BD:DG::AB:AC
PROPOSITION XVIII
v'hiIoeAkp*
Deux triangles équiangles ont les côtés homologues proportionnels et sont semblables.
0g. XI9» Soient ABC^ CDE, deux triangles cpii ont les an« gles égaux chacun à chacun, savoir BAC=CDE, ABC=:DCE, et ACB=DEC;je dis cjue les côtés homologues ou adjacents aux angles égaux, seront proportionnels, de sorte qu'on aura BG:CE::AB: CD::AG:DE.
Placez les côtés homologues BC, CE, dans la même direction, et prolongez les côtés BA, ED , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en F.
Puisque BGE est une ligne droite, et que Tangle f»4,x. BCA=CED, il s'ensidt que AG est parallèle à DE \ Pareillement, puisque l'angle ABC=DC£, la ligne AB est parallèle à DC \ dono la figure ACDF est un parallélogramme.
^5. Dans le triangle BFE la ligne AC est parallèle à la
base FE, ainsi on a BC:CE;:BA:AF*. A la place de AF mettant son égale CD, on aura, BG;GE::BA;GD,
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Dans le même triangle BFE, si on regarde BF comme la base, CD est une parallèle à cette base, et on a la proportion BG:CË;:FD:D£, A la place de FD mettant son égale AG, on aura, BC:CE::AC;DE.
Enfin de ces deux proportions qui contijenneni le méma rapport, BG:GE, on peut conclure aussi, AC:DE;:BA:CD-
Done les triangles ëquiangles BAC , GD£ , ont les côtés homologues proportionnels : mais, suÎFant la définition II, deux figures sont semblables, loisque elles ont i la fois les angles égaux chacun à chacun» et les côtés homologues proportionnels; donc les triangles ëquiaagles BAC, GDE, sont deux figures Mmblables.
Corollaire. Pour que deux triangles soient semblables, il suffit quib aient deuit angles égaux chacun k chacun^ car alors le troisième sera égal de part et d'autre, et les deux triangles seront équiangles.
Sekolie, Remarquez que, dans les triangles sem. . blables, les côtés honu>logues sont opposés à des angles égaux; ainsi langle AGB étant égal à DEG , le côté AB est homologue.à DG ; de même AG et DE sont homologues comme étant opposés aux angles égaux ABC, DGË : les côtés homologues étant reconnus, on forme aussitôt les proportions :
