ADE : DEC : : AE : EC

Mais le triangle BDE = DEC; donc, à cause du rapport commun dans ces deux proportions, on en conclura AD : DB : : AE : EC.

Corollaire I. De là résulte componendo AD + DB: AD : : AK+EG : AE, ou AB : AD : : AC : AE, et aussi AB : BD : : AC : CE.

Ég. ii5. Corollaire IL Si entre deux droites AB, CD, on mène tant de parallèles qu^on voudra AC, EF, GH, BD, etc., ces droites seront coupées proportionnelle» ment^ et on aura AE : CF : : EG : FH :: GB : HD.

Car soit O le point de concours des droites AB, CD; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée parallèlement à la base EF, on aura OE : AE : : OF : CF , ou OE : OF : : AE : CF. Dans le triangle OGH, on aura semblablement OE : EG : : OF : FH, ou Olv: OF • ; ; EG ; F II } donc, à cause du rapport commun ;

LtVHB iiî. yy

0E:OF, ces deux proportions donnent AE:CF:: EG :FH, On démontrera de la même manière que EG : FH ::GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB^ CD^ sont coupées proportionnellement par les parallèles EF, GH, etc.

PROPOSITION XVI

THBOEBXB.

Réciproquement si les côtés AB , AC , sont cou* fig. nô. pés proportionnellement par la ligne DE,' en sorte quon ait AD : DB : : AE : EG , Je dis que la ligne DE seraparailèle à la base BC.

Car si DE n est pas parallèle à BC, supposons que DO en 0oit une;alors^ suivant le théorème précédent, on aura AD:BD::AO:OC. Mais, par hypothèse, AD:DB::AE:EC; donc on aurait AO:OC:: AE:EC; proportion impossible, puisque dune part lantécédent AE est plus grand que AO , et que de Tautre le conséquent EC est plus petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D ne peut différer de DE ; donc DE est cette parallèle.

Schoiie. La même conclusion aurait lieu si on supposait la proportion AB:AD::AC:AE. Car cette proportion donnerait AB — AD:AD::AC — ^AË:AE, ou BD:AD::CE:AE.

PROPOSITION XVII

^ TBiOBÂlIB.

La ligne AD , qui divise en deux parties égales Sg. 117. Vangle BAC d*un triangle^ divisera la base BC , en deux segments BD , DC, proportionnels aux côtés adjacents AB, AC; de sorte qu'on aura BD:DC::AB:AC.

^8 GISOMBTaie.

Par le point C menei CE parallèle à AD jusqu'à It rencontre de BA prolongé.

Dans le triangle BCE, la ligne AD est parallèle à la *i^* base CE; ainsi ou a {a proportion *, BD:DC::AB:AE.

Mais le triangle ACE est isoscète; car. à cause des parallèles AD, CE, l'angle ACE=DAC, et Tangle ^24,1. AEÇ=B4D * : or, par hypothèse, DAC=BAD; j3, ,. donc langle ACE=:AEC, et par suite AE=AC*; substituant donc AC à la pl^ce de A]S daifs la proportion précédente, on Aura^