AB:DG::AG:D£::BG:GE

PROPOSITION XIX

THBOaâME*

Deux triangles qui ont les côtés homologues proportionnels y sont équiangles et semblables.

Supposons quon ait BG:ËF: : AB:DE::AG:DF, fif.issi je dis que les triangles ABC, DEF, auront les angles égaux, faroir, A=0, B=E, G=^F.

8o GliOMliTRlS.

Faites au point E Tangle FE6=rB et au point F langle EFG=C, le troisième G sera égal au troisième A , et les deux triangles ABC , EFG , seront ëquiangles ; donc on aura par le théorème précédent BC:EF::AB:EG : mais, par hypothèse, BC:EF:: AB:DE$ donc £6= DE. On aura encore, par le même théorème, BG:EF::AC:FG; or on a, par hypotlièse, BG :EF::AC : DF, donc FG=DF{ donc les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux *ii, 1- chacun à chacun; donc ils sont égaux \ Mais, par construction , le triangle EGF est équiangle au triangle ABC ; donc aussi les triangles DEF , ABC , sont équiangles et semblables*

Scholie I. On Yoit par ces deux dénieras propositions, que dans les triangles, légalité des angles est une suite de la proportionnalité des côtés, et réciproquement, de sorte qu'une de ces conditions suffit pour assurer la similitude des triantes. Il n*en est pas de même dans les figures de plus de trois côtés; car, dès qu'il s'agit seulement des quadrilatères, on peut, sans changer les' angles, altérer la proportion des côtés, ou, sans altérer les côtés, changer les angles; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être une suite de légalité des angles, ni fig. Ht. ^ice 'versd. On voit, par exemple, qu'en menant EF parallèle à BC, les angles du quadrilatère AEFD sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la proportion des côtés est différente : de même , sans changer les quatre côtés AB, BC, CD, AD, on peut rapprocher ou éloignçr le point B du point D ^ ce qui altérera les angles.

Scholie II. lies deux propositions précédentes qui n'en font proprement qu'une, jointes à celle du quarré de Thypoténuse, sont les propositions les plus importantes et les plus fécondes de la géométrie; elles suffisent pr^ue seules à toutes les applications

LITRB III. 8l

et à la résolution de tous les problèmes : la raison en est que toutes les fig^ures peuvent se partager en triangles, et un triangle quelconque en deux triangles rectangles. Ainsi les propriétés générales des triangles renferment implicitement celles de toutes les figures.

PROPOSITION XX

THÉORBMS.

Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont semblables.

Soit l'angle A =: D, et supposons qu'on a AB: Cg. u,. DE : : AG : DF ; je dis que le triangle ABC est sem* blable à DEF.

Prenez AG = DE et menez GH parallèle à BG ïangle AGH sera égal à Tangle ABG^; et le triangle •%^.i, AGU sera équiangle au triangle ABG ; on aura donc AB:AG:: AG:AH: mais, par hypothèse , AB:DE:: AG : DF , et par construction AG =^ DE ; donc AH = DF, Les deux triangles AGH , DEF , ont donc un angle égal compris entre côtés égaux; donc ils sont égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABG ; donc DEF est aussi semblable à ABG.

PROPOSITION XXI

THBORâME*

Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles y ou qui les ont perpendiculaires chacun à chacun y sont semblables.

Gar, i"" si le côté AB est parallèle à DE , et BG à t^^, ii3. EF , Ïangle ABG sera égal à DEF* ; si de plus AG est ••7,1. parallèle à DF , Tangle AGB sera égal à DFE , et aussi

89 GBOMÉVAIB.

BAC à EDF : donc ie$ triangles ABC, D£F, foni

éqiiiangl«fl ; donc ils sont semblables.

fig.a4. ^'* Soit le G6té DE perpendiculaire à AB> el le côté DF à AG ; dans le quadrilatère AIDH les de«x angles l et H seront droiu ; les quatre angles valeal

*ao, I. ensemlile quatre angles droits *; donc les deux restants lAU, IDH, valent deux augles droits. Alab les deux angles EDF, IDH, valent aussi deux angles droits ; donc l'angle EDF est égal à lAH ou BAC: pareillement si le troisième coté EF est perpendiculaire au troisième BC, on démontrera que I^angle DFE=C, et DEF=B ; donc les deux triangles ABC, DEF, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont équiangles et semblables.

Scliolie. Dans le cas des côtés parallèles , les côtés homologues sont les côtés parallèles, et, dans celui des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpendiculaires. Ainsi, dans ce dernier cas, DE est homologue à AB, DF à AC, et EF à BC.

IjC cas des côtés perpendiculaires pourrait offrir une situation relative des deux triangles , difTérente de celle qui est supposée dans la fig. ia4; mais Téga* lité des angles respectifs se démontrerait toujours , soit par des quadrilatères tels que AIDH, dont deux angles sont droits, soit par la comparaison de deux triangles qui, avec des angles opposés au sommet, auraient chacun un angle droit: dailleurs,on pourrait toujours supposer quon a construit au-dedalls du triangle ABC un triangle DEF, dont les côtés seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC, et alors la démonstration rentrerait dans le caa de la

PROPOSITION XXII

Les lignes AF, AG, etc.^ menées comme on vou^ «g. las. dra par le sommet iT un triangle^ divisent proportùmnellement la hase BC et sa parallèle DE» de mrte qu'on a Dit BF: tIK.:FG: :KL:GU , eUt.

Car, puisse DI «st parallèle à BF, le triangle ADi est «quiangle <l ABF^ et on a la proportioa DI:BF:: A1:AF; de m^e IIC ëuiit parallèle à F6^ on a AI:AF::IK:FG; donc > à cause cUi rapport C0MIIIIUII AI:AF) ùtk aa^a D(iBP::IK:ra. On tfoui* tera semblablemeot IK;*FG:;KL:6H) etc<ç donc ta Kgtie DE eat émêée aux potatt I» K, L, ooaame 1» base BG l'est aux points F, G, H.

