Tangle BCD a pour mesure la moitié de l'arc BAI); donc les deux angles BAD, BCD, pris ensemble, ont pour mesure la. moitié de la circonférence; donc leur somme équivaut à deux angles droits.

PROPOSITION XIX

TBBOEBICS.

L'angle BAC , formé par une tangente et une ««• ««• corde j a pour mesure la moitié de /'arc AMDC compris entre ses côtés. ^

Au point de contact A menez le diamètie AD; ■ l*àngle BAD est droit *, il a pour mesure la moitié de • 9. la demi-circonférence AMD, VangleDAC a pour me. sure la moitié de DC; donc BAD -f- DAC ou BAC a pour mesure la moitié de AAID, plus la moitié deDC^ ou la moitié de lare entier AMDC.

On démontrerait de même que l'angle CAE a pour mesure la moitié de Tare AC compris entre ses côtés.

Problèmes relatifs, aux deujc premiers livres.

PROBLBME PBBMIBB.

Diviser la droite donnée AB en deux parties ^' '•. égales.

Des points A et B, comme centres, avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs qui se coupent en D ; le point D sera également éloigné des points A et B : marquez de même au*dessus

$0 «BOMSTmiB.

OU au*deMous de la ligne AB un second pdint £ également éloigne des points A et B , par les deux points D, E, tirez la ligne DE; je dis que DE coupera la ligne AB en deux parties égales au point C.

Car les deux points D et E étant ehaoun également éloi^és des extrémités A et B, il» doivent se trouver tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Mais par deux points donnés il ne peut passer qu'une seule ligne droite; donc la ligne DE sera cette perpendiculaire elle-même qui coupe la ligne AB en deux parties égales au point C.

moBcâvx II.

ûg. fu Par un point A , donné sur la ligne BC, ékver une perpendiculaire à cette Ugne, , Prenez les points B et C à égale distance de A, en* suite des points B et C , comme centres , et d*ua rayon plus grand que BA, décrivez deux arcs qui se coupent en D; tirez AD qui sçra la perpendiculaire demandée.

Car le point D éunt également éloigné de B et de C , appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC ; donc AD est cette perpendiculaire.

Scholie. La même construction sert à faire un angle droit BAD es un point donné A sur une ligne donnée BC.

IROBIiÂHB III.

£^. ^, D*un point A y donné bon de la droite BD, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A, comme centre, et d*un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe la ligne BD aux deux points B et D; marquez ensuite un point E également distant des points B et D, et tirez AE qui sera la perpendiculaire demandée.

Car les deux points A et £ sont chacun également

LIYKB II. Si

diHaBts dea poîatftB 6i D $ donc la ligne AE est perpeniiHïulw^ sur le milieu de BD.

problème'' IV.

Au point A de la ligne k^^ faire un angle «g. 73 égal à l'angle donné JS^.

Du sommet K, comme centre, et d'un rayon à Tolouté, décrivez lare IL terminé aux deux côtés de Tangle ; du point A , comme centre ^^et d^un rayon AB égal à Kl, décrivez Tare indéfini BO; prenez ensuite un rayon égal à la corde LI; du point B, comme centre, et de ce rayon , décrivez un s^rc qui coupe en D Tare indéfini BO; tirez AD, et Tangle DAB sera égal à l'angle donné R.

Car les deux arcs BD , H, ont des rayons égaux et des cordes égales ; donc ils sont égaux*; donc l'angle **♦ *• BAD=IKL.

PROBIiiKB V.

Diviser un angle ou un arc donne en deux ^'^^* pmtie$ égales,

x^ S'il faut diviser Tare AB en deux parties égaies, das points A et B , comnie centrai 9 et avec un même fuyox^ « décrÎTez deux arcs qui se coupent en D ; par le pqint D ^ psgp le centre C tireii CD qui coupela Tare AB en deux parties égales au point EL

Car les deux points G et D sont chacun également distants des extrémités A et B de la corde AB ; donc la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette eordej dose elle divise TaTC AB en deux parties égales au point E*. *«,«.

a<) S'il faut diviser en deux parties égaler Tangle ACB, on commencera par décrire du sommet C comme centre, l'arc AB, et le reste comme il vient d'être dit. Il est clair que la ligne CD divisera en deux parties égales l'angle ACB.

Sa GSOMBTAIS.

Scholie^ On peut, par la même construction , diviser chacune des moitiés AE, EB, en deux parties égaies; ainsi, par des sous*divisions successives, on divisera un angle ou un arc donné en quatre parties égales, en huit , en seize , etc.

