AB:DE::AC:DF
Et si 00 multiplie cette proportioii xenw à terme par k proportion identique,
AC:DF;:AC:DF, il en véiuliera^
ABxAC.DE>tDFî:ÂC:DF.
Donc,
ABC:DEF.:Ac!df' Donc deux triangles semblables ABC , DEF, sont entre ?u^ comme les quarrés des côtés homologues AC) DF, ou comme les quarrés de deux autres côtés homologtM» quelconques.
PROPOSITION XXVL
tnionâMB.
i}eiia: polygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables cha^ cun à chacun et semblablement disposés.
Dans le polygone ABCDE, menez d'un même angle ^s- »«9- A les diagoDates AC, AD aux autres angles. Dans Tautre polygone FGHIK, menez semblablement de Tangle F homologue à A, les diagonales FH, FI aux autres angles.
Puisque les polygones sont semblables, Tangle ABC est égal à son homologue FOH *, et de plus les rôtés *^^^' «• AB, BC , sont proportionnels sux côté» FG, GH ; de sorte quon a AB:FG:: BC:GH. Il suit de là que les Oiangies ABO , FGH , ont un angle égal compris enire oôtis proportionneli; donc Us sont iembla-
88 GBOMBTaiS.
î»<>. bles * ; donc Tangle BCA est égal à GHF. Ces angles égaux étant retranchés des angles égaux BCD, GHI^ les restes ACD, FHI seront égaux : mais puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC: FH::BC:GH; d'ailleurs, à cause delà similitude des •déf. X polygones * , BC : GH :: CD : HI ; donc AC : FH : : CD:HI : mais on a déjà vu que l'angle ACD=FHI; donc les triangles ACD, FHI, ont un angle ^1 compris entre côtés proportionnels, donc ils sont semblables. On continuei-ait de même à démontrer la similitude des triangles suivants , quel que fût le nombre des côtés des polygones proposés ; donc deux polygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.
Scholie, La proposition inverse est également vraie : Si deux polygones sont composés d^un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés ^ ces deux polygones seront semblables.
Car la similitude des triangles respectifs donnera l'angle ABC=FGH, BCA=GHF, ACD=FHI ; donc BCD=GHI, de même CDE=HIK, etc. De plus, on aura AB:FG :: BC:GH :: AC:FH :: CD:HI, etc. ; donc les deux polygones ont les angles égaux et les côtés proportionnels; donc ils sont semblables.
PROPOSITION XXVII
TH^ORBMB.
Les contours ou périmètres des polygones semblahlessont comme les côtés homologues^ et leurs surfaces sont comme les quarrés de ces mentes côtés.
if. 129. Car , i^ puisqu'on a , par la nature des figures semblables, AB: FG :: BC: GH :: CD: HI, etc. , on
LIVRB III. 89
peut conclure de celle suite de rapports égaux : La somme des antécédents AB-4-BC-I-CD, etc., périmètre de la première figure, est à la somme des conséquents F6+GH*f-UI, etc.^ périmètre de la seconde figure , comme un antécédent est à son conséquent ^ ou comme le côté ÂB est à son homologue FG. â° Puisque les triangles ABC, FGH sont sembla-
blés , on a * ABC : FGH :: ÂC : FÏl'; de même les triangles semblables ACD, FHI , donnent AGD : FHI
:: AC : FH ; donc , à cause du rapport commun
ÂC :Th, on a,
ABC: FGH :: ACDiFHI.
Par un raisonnement semblable on trouverait,
ACD:FHI :: ADEiFlK; et ainsi de suite , s^il y avait un plus grand nombre de triangles. De cette suite de rapports égaux on conclura : La somme des antécédents ABC+ACD+ADE, ou le polygone ABCDE , est à la somme des conséquents FGH-f-FHI^-FlK, ou au polygone FGHIK, comme im antécédent ABC est à son conséquent FGH y ou comme AB est à FG ; donc les surfaces des polygones semblables sont enixe elles comme les quarrés des côtés homologues.
Corollaire. Si on construit trois figui*es semblables dont les côtés homologues soient égaux aux trois côtés d'un triangle rectangle , la figure faite sur le grand côté sera égale à la somme des deux autres : car ces trois figures sont proportionnelles aux quarré> de leurs côtés homologues ; or, le quarré de Thypoténuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés; donc, etc.
90 oieMBrRiE.
PROPOSITION XXVIÏI.
TSSoaâMB.
ûg. i3o. tes parties de deux cordes AB , CD , fui se coupent dans un cercle y sont rétipf*oquement proportionnelles y c^est-à-dire au^on a AO î DO : : CO : OB.
Joigne! AÇ «t BD : daDs le« tr^p^Ief ACO, BOD, les angles en O sont égaux comme opposés au sommet ; 1 angle A est égal à Tangle D, parce qulls sont
* i8* •• inscrits dans le même segment * \ par la nidm6 raison
langle C=B ; donc ces triafigles sont semblables, et les côtés homologues donnent k propottion AO:DO ::CO:OB.
Corollaire. On tire de là AO X OBiâ:DO x GO x doM le rectangle des deux parties de Tutie des corde» Mt égal au rectangle des deux partiel de l^autre.
PROPOSITIOM XXIX-
thborAmv.
fig. i3i. Si d'un même point O, pri^ hor$ du cercle^ on mène les sécantes OB, OG, termi^é^ à Vçrc coneéfve BC, kt sécanêes entières semmt réciproquement proportionnelles à kutê parties eartéiieut^ e^est-à-^dire qu'on aura (» : OC : : CD a QA* Car, en Joignant AG, Bb, les triangles OAC, OBO,
* !«• •• ont rangle O commun; de pltià Tftngle B±£sC*f donc
ces triangles sont semblables ; et les eAtés komelogtiee donnent la proportion ,
