ABCD:AEHD::AB:AE

AEHD:AEGF::AD:AF.

Multipliant ces proportions par ordre ^ et observant que le moyen terme AEHD peut être omis

66 ciouitKtn.

comme multiplicateur commun à l'autëcëdent et au conséquent, on aura,

ABCDiAÈGF :: AB X AD: AE X AF.

Scholie. Donc on peut prendre pour mesure d'un rectangle le produit de sa base par sa hauteur, pourvu qu'on entende par ce produit celui de deux nombres, qui sont le nombre d unités linéaii^s contenues dans la base , et le nombre d unités linéfiires contenues dans la hauteur.

Cette mesure, d ailleurs, n'est pas absolue, mais seulement relative; elle suppose qu'on éralue sem» blablement un autre rectangle en mesurant ses côtés par la même unité linéaire ; on obtient ainsi un second produit , et le rapport des deux produits est égal à celui des recungles, conformément à la proposition qu'on vient de démontrer.

Par exemple, si la base du rectangle A est de trois unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté par le nombre 3 X xo, ou So, nombre qui ainsi isolé ne signifie rien; mais si on a un second rectangle B dont la base soit de douze unités et la hauteur de sept, le second rectangle sera représenté par le nombre 7 X I a, ou 84 : de -là on conclura que les deux rectangles A et B sont entre eux comme 3o est à 84; donC; si on convenait de prendre le rectangle A pour l'unité de mesure dans les surfaces, le rectangle B aurait alors pour mesure absolue '|, c'est-à-dire qu'il serait égal à -J^ dVnités superficielles.

Il est plu^ ordinaire et plus simple de prendre le quarré pour lunité de surface, et on choisit le quarré dont le côté est lunité de longueur; alors la mesure que nous avons regardée simplement comme relative - devient absolue : par exemple le nombre 3o, par Ie« quel nous avons mesuré le rectangle A, représente 3o fif. xofl. unités superficielles , ou 3o de ces quarrés dont le côté est égal à lunité : c'est ce que la fig. loa rend sensible»

tiyBB III. 69

On confond Assez souvent en géoméurie le produit de deux lignes avec leur rectangle^ et cette expression a même passé en arithmétique pour désigner le produit de deux nombres inégaux , comfpe on emploie celle de quarré^oxxx exprimer le prod^ftd^un npiribre multiplié par lui-même.

Les (juarrés des nombres i , 2 , 3 , etc. , sont 1 9 4) 9, etc. Aussi voit- on que Je quarré fait sur ime ligne double est quadruple; sur une ligne triple , il est neuf fif« i^\ fi>is phii grand, et ainsi de suite.

PROPOSITION V

thboeAxe.

Vaire d'un parallélogramme quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car le parallélogramme ABGD est équivalent au fig. 97. rectangle AfiEF , qui a même base AB et même hauteur BE*; or celui-ci a pour mesure ABxBE**, *i. **44 donc AfixBE est égal à l'aire du parallélogramme ABGD.

Corollaire. Les parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases; car A, B, G, étant trois grandeurs quelconques, on a généralement AxC:BxG::A:B.

PROPOSITION VL

Vaire dun triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa fumeur.

Car le triangla ABG esi la moitié du parallélo- fi8«zo4« grammu AfiGE» qi4 a même basa BC et mémç hauteur AD^ ; or , la surface du parailélogrammo * '!

68 6£oMlitAtB.

♦5. r= BC X AD*; donc celle du triangle=^BC X AD, ou BC X vAD,

Corollaire. Deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION VII

THBOaâMB.

fSg. io5. Vaire du trapèze ABCD est égale à sa hauteur £F, multipliée par la demi -somme des bases parallèles y AB, CD.

Par le point I, milieu du côté CB, menez KL parallèle au côté opposé AD, et prolongez DC jusqu'à la rencontre de KL.

Dans les triangles IBL, IGK, on a le côté IB=IC

par construction , langle LIB = CIK , et Tangle

*ft4.f. IBL=ICK, puisque CK et BL sont parallèles^;

*fj^ji, donc ces triangles sent égaux*; donc le trapèze

ABCD est équivalent au parallélogramme ADKL^ et

il a pour mesure £F x AL.

Mais on a AL=i:DK, et puisque le triangle IBL est égal au triangle KCI, le côté BL = CK; donc AB-f-CD=:AL + DK = 2AL, et ainsi AL est la demi -somme des bases AB, CD; donc enfin Taiie du trapèze ABCD est égale à la hauteur £F multipliée par la demi -somme des bases AB, CD, ce qui

s'exprime ainsi : ABCD=EF x (^^~^).

Scholie. Si par le point I, milieu de BC, on mène IH, parallèle à la base AB, le point H sera aussi le milieu de AD, car la figure AHIL est un parallélogramme, ainsi que DHIK, puisque les côtés opposés sont parallèles : on a donc AH=:IL et DH= IK; or, IL==1K., puisque les triangles BIL, GlKi «ont égaux,* donc AHc=:DH,

LivAS nu 6g

On peut remarquer que la ligne HIjcrAL=s

; donc Taire du trapèze peut s exprimer aussi

par £F X HI : elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles.

