LITE! III

PROPOSITION XXXIIl.

thbo&Ams.

Dam tout quadrilatère insent AfiCD 9 le rectangle des deux diagonales AC, BD, est égal à la somme des rectan* gfes des côiés opposes, de sorte qu'on a

ACXBD=ABXCD+ADXB€.

Prenes l'arc CO=AD , et tirez BO qui rencontre la diagonale AC en I.

L'angle ABIhzzCBI, puisque l'un a pour mesure la moitié de AD, et l'autre la moitié de CO égal a AD. L'angle ADB= BCI, parce qu'ils sont inscrits dans le m^me segment AOB; donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a la proportion AD:CI::BD:BC ; d'où résulte ADxBC= Qx BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable au triangle BDC ; car l'arc AD étant égal à CO, si on ajoute de part et d'autre CD, on aura l'arc AO=DC; doncl'angle ABI=DBC; de plus l'angle BAI=:BDC, parce quils sont inscrits dans le même segment; doue les triangles AB[,DBG, sont semblables, et les côtés bomologues donnent la proportion AB:BD::AI:CD; d'oùrésulte ABxCD=AIxBD.

Ajoutant les deux résultats troayés, et observant que AIXBD-|-CIXBD=(AI+CI)XBD=ACXBD, on aura ADXBC+ABXCD=ACXBD.

SchoUe. On peut démontrer de la même manière un autre théorème sur le quadrilatère inscrit.

Le triangle ABD semblable à BIC , donne la proportion BD:BC::AB:BI, d'où résulte BIxBD=BCxAB^Si on joint CO, le triangle ICO, semblable à ABI, sera semblable à BDC, et donnera la proportion BD:CO:: DC. 01; d'on résulte OIxBD=COxDC, on, à cause de CO=AD, OIXBD=:ADxDC. Ajoutant les deux résultats, et observant que BIxBIH-OlxBD se réduit à BOxBD, on aura, BO X BD=AB X BC-f-AD X DC.

Si on eut pris BP=AD, et qu'on eût tiré CKP, on aurait trouvé par des raisonnements semblables, CP X C A=AB X AD-f-BC X CD.

p4 GioMÉvmia.

Mais Tare BP ëunC égal à CO, si on ajoute de part et d'aatre BC, ou aura Tare ClP=sl€0 ,' itnc la corde CP est égale à la corde BO, et par conséquent les rectangles BOxBD et CPxCA soat entre eux comme BD est à CA ; donc,

BD:GA;:ABXBC-M^DXDC;ADXAS+BCXCD.

Donc lêM deujr dingonvUe^i d'un quadriiaière ùtscnt S09i entre elles comme le$ sommes des redangies def cMf fW aboutissent à leufts emtrvipiiés.

Ces deuil tb«otémes peuvent serrir à trouver l#i di^f onales quand on connaît les côtés.

PROPOSITION XXXIV

THÉO AÂMB.

fig- »5d. $qIi p lin point donné au dedans du cercle sur & rayon AC, et soit pris un point Q au dehors sur le prolongement du même rayon , de sorte qu'on ait CP:CA :: CA:CQ ; si ttun point quèleonque M de la circonférence on mène aux deur points ^ etQ les droites MP, MQ, fe dis que ces droites seront partout dans un même rapport, et qa*vn attm