I.ITKB 11. SS

un rectangle; «i, de plus , le» côtés sont égaux , oe sera un quarré.

PROBLBXB XIII.

Trouver le centre cTun cercle ou d*un arc donnéx

Prenez à volonté dans la circonférence ou dans fig. 84. Tare trois points A, B, C; joignez ou imaginez quon joigne ÂB et BC, divisez ces deux lignes en deux par. des égales par les perpendiculaires DE, FG; le point O, où ces perpendiculaires se rencontrent , sera le centre cherché.

Scholie. La même construction sert à faire passer une circonférence par les trois points donnés A, B^ C^ et aussi i décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné ABC soit inscrit.

FB)»BfiAltB XIV.

Par un poinî donné mener une tangente à un cercle donné.

Si le point danné A e^t svdr la circonterenoe, tii^ez ^- ^^• 1# rayon GA^ et mené» AD perpendievdaire à GA; AD sera Utanf^nttf demandée*. '9, a

Si le point A mt hOrs du cercle , joignez le poîtti ^' ^ A et le centre par la ligne droite GA; divisez GA en deux également au point O ; du point O , comme centre > et du rayon QG, décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée au point B; tirez AB, et AB sera la tangente demandée.

Car en menant CB, Tangle CBA, inscrit dans le demi-cercle , est un angle droit * ; donc AB est perpendiculaite à ^extrémité du rayon CB, dond elle est ungennî.

SehoUe. Lé pbint A étant hots du ceifcle, on Voit qu'il y a toujours deux ungentes égales AB, AD, qui paAséht fmr le ppim A : éfies sont égales, car les trÎM^ès «actakigles CBA^CDA ont rhypoténtise CA

* iS, a.

5tf CXOKBV&XB.

commune , et le côté GB = CD ; donc ils sont *i8,i. égaux ^; donc AD-=:AB, et en même temps l'angle CAD=CAB.

PROBLBMB XY.

k-^7- Inscrire un cercle dans un triangle donné ÂBC.

Divisez les angles A et B en deux également par les lignes AO et BO qui se rencontreront en O ; du point O abaissez les perpendiculaires OD, OE, OF, sur les trois côtés du triangle; je dis que ces perpendiculaires seront égales entre elles; car, par construction , l'angle DAO = OAF, l'angle droit ADO= AFO; donc le troisième angle AOD est égal au troisième AOF. D'ailleurs le côté AO est commun aux deux triangles AOD, AOF, et les angles adjacents au côté égal sont égaux; donc ces deux triangles sont égaux; donc DO=OF. On prouvera de même que les deux triangles BOD, BOE, sont égaux; donc OD = OE, donc les trois perpendiculaires OD, OE, OF, tont égales enti*e elles.

Maintenant si du point O, comme centre, et du rayon OD, on décrit une circonférence, il est clair que cette circonférence sera inscrite dans le triangle ABC; car le côté AB, perpendiculaire à l'extrémité du rayon OD, est une tangente : il en est de même des côtés BC,AC.

Sckolie. Les trois lignes qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle , concourent en un même point

PBOBLJÎMB XVI.

iiff. S8 Sur une droite donnée AB , décrire un segment capable de V angle donné C , c* est-à-dire , un segment tel que tous les angles qui jr sont inscrits soient égaux à V angle donné C.

Prolongez AB vers D, faites au point B langk DBE-=:C, tirez BO perpendiculaire à BE, et GO per-

tITRB II« S7

pendiculaire sur le milieu de ÂB; du point de rencontre O, comme centre, et du rayon OB, décrivez ^un cercle , le segment demandé sera AMB. *

Car puisque BF est perpendiculaire à Textrémité du rayon OB, BF est une tangente, et l'angle ABF a pour mesure la moitié de 1 arc AKB^; d'ailleurs Tan- * i9,a. gle AMB, comme angle inscrit, a aussi pour mesure )a moitié de lare AKB, donc langle AMB= ABF=:r EBD = C; donc tous les angles inscrits dans le segment AMB sont égaux à l'angle donné G.