CQrollé$ir0. Donc, si pC était divisée en parties égales aux points F, G» H, la p^^llèle DE serait diméa de iii^uie en parties égales au:^ poiots I, K| {#.

PROPOSITION XXIII

théoeâmb.

iide ra^lc droit A. d'un triangle rectangle on sg. lae. abaisse la perpendiculaire AD sur r hypoténuse;

|0 Les deux triangles partiels ABD, ADC, seront semblables entre eux et au triangle tùtnl ABC;

1^ Chaque côté AB oa AQ sera moyen proportionnel entre V hypoténuse BC et le segment adjacent BO ou DC ;

3« La perpendieulaire kH sera moyenne proportionnelle entre les tleusc segments fiD , DC.

Car, I* le triangle BAD et le triangle BAC ont (^angle oommun B ; de plus Tangle droit BDA en égal à Tangle droit BAC ; donc le troisième angle BAD de lun est égal au troiatème C de Tauire \ donc

84 GioMÉTmii.

ces deux triangles sont équiangles et semblables. Ou démontrera de même que le triangle DÂC est semblable au triangle BAC ; donc les trois triangles sont équiangles et semblables entre eux.

Q? Puisque le triangle BÂD est semblable au triangle BAC, leurs côtés homologues sont proportionnels. Or, le côté BD dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand , parce qu'ils sont opposés à des angles égaux, BAD, BCA; Thypoténuse BA du petit est homologue à Thypoténuse BG du grand ; donc on peut former la proportion BD : BA :: BA : BG. On aurait de la même manière DC:AC:: AC:BC; donc, â^ chacun des côtés AB, AG, est moyen propoi^ tionnel entre Thypoténuse et le segment adjacent i ce côté.

3^ Enfin, la similitude des triangles ABD, ADC, donne , en comparant les côtés homologues , BD: AD::AD:DG; donc, 3i^ la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les segments BD, DG de rhypoténuse.

Scholie. La proportion BD:AB::AB:BG donne, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,

ÂB = BDxBG. On a de même Âc'==DGxBG,

donc AbVaC=BDxBG + DGxBG; le second membre est la même chose que (BD+DG) x BG,

et il se réduit à BG X BG ou BG ; donc on a AB

-4-AG = BG; donc le quarré fait sur l'hypoténuse BG est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés AB, AG. Nous retombons ainsi sur la proposition du quarré de Ihypoténu^e par une Toie très-différente de celle que nous avions suivie ; d*où Ion voit qu'à proprement parler , la proposition du quari'é de Fhypoténuse est une suite de . la propor-^ tioniiuHté des côtés dans les triangles équiangles.

LIVBB III. 85

Ainsi les» propositions fondamentales de la géométrie se réduisent, pour ainsi dire, à celle* ci seule, que les triangles équiangles ont leurs côtés homolo^ies proportionnels.

Il arrive souvent, conune on vient d^en voir un •xemple , qu'en tirant des conséquences d'une ou de plusieurs propositions ,^ on retombe sur des propositions déjà démontrées. En général, ce qui caractérise particulièrement les théorèmes de géométrie, et ce qui est une preuve invincible de leur certitude, cest qu'en les combinant ensemble d'une manière quelconque , pourvu qu'on raisonne juste , on tombe toujours sur des résultats exacts. Il n'en serait pas de même si quelque proposition était iausse , ou n était vraie qu*à-peu-près ; il arriverait souvent que , par la combinaison des propositions enti'e elles, Terreur s'accroîtrait et deviendrait sensible. C'est ce dont on voit des exemples dans toutes les démonstrations où ' *nous nous servons de la réduction a Paùsurcle, Ces démonstrations , où l'on a pour but de prouver que deux quantités sont égales, consistent à faire voir que^ s'il y avait entre elles la moindre inégalité , on serait conduit par la suite des raisonnements à une absurdité manifeste et palpable ; d'où l'on est obligé de conclure que ces deux quantités sont égales.

Corollaire. Si d'un point A de la circonférence on fig.ia?. mène les deux cordes AB , AC , aux extrémités du diamètre BC , le triangle BAC sera rectangle en A ^ 9 * i^t 2. donc ^ i^ la perpeiuliculaire AD est moyenne propor* tionnelle entre les deux segments BD, DC, du dia^

mètre f ou, ce qui revient au même, le quarré AD est égal au rectangle BD x DC.

a** La corde AB est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC et le segment adjacent BD > ou , ce

qui revient au même | AB=BD x BC. On a sem-

86' GBOMBTRIB.

bablenieiît AC'— CDxBC; donc JB:ÂC:: BD:DC;

et si un conipar« ÂB à I)C, on aura AB: BC *: BD:BG;

on aurait de même AC:BG:: DC:BC. Ces rappofti des qtiurrës deft edtës , 9oit entre eux , soit aireo k quarré de l*hypotënme, ont ëtë déjà donnés éajM kt eorol. ni et rr de la prop. xx,

PROPOSITION XXIV

THBORSIIB.

Deur triangles qui ont un angh égai $onê

entre eux comme les rectangles des eâtés qui

fig. w«. comprennent fangleégal. Jinsi le triangle ABC

est au triangle ADE comme le rectangle AB x AC

est au rectangle ADxAE.

Tirez BE ; le» deux triangles ABE, ADE, dont îe sommet commun est E, ont même hauteur^ et sont ♦6. entre eux comme leurs ba^es AB, AD* 5 donc, ABE:ADE::AB:AD.

On a de même,