MP:MQ::AP:AQ
Car on a, par hypothèse, CP:CA::CA:CQ ; mettant CM a la place de CA, on aura CP:CM::CMrCQ; donc les triangles CPM , CQM , ont un angle égal C compris entre • ao, 3,. côtés proportionnels; donc ils sont semblables*; donc le troisième côté MP est an troisième MQ comme CP est i CM ou CA. Mais la proportion CP:CA::CA:CQ donne, diw- £fc/i€/otCP:CA;:CA— CP:CQ— CA, ou CP:CA::AP:AQ, doncMP:MQ::AP:AQ.
Prohlime^ retattft au Lif^re IIÎ.
utiliser une ligne droite donnée en tant de parties égales qu'on voudra j qu en parties pro^ portionnelles à des lignes données.
t" Soit proposé d^ ilivîs^r la Ugn# AB en cinq ^-i^?parties ëgakft ; par rextrëmité A on inèneia la droite îndéBnie A6» et prenant AC dune grandeur queleonque , on portera AC cinq fois sur AG. On joindre le deraier point de division G et TexUéniitë B par le li^e 6B, puis on mènera CI parallèle à GB ; je dû que AI sera la cinquième partie de la ligne AB, et qu ainsi en portant AI cinq fbi« sur AB, la ligne AB sera divisée en cinq parties égales.
Car, puisque CI est parallèle à GB, les côtes AG, AB, sont coupés proportionnellement en C et I ^. Biais * '^' AC est la cinquième partie de AG ; donc AI est la cin« quième partie de AB.
a* Soit proposé de diviser la ligne AB en parties ig- iSt. proportionnelles aux lignes données P, Q, R. Par Textrémilé A on tirera Tindéfinie AG, on prendra ACznP, CD=Q, DE=R, on joindra les extrémités E et B, et par les points C, D, on mènera CI, DK, parallèles à EB ; je dis que la ligne AB sei*a divisée en parties AI , IK, RB, proportionnelles aux lignes données P, Q, R.
Car, à cause des parallèles CI, DK, EB, les parties AI, IK, KB, sont proportionnelles aux parties AC, CD, DE *} et par construotion celles-ci sont ^[ales * ^* «a lignes données Pf Q, ft.
FmOBI.âKB II.
Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données A, B, C.
p6 GàamivM.tm.
^' i^ Tirez les deux lignes indéfinies DE, DF, sous un angle quelconque. Sur DE prenez DA=Â et DB=B, sur DF prenez DG=C, joignez AG, et par le point B menez BX parallèle à AC ; je dis que DX sera la quatrième proportionnelle demandée : car, puisque BX est parallèle à AG, on a la proportion DA:DB :: DG:DX; or, les trois premiers termes de cette proportion sont égaux aux trois lignes données ; donc DX est la quatrième proportionnelle demandée.
Corollaire. On trouvera de même une troisième proportionnelle aux deux lignes données A, B, car elle sera la même que la quatrième proportionnelle aux trois lignes A, B^ B.
PEOBLBIIB III.
Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données A e^ B.
fig.iio. Sur la ligne indéfinie DF prenez DE=A, et EF=zB; sur la ligne totale DF comme diamètre, décrivez la demi - circonférence DGF j au point E élevez sur le diamètre la perpendiculaire EG, qui rencontre la circonférence en G; je dis que EG sera la moyenne proportionnelle cherchée.
Car la perpendiculaire G£, abaissée dun point de la circonférence sur le diamètre ,' est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre DE, * «3. EF * : or, ces segments sont égaux aux lignes données A etB.
PROBLÂHB IV.
fif . i4«. Diviser la ligne donnée AB en deux ptxrtiesy de manière que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et Vautre partie.
A l'extrémité B de la ligne AB élevez la perpendiculaire BG égale à la moitié de AB ; du point G
• LITRB III. ^j
«omine centre , et dn rayon CD décrivez une circonférence, tirez AC, qui coupera la circonférence en D, et prenez AF=AD; je dU que la ligne AB sera divisée ou point F de la manière demandée, c'est-à-dire qu'on aura AB:AF:: AF:FB.
Car AB étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon CB, est une tangente; et si on prolonge AC jusqu'à ce quelle rencontre de nouveau la circonférence en E, on aura * AE:AB:: AB:AD; donc, dwidendo^ AE * 5j. — AB:AB::AB — AD: AD. Mais, puisque le rayon BC est la moitié de AB , le diamètre DE est égal à AB, et par conséquent AE — AB=AD=rAF ; on a aussi, à cause de AF=AD, AB — AD==FB; donc AF:AB::FB:AD ou AF; donc, invertendo, AB.AF ::AF:FB.
SchoHe. Cette sorte de division de la ligne AB s'appelle division en moyenne et extrême raison : on en verra des usages. On peut remarquer que la sécante AE est divisée en moyenne et extrême raison au point D \ car^ puisque AB=D£, on a AE:D£:: DE: AD.
PROBLâMS V.
Par un point donné A dans V angle donné Cg. u». BCD, tirer la ligne BD de manière que les parties AB, AD, comprises entrée le point A et les deux côtés de r angle ^ soient égales.
Par le point A menez AE parallèle à CD, prenez B£=:CE, et par les points B et A tirez BAD, qui sera la ligne demandée.
Car, AE étant parallèle à CD , on a B£:EC :: BA: AD ; or BE=EC ; donc BA= AD.
PAÛBLEME VI.
Faire un quarré équis^alent à un parallélo* gramme ou à un triangle donné.
j|8 Gàouir^tm.
ûg. i43. 1^ Soit ABCD le parallélogramme donne, AB sa base, DE sa hauteur : eiitre Afi et DE chercliea une *pr. 3. moyenne proportionnelle XY*; je dis que le quarré fait sur KY sera équivalent au parallélogramme ABCD: Car on a, par construction , AB:XY:;XY:DE; donc
XYriABxDE : or ABxDE est la mesure du parallélogramme, et X¥ celle du quarré, donc ils sont équivalents.
fi«.i44. a'* Soit ABC le triangle donné, BC sa base, AD sa hauteur : prenez une moyenne proportionnelle entre BC et la moitié de AD , et soit XY cette moyenne ; je dis que le quarré fait sur XY sera^ équivalent au triangle ABC.
Car, puisqu'on a BC:XY.: XY : ^ AD, il en résulte XY=BC K 7AD , donc le quarré fait sur XY est équivalent au triangle ABC.
PAOBLÂMB VXI. n
fig. 145. Faire sur la ligne donnée AD un rectangle ADEX équivalent au rectangle donné ABFC.
Cherchez une quatrième proportionnelle aux trois lignes AD, AB, AG, et soit AX cette quatrième proportionnelle, je dis que le rectangle fait aur AD et AX ^era équivalent au rectangle ABFC.
Car, puisqu'on a AD:AB:: AC: AX, il en résulte ADxAX=ABxAC; donc le recUngle ADEX est équivalent au rectangle ABFC.
PROBLEME TIII.
fit- ï4«. Trouver en lignes le rapport du rectangle des deux lignes données ketBau rectangle des deux lignes données C e^ D.
Soit X une quatrième proportionnelle aux trois lignes B, C, D; je dis que le rapport des detix lignes