PEOBLâMB YI.

fig. 75^- Par un point donné A , mener une parallèk à la ligne donnée BC.

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffisamment grand , décrivez lare indéfini EO ; du point E, comme centre, et du même rayon , décrivez Tare AF, prenez £D = AF, et tirez AD qui sera la parallèle demandée.

Car en joignant AE, on voit que les angles alternes AEF, EAD , sont égaux ; donc les lignes AD, EF, sont

* a4. 1. parallèles *.

P&OBLâMS VII.

H' 'fi' Deux angles A cf B d'un triangle étant donnés ^ trou^^r le troisième.

Tirez la ligne indéfinie DEF, fiiites au point £ langle DECznA, et l'angle GEHsB : Fangle resunt HEF sera le troisième angle requis ; car ces trois angles pris ensemble valent deux angles droits.

PKOBLÂMB. VIII.

fig 77 • Étant donnés deux côtés B ef C d'un triangle et V angle k qu'ils comprennent y décrire le triangle. Apnt tiré la ligne indéfinie DE, faites au point D l'angle EDF égal à langle donné A; ^enez ensuite DG=B, DH = C, et tirez GH ; DGH sera le triangle demandé.

LIVAB II. 53

PBOBLÂMB IX.

Étant donnés un côté et deux angles cVun triangle , décrire le triangle.

Les deux angles donnés seront ou tous deux adjacents au côté donné , ou Tun adjacent , l'autre opposé : dans ce dernier cas, cherchez le troisième % vous *prob.7. aurez ainsi les deux angles adjacents. Cela posé , tirez la droite DE égale au côté donné , faites au point D fig. 78. l'angle EDF égal à lun des angles adjacents, et au point E langle DE6 égal à Tautre ; les deux lignes DF, £G, se couperont en H, et D£H sera le triangle re<juis.

PROBLEXE X.

Les trois côtés A , B , C , d^un triangle étant «ig. 79. donnés y décrire le triangle. *

Tirez DE égal au côté A; du point E, coimne centre, et d'un rayon égal au second côté B, décrivez un arc ; du point D , comme centre , et d'un rayon égal au troisième côté G, décrivez un autre arc qui coupera le premier en F; tirez DF, EF, et DEF sera le triangle requis.

SchoUe. Si l'un des côtés était plus grand que la somme des deux autres , les arcs ne se couperaient pas ; mais la solution sera toujours possible , si la somme de deux côtés , pris comme on voudra, est plus grande que le troisième.

PEOBLiMB XI.

Étant donnés deux cotés AetB d'un triangle, avec VangleC opposé oucStéBy décrire le triangle.

Il y a deux cas : i^ si l'angle G est droit ou obtus , 6g. 80. faites l'angle EDF égal à l'angle G; prenez DE=A, du point E, comme centre, et d'un rayon égal au côté donné B, décrivez un arc qui coupe en F la

54 GBOMBVaift.

ligne DF; tirez EF, et DEF sera le triangle demandé.

Il faut, dans ce premier cas, que le cète B soît plus grand que A, car Tangle C étant droit bu obttis, est le plus giand des angles du triangle; donc le côté opposé doit être aussi le plus grand.

«g. 8i. 20 Si langle C est aigu, et queB soit plus grand que A , la même construction a toujours lieu, cl DEF est le triangle requis.

fig. 8a« Mais si, langle C étant aigu , le cdté B est moindre que A, alors, lare décrit du centre E ayec le rayon EF=rB, coupera le côté DF en deux points F et G, situés du même côté de D ; donc il y aura deux triangles DEF, DEG, qui satisferonl également au problème.

Scholie. Le problême serait impossible dans tous les cas, si le côté B était plus petit que la perpendiculaire abaissée de £ sur la ligne DF.

p&oblAxb xu.

fig. 85. Les côtés adjacents A er B d'un paraltélogramme étant donnés avec l'angle C quUls cornprennent^ décrire le parallélogramme.

Tirez la ligne DEkA» faite» au point D languie FDE=C, prenez. DF=B; décrivez deux arcs ^ Tiu du point F comme centre, et d'un rayon FGscDEi l'autre du point E comme centre, et d'un rayon EG=I)F : au point G, où ces deux arcs se coupent, tirez FG, EG; et DEGF sera le parallélogramme demandé.

Car , pur constnietion , tes côtés opposés sont égaux , donc la figure décrite est un parallélogramme*, et œ parailélogramuie est formé avec l«s oôtés donnés et Tangle donnéi

Corollaire. Si Tangle donné est droit, la figure sert