ABCD:AEFD::AB:AO

Divisez la ligne AB en parties égales plus petites que EO, il y aura au moins un point de division I entre E et O : par ce point élevez sur AI la perpendiculaij*e IK ,les bases AB, AI, seront commensurables entre elles, et ainsi on aura , par ce qui vient d'être démontré,

ABCD:AIKD::AB:AL Mais on a, par hypothèse ,

ABGD:AEFD::AB:AO.

Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux; donc les conséquents sont proportionnels, et il en résulte,

A1KD:AEFD::AI;A0.

LXVRB III, 6S

Mais âO est plus grand que AI; donc, pour que c^tfe proportion subsistât, il faudrait que le rectangle A£FD fût plus grand que AIKD; or, au contraire, il est plus petit; donc la proportion est impossible; donc ABCD ne peut être à AEï'D comme AB est à une ligne plus grande que A£.

Par un raisonnement entièrement semblable, on prouyerait que le quatrième ternie <ie la proportion ne peut être plus petit que A£; donc il est égal > à AE.

Donc, quel que soit le rapport des bases, deux rectangles de même hauteur ABCD, A£FD, sont entre eux comme leurs bases AB , AE.

PROPOSITION IV

THÉOEEME.

Deux rectangles quelconques ABCD, AEGF, fig. loi. sont entre eux comme les produits des bases multipliées par les hauteurs y de sorte qu'on a ABCD:AEGF::ABxAD:AExAr.

Ayant disposé les deux rectangles de manière que les angles en A soient opposés au sommet, prolongez les côtés 6£, CD, jusqu'à leur rencontre en H; le^ deux rectangles ABCD, AEHD, ont môme hauteur AD; ils sont donc entre eux comme leurs bases AB, A£ : de même les deux rectangles AEHD, AEGF, ont même hauteur AE, ils. sont donc entre eux comme» leurs bases AD, AF ainsi on aura les deux proportions,