I.IVRF III, QQ

A et X serm égal ii celui des deux rectangles A x B ,

Cxn.

Car, puisquon a BîC::D:X, îl en résulte CxD satBxX;dônc Ax B:Cx D;: Ax B:BxX r: A:X.

Corollaire. Donc, pour avoir le rapport des qnarrés faiu sur les lignes données A et C^ cherchez une ti'oisiènie proportionnelle X aux lignes A et C , en sorte quon ait A:G::C:Xy et vous aurea A,*:C* :: A.:X.

PROBLÂMB IX.

Trouver en lignes le rapport du produit des fig. 1491 trois lignes données k y B, C, au produit des trois lignes données P, Q, R.

Aux trois lignes données Pf A, B, cherchez une quatrième proportionnelle X : aux trois lignes données C, Qt &9 cherches une quatrième proportionnelle Y. Les deux lignes X, Y, seront entre elles comme les produits AxBxC,PxQxll.

Car, puisque P:A::B:X, on a AxBs^rPxXj et, en multipliant de part et d'autre par C,.AxB xC=CxPxX. De nîém.e, puisque C:Q:;R:Y, il en résulte Qx R=Cx Y; et, multipliant de part et d'autre par P , on a P X Q X 1\=P X C X Y , donc le produit AxBxC est au produit PxQxR comme GxPxX«stàPxCxY,ou commeXest à Y.

PXOBLâMS X.

Faire un triangle équivalent à un polygone donné.

Soit ABGDE le polygone donné, Tirex d^abord Sg. 146. la diagonale CE, qui retranche le triangle CDE; par le point D menez DF parallèle à CE jusqu'à la rencontre de AE prolongé ; joignez CF , et le polygone ABCDË sera équivalent au poly^fone AJBCF qid a un oAaé de moios.

100 «SOHBTAIS.

Car les triangles CDE, GF£^ ont la base commune CE ; ils ont aussi même hauteur , puisque leai:s som* mets D , F , sont situés sur une li^e DF parallèle à la base; donc ces triangles sont équivalents. Ajoutant de part et d autre la figure ABCE , on aura d'un c6lé le polygone ADCDE, et de l'autre le polygcme ABGF, qui seront équivalents.

On peut pareillement retrancher 1 angle B en substituant au triangle ABC le triangle équivalent AGC^ et ainsi le pentagone ABDE sera changé en un triangle équivalent GCF.

Le même procédé s'appliquera à toute autre figure; car en diminuant d'un à chaque fois le nombre des côtés , on finira par tomber sur le triangle équivalent.

Scholie. On a déjà vu que tout triangle peut être *pr. 6. changé en un quarré équivalent *, ainsi on trouvera toujours un quarré équivalent à une figure rectiligne donnée; c'est ce qu^on appelle quarrer la figure rectiligne^ ou en trouver la quadrature.

Le problême de la quadrature du cercle consiste à trouver un quarré équivalent à un cercle dont le dia* mètre est donné.

PROBlAiIB XI.

faire un quarré qui soit égal à la somme ou à la dijférence de deux quarrés donnés.

Soient A et B les côtés des quarrés donnés : fif. 147. I® SU faut trouver un quarré égal à la somme de ces quarrés, tirez les deux lignes indéfinies ED , £F i angle droit; prenez ED=A et EG=By joignez DG, et D6 sera le côté du quarré cherché.

Car le triangle DEC étant rectangle, le quarré fait sur DG est égal à la somme des qiuirrés bits sur £D et £0.

â^ S'il faut trouver un quarré égal à la différence des quarrés donnés , formez de même l'angle droit

Eiraxiit. lot

FEH , prenez GE égal au plus petit de côtés A et B ; du point G, comme centre , et d'un rayon GH égal à Tautre côté, décrivez un arc qui coupe EH en H; je dis que le quarré fait sur EH sera égal à la différence des quarrés faits sur les lignes A et fi.

Car le triangle GEH est rectangle , l'hypoténuse GH=A, et le côté GE=B^ donc le quarré fait sur EH, etc.

