IV. La hauteur d'un parallélogramme est la per

LÏVRS III. 6l

pendiculaire EF qni mesure la distance des deux câtés fig. ^3. opposés AB,GD, pris pour bases.

V. La hauteur d un triangle est la perpendiculaire AD abaissée du sommet d'un angle A sur le côté op- %P- 9^ posé BC pris pour base. fig. 95.

Vf. La hauteur du trapèze est la perpendiculaire EF menée entre ses deux côtés parallèles AB, CD.

Vil. L'aire ou la surface d'une figure sont des termes à-peu-près synonymes. L aire désigne plus particulièrement la quantité superficielle de la figure en tant qu'elle est mesurée ou comparée à dautres sur. faces.

N. B. Pour rintelligence de ce livre et des suivants, il Ibiit avoir présente la théorie des proportions, pour laquelle nous renvoyons aux traités ordinaires d^arithmétique et d'algèbre. Nous ferons seulement une observation, qui est très -importante pour fixer le vrai sens des propositions, et dissiper toute obscurité , soit dans Ténoncé , soit dans les démonstrations.

Si on a la proportion A:B::C:D, on sait que le produit des extrêmes A Xl> est égal au produit des moyens BxC.

Cette vérité est incontestable pour les nombres; elle lest aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu*elles s*ex. priment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c'est ce qu'on peut toujoiurs supposer : par exemple , si A, B , C , D , sont des lignes , on peut imaginer qu'une de ces quatre lignes, ou une cinquième , si l'on veut , serve a toutes de commune mesure et soit prise pour unité ; alors A, B, C , D, représentent chacune un certain nombre d'unités, entier ou rompu, commensurable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes A , B , C , D , devient une proportion de nombres.

Le produit des lignea A et D, qu'on appelle aussi leur rectangle , n'est donc antre chose que le nombre d'unité^ linéaires contenues dans A , multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que ce produit peut et doit être égal à celui qui résulte semblablement des lignes B et C.

6a GBOMBTIIB.

Les grandean A et B peuvent être dNme eepèoe, par exemple , des lignes , et les grandeurs C et D d'une antre espèce , par exemple , des furfaces ; alors Q ^ut tonjoufs regarder ces grandeurs comme des nombres s A et B $*exprimeront en unités linéaires , C et D en unités superficielles, et le produit A X I> sera un nombre comme le produit B X C.

En général , dans toutes les opérations qu'on fera sur les proportions , il faut toujours regarder les termes de ces proportions comme autant de nombres, cbacon de Tespèce qui lui convient , et on n*anra aucune peine à ooncevotr ces opéwatioaa et lea oonsaqueBcea qui en vésnl|ent. . Noua deTçma avertir aussi que plumnrs de nos dovoiiatrations sont fondées sur quelques-unes des règles les plus simples de l'algèbre , lesquelles s'appuient elles-mf mes sur les axiomes connus : ainsi si l'on ^ A ;=: 9 +G, et qu'on muL' tiplie chaque membre par une même quantité m, gu en ConclutAXM=BXM+CxMi pareillement si Von aA= B + C et {)::;::£ — C, et qu*on iJQUte les quantités égales, ep effaçant 4- Cet — C qui se détruisent, o^ en coucloia A+l>=B+fI, et ainsi des autres. Tout cela es^ asaes évident par soi-même; mais, en cas de dilgcultç» il ^lem bon de consulter les livres d'algèbre, et d*entre-mèler ainsi rétude des deux sciences.

PROPOSITION PREMIÈRE

trkorAmb.

Les parallélogrammes qui ont des hases égales et des lumteifrs égales, ^QiH équlmhri(s. fig. 96. ^it A.3 la base commune des deu^ p^rallélçigr^mi* mes ABGD, ABEF , puisqu'ils sont supposés aToîr la même hauteur , les bases supérieures DC, FE, seront situées sur une même ligne parallèle à AB. Or on a par la nature des parallélogrammes AD 2=60 , et AF = B£; par la même raison on a DG= AB, et PE = AB; donc DG = FE ; donc, retranchant EKl et FE de la même ligne DE, les restes CE et DF seront égaux.

&ITBI III. 63

Il Sttil de là que let trianj^ies DAF, CBE, aoBt équilatëvaux entre eux , et par oonflëquent égaux.

Maîf Al du quadrilatère ABED on retranche le tri* cg. 96. 4ngl« AUF, îl reste le paraUélogramme AB£F; et m. du m^rne quadrilatère ABED on retranche le triangle QBE , il reste le pai-allélogramme A6CD ; donc l^jp deux parallélogrammes ABCD, ÂBEF, qui ont même b«se et même hauteur, aoat équivalents.

CoroIUUm. Tout parallélogramme AfiCD est équi^ VAleul au rectangle ABEF de même base et da même H- 97h«u|«ur.

PROPOSITION II

THBQBÂ|I|!.

Tout triangle ABC ^st l(i moitié du parallélo- «g- 98. gramme ABCID qui a même hase et même hauteur.

Car les triangles ABC, ACD, sqnt égaux *. * •«. 1.

Corollaire I. Donc un triangle AI^G est la moitié du l^ctaqgle BC£F qui a même base BC et même hau^ teur AO; car le rectangle BCËF est équivalent au pa« rallélogramme ABCD.

Corollaire IL Tous les triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales, sont équivalents.

PROPOSITION III

THliORiMB.

Deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

Soient ABCD, AEFD , deux rectangles qui ont pour fig. 99. hauteur commune AD; je dis qu'ils sont entre eux comme leurs bases AB, AE.

Supposons d'abord que les bases AB, AE, soient

64 GXOMVTAIB.

commensurables entre elles, et qu'elles soient, par exemple, comme les nombres 7 et 4 ^ ^ on divise Afi en 7 parties égales, AE contiendra 4 ^^ <^^ V^^^ lies , élevez à chaque point de division une perpendiculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectang les partiels, qui seront égaux entre eux, puisquils auront même base et même hauteur. Le rectangle AfiCD contiendra sept rectangles partiels, tandis que AEFD en contiendra quatre; donc le rectangle ABCD est au rectangle AEFD comme 7 est i 4 9 ou comme AB est à AË. Le même raisonnement peut être appli* que à tout autre rapport que celui de 7 à 4; donc, quel que soit ce rapport, pourvu qu'il soit commensurable, on aura,