Scholie. Si Tangle donné était droit , le segment cher^ ché serait le demi«cercle décrit sur le diamètre AB.

PROBLÂMB XYII.

Trouver le rapport numérique de deux lignes %• 90droites données AB , CD , si toutefois ces deux lignes ont ent^v elles une mesure commune.

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB autant de fois qu'elle peut y être contenue^ par exemple, (leux fois, ayec le reste BE.

Portez le reste BE sur la ligne CD , autant de fois qu'il peut y être contenu , une fois, par exemple, avec le reste DF.

Portez le second reste DF sur le premi^ BE, au^ tant de fois qu'il peut y être contenu, une foi«, par exemple, avec le reste BG.

Portez le troisième reste BG sur le second DF, autant de foi» qu'il peut y être contenu.

Continuez ainsi jusqu'à ce que tous ayez un reste qui soit contenu un nombre de fois juste dans le précédent.

Alors €0 dernier reste sera la commune mesiure des lignes proposées, et, -en le regardant comme l'unité, onu-ouTera aisément les valeurs des restes précédents et enfin ceUes des*deux lignes proposées, d*oji Ton » ooncluia leur rapport en nombres.

56 GBOMiT&IB.

Par exemple, si Ton tronre que 6B est eontenu deuK fuis jastfe dans FD^ BG sen la commune itaesui^ des deux lighes proposé!». Soit BG !tft r , iMi âtira FD â±i{ mais SB contient une foîA FD plus GB; dt>tic SBfc&3; GD èontient une fois EB plus PD; dône GD:±3 5| enâh AB contient deut fois CD pitis BB; donc ABssi3$ donc lé rapport des deux li^es AB, CD, est celui de i3 à 6. Si la ligne CD était prise pour unité, la ligne AB serait ^^ et si la ligne AB était prise pour unité, la ligne CD serait-^,-.

SchâUe. La méthode quon Tient dexpliquet* est la même que prescrit raritkmétiquepourtrouYerleeotnm un diviseur de deux nombres ; ainsi elle n a pas besoin d une autre démonstration.

Il est possible ^e, quelque loin qu*on condnue Topé^tion, on ne trouve jamais uki resté qtd soit contenu un nombre de fois juste «Uns la précédent Alors les deux lignes n ont point de eommunë ineMure, et ëoat œ qu'on appelle ûufomnunsuraUâi ^ oti ea verra ci-après un exemple dans le rapport de là <fiagonàle au eàté du quarré» On ne peut donc alors trouver le rapport ^utct en nombres : mais en négligeant le dernier reste, on trouvera un rapport plus ou moins approché, selon que 1 opération aura été poussée plus ou mmis loin%

PROBlAmB XVIII.

<>s* 91 • Deux angles A e/ B éiant donnés ^ trouî^r leur commune mesure^ s'ils en uni une ^ et de là klw rappoti en nombreê.

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD, BP, qui servent de mesure à ces angles; procédei ensuite pour la compamison des arcs CD , SF, comme dans le problème précédent; car un arc peut être porté sur « un âro de raAme rayon, comme «ne Ugn6 droite sur une ligne droite. Voua parviendraa idnsî à la imn*

LITAB II. S9

musie mesure des arcs CD, EF, s'ils en ont une, et à leur rapport en noinbres. Ge rapport éera le même que celui des angles donnés*; et si DO est la commune ^17. amesure des arcs , DAO sera celle des angles.

Sckolié. On p«ut âlAii tntut^t la tâleur absolue d'un angle en comparant Tare qui lui sert de mesure à toute la circonférence : par etërliple, si l'arc CD est à la circonférence comme 3 est à a5, l'angle A sera les ~ de quatre angles droits, ou ^ d'un angle droit.

n pourra arriver aussi que les arcs comparés n'aient paa da commuike mesure; alors on naura pour les angles que dea rapports en nombreé plus eu moina approchés , Aelon que l'opération aura été poussée plua ou moins loin.