Scholie. On peut trouver ainsi un quarré égal à la somme de tant de quarrés qu*on voudra; car la constraction qui en réduit deux à un seul , en réduira trois à deux, et ces deux-ci à un , ainsi des autres. Il en serait de même si quelques-uns des quarrés devaient être soustraits de la somme des autres.

paoBiiâiiB XII.

Construire un quarré qui soit au quarré donné iig. iSo. ABCD, comme la ligne lA est à la ligne N.

Sur la ligne indéfinie EG , prenez EF=:M , et FG = N ; sur EG , comme diamètre , décrivez une demicirconférence , et au point F élevez sur le diamètre la perpendiculaire FH. Du point H menez les cordes HG, HE , que vous prolongerez indéfiniment : sur la première prenez HK égale au côté AB du quarré donné , et par le point K menez Kl parallèle à EG ; je dis que HI sera le côté du quarré cherché.

Car, à cause des parallèles Kl, GE, on a HI:HK::

HE:H6; donc HÎ*:HK:: HE.ÎÏG : mais dans le triangle rectangle EHG ^, le quarré de HE est au *ftS. quarré de HG comme le segment EF est au segment

FG , ou comme M est à N, donc HI:HK::M:N. Mais HK=AB; donc le quarré fait sur HI est au quarré fait sur AD comme M est à N.

fiff. »9. Sur le côté FG, homologue à AB, décrire un polygone semblable au polygone cib/i/kJ ABCDE.

Dans le polygone donne ûveL les diagonales AC, AD : au poini F faites langle GFH=:BAC, et ta point G Tangle FGH=ABG; les lignes FH, GH, se couperont en H , et FGH sera un triangle semblable à ABC : de même sur FH , homologue à AC , construise! le triangle FIH semblable à ADG, et sur FI, homologue à AD, construisez le triangle FIK, semblable à ADE. Le polygone FGUIKsera le polygone demande, semblable à ABCDE.

Car ces deux polygones sont composés d un même nombre de triangles semblables et semblablement * aSy placés *.

FaOBLiMB XIT.

Deux figures semblables étani données ^ construire une figure semblable qui soit égale â leur somme ou à leur tlifférence.

Soient A et B deux côtés homologues des figurer données , clierc hez un quarré égal à la somme ou â la différence dcâ quarrés faits sur A et B ; soit X le cdté de ce quarré y X sera dans la figure cherchée le côté homologue à A et B dans les figures données. On construira ensuite la figure elle-même par le problème précédent.

Car les figures semblables sont comme les quarrés des curés homologues; or le quairé du c6té X est égal à la somme ou à la différence des quarrés faits sur les cotés homologues A et n ; donc la figure faite sur le côté X est égale a la somme ou à la difTérence des figures semblables faites sur les cotés A et B.

hlWRM III, |«3

PHOBlAmB XV.

Construire une figure semblable à une figure donnée, et qui soit à cette figure dam le rapport donné de ÎA à IX.

Soit A un côté de la figure donnée, X le côté homck iogue dans la figure cherchëe; il faudra que le quant» de X Aoit au quarrë de A comme M est à ïl ^ On trou- * a? vera donc X par le problème xii; connaissant X , le reste s^acbèveia par le problème xiii.

FAOBLÉMB XVI.

Construire une figure semblable à la figure P fi|. tSi. et équivalent à la figure Q.

Clierchez le côté M du quarré équivalent à la figure P 9 et le €Ôtë N du quarré équivalent à la figure Q. Soiensuite X une quatrième proportionnelle aux trois lignes données M , N, AB ; sur le côté X , homologue à AB, démvez une figure semblable k la figure P ; je dis qu'elle sera de plus équivalente à la figure Q.

Car en appelant Y la figure faite sur le côté X , on

aura P:Y:: AB:X; mais, par eoAstruction , AB:X::

M:N, ou AB:X*::M':N'; donc P:Y::M:N. Maïs on a aussi, par construction, li* = P et N*:cQ; don» P:Y::P:Q; donc Y=Q; donc la figure Y est sen* blable i la figure P, et équivalente à la figure Q.

rmoBLâiiB XVII.

