OB.OG::OD:OA
Corollaire. Donc le rectangle OAxOB, est égal au rectangle OCxOD.
Scholie. On peut remarquer que cette proposition a beaucoup d'analogie avec la précédente \ et qu elle
LITBB III. 91
D*«n diffère queo et que leê deux cordes AB, CD, au lieu d« êe couper dans le cercle, se coupent au dehors. La proposition suivante peut encore être regardée comme un cas particulier de celle-ci.
PROPOSITION XXX
thborâmb.
Si d'un même point O pris hors du cercle on ^* »^mhne une tangente OA et une sécante OC, la tangente sera moyenne proportionnelle entre Ut sécante et sa partie extérieure; de sorte quon aura OC ; OA : : OA :OD ; ou, ce qui refilent <ui même y 5Â'=OCxOD.
Car, en joignant AD et AC, les triangfles OAt), OAC, ont Tangle O commun ; de plus Tangle OAD, form^ pa>r une tangente et une corde % a pour mesure * '^^' la moitié de Tare AD, et Tangle Ci a I4 même luf^ur^; . doi|€ Tanglo OAD=cC ; donc les deux iriaDgkNi SPitt semblaldes, et on a la proportion, OC:OA::OA:OD;
<iuî donne 0A=OCxOD.
PROPOSITION XXX
T0io&Blf«.
Dans un triangle ABC, si on dtpiSê f^ûngie A en ffeitjt *•• *^' parties égales par lu ligne AD, /^ rectangle des câtf*s AB, AC , sera égal aa rectangle des segments BD, DC, pêas au t^uànié de la sécante AD.
FàltM passer nné circonférence par les trois points A, B^ fc, prolonge* AD jii«qti*è la circonférence, et joignez CE.
Le trlsnj^le BAD est semblable an triangle EAC; ear, par hypothèse, Fangle BAD = EAC ; de plus Tangle BiâsR puisqu'ils ont tons deux pour mesure la moitié de Tare AC; doue ces triangles sont semblables , et les côlés homologues donnent la proportion BA : A£ ;; AP : AC : de là résulte
g% GXOMJBTEIB.
BAxAC:i::AKxAD; mais A£=AJ)+D£, et en multipliant de part et d*aatre par AD, on a AEx AD=rAD+ • a8. AD X DE ; dailleurs AD X DE=BD X DC * ; donc enfin
BA X AC=Id+BD X DC.
PROPOSITION XXXII
THBORBMB.
fig. i54. Bans tout triangle ABC, le rectangle des deux c&tér AB^ AC, est égal an rectangle compris par le diamètre CE dm cercle circonscrit et la perpendiculaire AD abausee sur le troisième côté BC.
Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC, sont rectangles, l'un en D, Tantre en A; de plus l'angle B=E; donc ces triangles sont semblables , et ils donnent la proportion AB:CE::AD:ACî d'où résulte ABxAC= CE X AD.
Corollaire. Si on mnltiplie ces quantités égales par la
même quantité BC, on aura AB X AC X BC = CE X AD X BC
* 6. Or, AD X BC est le donble de la snrÛLce du triangle * ; donc
le produit des trois c6tés d^un triangle est égal à sa surface
multipliée par le double du diamètre du cercle drcomscriL
Le produit de trois lignes s^appelle quelquefois un solide, par une raison qu'on verra ci-^prcs. Sa valeur se conçoit aisément, en imaginant que les lignes sont réduites en nombres, et multipliant les nombres dont il s'agit.
Scholie. On peut démontrer aussi que la su/face d^un triangle est égale à son périmètre multiplié par la moàié dm rayon du cercle inscrit»
fig. 87. Car les triangles AOB, BOC, AOC, qui ont leur sommet commun en O , ont pour bautenr commune le rayon du cercle inscrit ; donc la somme de ces triangles sera égale a la somme des bases Afe, BC, AC, multipliée par la moitié dn rayon OD ; donc la surface du triangle ABC est égale a son périmètre mnltiplie par la moitié du rayon du cercle inscrit.