PROPOSITION Vin.

TnBOAÂMS.

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB, fi«- »«^ BC , le quarréfait sur la ligne entière AC con^ tiendra le quarréfait sur une partie AB , plus le . quarré fait sur Vautre partie BC , plus deux fois le rectangle compris sous les deux parties AB,

BC, ce qu^on exprime ainsi^ AC o«.(AB+BC)

r=ÂBV BC + a AB X BC.

Construisez le quarré AGDE, prenez AFrnAB, mené? FG parallèle à AC , et BH parallèle à AE.

Le quarré ABCD est divisé en quatre parties : la première ABIF est le quarré fait sur AB, puisqu'on a pris AF=AB: la seconde IGDH est le quarré fait sur BC; car puisqu'on a AC = AE, et AB=AF, la différence AC — AB est égale à la différence AE — AF, ce qui donne BC=zEF; mais à cause des* parai* lèles IG=:BC, et DG=EF, donc HIGD est égal au quarré fait sur BG. Ces deux parties étant retranchées du quarré total, il reste les deux rectangles BCGI , EFIH , qui ont chacun pour mesure AB X BG ^ donc le quarré fkit sur AG, etc.

Scholie. Cette proposition revient à celle quon démontre en algèbre pour la formation du quarré dVn binôme, et qui est ainsi exprimée:

PROPOSITION IX

THÉOEBME.

h- xo7« Si la ligne AC est la différence des deux lignée AB , BC , le quarré fait sut AG contiendra le quart é dekR^plus le quatre de BC , moins deux fois le rectangle fait sur AB ^^ BC ; c'est-à-tUre

qu'on aura ÂC* ou (AB — BC) = ÂB V BC' — aABxBC.

Construiftex le quarré ABIF , prenea AE=AC, lùenez CG parallèle à BI , HK parallèle à AB, et ach^ ve£ le quarré O'LK.

Les deux rectangles CBIG, GLKD , ont chacun pour mesure AB X BC : si on les retranche de la fig^ure en-

tièreABILKEA, qui a pour valeur AB + BC, il est clair quil restera le quarré ACDE, donc, etc«

Scholie, Cette proposition reTÎéflt à la formule d algèbre (a— A)' = a"-hft'— loi*

PBOPOSITION X.

TttBOaÂflB.

fig. io8. Le rectangle fait sur la somme et la différence de deux lignes ^ est égal à la différence des quarrés de ces lignes: ainsi on a (AB+BC) x

(AB--BC)=AB— Bc'.

Construisez sur AB et AG les .quArfiSs ABIF, ACDE; prolonges AB d'une quantité BK=s:fiG, et achevez le rectangle AKLE.

La base AK du rectangle est la Aotnme Até deak lignes AB , BC , sa hauteur AE est la dilléretice de ces mêmes lignes ; donc le rectangle AKLE=3 (AB-f-BC) X (AB— BC). Mais ce même rectangle e^t composé des deux parties ABH£ + BHLK ; et

la partid BHLR est égnie au rectangle ED6F, car BH=£sDE et BK=EFî donc AKLEtn^ABHE+EDGF.

Or, ces deux parties forment le quarré ABIF moins le quarré DHIQ, qui est le quarré fait sur BG; donc

enfin (AB+BC) X (AB^BC)=AB— Bc'

Schotie. Cette proposition revient à la formule dalgèbre {a+b) (a — b)z=ia* — i'.

PROPOSITION XI

THSOAâMB.

Lé quarré fait sur Vhypoténuse d*un triangle rectangle est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés.

• Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant forme H- ^^ des quarrés sur les trois côtés, abaisseï de Tangle droit sur Thypoténuse la perpendiculaire AD que TOUS prolongerez jusqu'en £ ; tirez ensuite les diagonales AF, GH.

L*angle ABF est composé de l'angle ABC plus l'angle droit CBF : l'angle CBH est composé du même angle ABC plus Fangle droit ABHf donc Tangle ABF sHBC Mais AB=BH comme côtés dun même quarré, et BF=::BC par la même raison ; donc les triangles ABF , HBC, ont un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils soivt égaux*. * ^, u

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BD£F , (ou pour abréger BE) qui a même base BF et iiumuo hauteiu' BD *. Le triangle HBC est pareillement la * F- «< moitié du quarré AHj car Tangle BAC étant droit ainsi que BAL , AC et AL ne font qu'une même ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBC et le quarré AH, qui ont la base commune BK, ont aiissî la hauteur commune AB ; donc le triangle e^t la moitié du quari-é.

y2 «BOMBTEIB.

On a déjà prouvé que le triangle ABF est égal aa triangle HBC; donc le rectangle BDEF, double du tiîangle ABF , est équivalent au quarré AH , double du triangle IIBC. On démontrera de même que le reo tangle CDËG est équivalent au quarré AI ; mais les deux rectangles BD£F, G3EG, pris ensemble, font le quarré BCGF; donc le quarré BGGF, fait sur Thypoténuse , est égal à la somme des quarrés ABHL , AiCIK , faits sur les deux autres côtés; ou, en d'autres termess