BC=AB+AC

Corollaire I. Donc le quarré dun des cAtés de l'angle droit est égal au quarré de l'hypoténuse moins le quarré de l'autre côté, ce qu'on exprime ainsi:

ÂB=BC— ÂC.

**•"•' Corollaire H. Soit ABCD un quarré, AC sa diagonale ; le triangle ABC étant rectangle et iaoscèle ,

on auia AC = AB+BC=2AB ; donc le quarré JaU sur la diagonale AC est double du quarré faà sur le cote AB.

On peut rendre sensible cette propriété en menant par les points A et C des parallèles à BD, et par les points B et D des parallèles à AC : on formera ainsi un nouveau quarré EFGH qui sera le quarré de AC. Or, on voit que FiFGH contient huit triangles égaux à ABE, et que ABCD en contient quatre; donc le quarré EFGH est double de ABCD.

Puisque AC : AB : : 2 : i , on a , en extrayant la racine quarrée , AC : AB : : V^2 : i ; donc la diagonale d*un quarré est incommensurable avec son côté.

C'est ce qu'on développera davantage dans une autre

occasion.

fig. 109. Corollaire III. On a démontré que le quarré AH

est équivalent au rectangle BDEF ; or , à cause de la

hauteur commune BF, le quarré BCGF est au reç»

LIVAB m. ^3

(angle BDEF comme la base BC est à la base BD ; donc ,

BC\- Xb': : BC : BD.

Donc le quarré de rhjrpoténuse est au quarré d^un des côtés de V angle droit comme rhjpoténuse est au segment adjacent a ce coté. On appelle ici segment la partie de l'hypoténuse déterminée par la perpendiculaire abaissée de l'angle droit; ainsi BD est le segment adjacent au côté AB, et DG est le segment adjacent au côté ÂG. On aurait semblablement,

BC': ÂC':: BC : CD, Corollaire IV. Les rectangles BDEF, DCGE, ayant aussi la même hauteur, sont entre eux comme leurs bases BD, CD. Or, ces rectangles sont équivalents aux

quarrés AB , ÂG ; donc ,

Âb'; AC':: BD : DC.

Donc les quarrés des deux cotés de Vangle droit ^ont entre eux comme les segments de Phjrpoténuse adja^ cents a ces côtés.

PROPOSITION XIL

TH^OHÂMB.

Dcms un triangle ABC, si Vangle G est aigu y ^„^ ^^y, le quarré du côté opposé sera plus petit que la somme des quarrés des côtés qui comprennent Vangle G ; et si Von abaisse AD perpendiculaire sur BC , la différence sera égale au double du rectartgk BC x CD ; de sorte qu'on aura ,

AB=ÂG+ BC— a BC x CD.

Il y a deux cas. i® Si la perpendiculaire tombe audedans du triangle ABC , on aura BD=BC — CD,

^t par conséquent * BD'= BG + CD — 51 BC X CD. ♦ 9.

^4 CiôM^fAtS.

Ajoutant de part et d'autre AD, et observant que

les trîangles rectangles ABD, ADC, donnent AD-f-

JBD=AB et ÂD+DC=ÂG, on aura ÂB=BgV

AC — aBCxCD.

a^ Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle *9- ABC , on aura BDiiiCD— BC, et par conséquent*

BdWoD + BC'— aCDxBC. Ajoutant de part et

d'autre AD, on en conclura de méraei

AB*=£ BC +ÂG — a BC X Ca).

PEOPOSITION XIIL

THBORBIIB.

«S. m. Bans un triangle ABC, si V angle C est obtus ^ le quatre du côté opposé AB sera plus grand que la somme des quarrés des côtés qui comprennent V angle C , et si on abaisse AD perpendiculaire sur BC, la différence sera égale au double du rêCtàngleBC x CD, de sorte qu^onaura,

ÂB=ÂcVbG V aBC X CD.

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans

du triangle; car si elle tombait, par exemple, en E,

le triangle ACE aurait à la fois langle droit E et

*29.t. Tangle obtus C, ce qui est impossible*; donc elle

tombe au dehors, et on a BD=BC+CD. De là

* «• résulte * BD = BC + CdV a BCxCD, Ajoutant de

part et d'autre AD et faisant les réductions comme

dans le théorème précédent , on en conclura AB

= BG + AC + aBCxCD.

SchoUe, Le triangle rectangle est le seul dans lequel la somme des quarrés de deux côtés soit égaie

LIVAB IIL 7$

au quatre du troisième j car si Tangle compris par ces côtés est aigu y la somme de leurs quarrës sera plus grande que le quarré du oàtë opposé; s il est obtus, elle sera moindre.

PROPOSITION XIV

THEOREME.

JJans un tritmgle quelconque ABC, si on mène fig*»»»- €lu sommet eu milied de ta base la ligne AEjje

dis qu'on aura AB-f-AC=2 AE + aBE.

Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BC, le triangle AEC donnera par le théorème xii,

ÂC =ÂÊVÊC— 2 EC X ED.

Le triangle ABE dontjera par le théorème xui ,

ÂB= AÊ + ÊB V a EB X ED.

Donc, en ajoutant et observant que EBrrrEC, on aufa,

AB VÂC = a ÂE -h a EB.'

Corollaire, Donc , dans tout parallélogramme^ la somme des quarres des côtés est égale h la somme des quarrés des diagonales.

Car les diagonales AC, BD, se coupent mutuelle- fig.nS. ment en deux parties égales au point E^; ainsi le *3x»n triangle ABC donne ,

ÂB V BC'= a AÊ + a BÊ.' Le triangle ADC donne pareillement,

AD + DC = 2 AÊ V 2 de!

Ajoutant membre à membre, en observant que BE= DE, on aura,

ABVÂbVDcVBG=4ÂÊV4DË!

Mais 4 AK est le quarré de a AE ou de AC; 4 DE est le quarré de BD;. donc la somme des quarrés des côtés est égale à la somme des quarrés des diagonales.

y6 GBOMBTUKC.

ROPOSITION XV.

THBOaÂME.

iig. X14. ^ût ligne DE, menée parallèlement à la base (Tun triangle ABC , divise les côtés AB , AC, proportionnellement; de sorte qu'on a AD : DB : : AE : EC.

Joignez BE et DG; les deux triangles BDE, DEC, ont même base DE ; ils ont aussi même hauteur, puisque les sommets B et C sont situés sur une parai- * 2 lèle à la base; donc ces triangles sont équivalents*.

Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commun est E , ont même hauteur et sont entre eux comme *6, leurs bases AD, DB*; ainsi on a,