Construire un rectangle équwalent à un fig. iSa. quarré donné C , et dont les côtés adjacents fassent une somme donnée AB.

' Sur AB, comme diamètre, décrivez une demi-cirt conférence, menez parallèlement an diamètre la ligne ED à une distance AD égale au côté du quarré donnéC

io4 GBOMBTftIB.

Du point E, où la parallèle coupe la circonférence, abaissez sur le diamètre la perpendiculaire EF; je dis que AF et FB seront les côtés du rectatigle cherché.

Car leur somme est égale à AB ; et leur recungle * a3. AF X FB est égal au quarré de EF * , ou au quarré de AD ; donc ce rectangle est équivalent au quarré donné C.

Scholie. Il faut, pour que le problème soit possible , que la distance AD n excède pas le rayon , c'est-à-dire que le côté du quarré G n^excède pas la moitié de la ligne AB.

PROBLEME XTIII.

fig. i53. Construire un rectangle équivalente un quarré C , et dont les côtés adjacents aient entre eux Ul différence donnée AB.

Sur la ligne donnée AB, comme diamètre, décrri* vez une circonférence; à l'extrémité du diamètre , menez la tangente AD égale au côté du quarré C : par le point D et le centre O tirez la sécante DE ; je dis que DE et DF seront les c6tés adjacents du rectangle demandé.

Car i^ la différence de ces càtés est égale au dia* mètre EF ou AB; a^ le rectangle DExDF est égal

« 3^ à AD ^ f donc ce rectangle sera équivalent au quarré donné C.

PROBLâMB XIX.

Trousser la commune mesure j sHlyen a unsp entre la diagonale et le côté du quarré. ftg.i54. Soit ABCG un quarré quelconque, AC sa diagonale.

Il faut d'abord porter CB sur CA autant de fois

prob.17. q^i'il peut y être contenu *, et pour cela soit décrit

a. lir. du centre C et du rayon CB le demi-cercle DBE : on

Toit que CB est contenu une fois dans AC avec le

reste AD, le résultat de la première opération est donc

LIYRB TIt. . I05

le qaotle^t i avec le reste AD, qu'il faut comparer avec BC ou son égale AB.

On peut prendre AF=AD, et porter réellement AF sur AB; on trouverait qu'il y est contenu deux fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants vont en diminuant , et que bientôt ils échapperaient par leur petitesse, ce ne serait là qu'un moyen mécanique imparfait, doù Ton ne pourrait rien conclure pour décider si les lignes AC , CB, ont entre elles ou n'ont pas une commune mesure : or il est un moyen très -simple d'éviter les lignes décroissantes , et de n'avoir à opérer que sur des lignes qui restent toujours de la même grandeur.

En eflet , l'angle ABC étant droit , AB est une tangente, et AE une sécante menée du même point, de sorte qu'on a ^ AD: AB:: AB:AE. Ainsi dans la se. * io, Gonde opération , où il s'agit de comparer AD avec AB , on peut, au lieu du rapport de AD à AB, prendre celui de AB à AE : or AB ou 9on égale CD est contenue deux fois dans AE avec le reste AD; donc le résultat de la seconde opération est le quotient a avec le reste AD qu il faut comparer à AB.

La troisième opération , qui consiste à comparer AD avec AB , se réduira de même à comparer AB ou son égale CD avec AE , et on aura encore a pour quotient et AD pour reste.

Delà on voit que l'opération ne sera jamais terminée , et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le c^té du quarré : vérité qui était déjà connue par l'arithmétique ( puisque ces deux lignes sont entre elles :: »/ a : i)*, maw qui acquiert un * ". plus grand degré de clarté par la résolution géo* métrique.

Scholie. Il n'est donc pas possible non plus de trouver en nombres le rapport exact de la diagonale au coté du quarrë ; mais on peut en approcher tant

IO0 aBOHÉT&IB.

qu*ou voudra au moyen de la finactioii oontînoo qui ebt ëgale à ce rapport. La preouèra opératioii m, donné pour quotient i j la seconde et toutes les antres à riiifini donnent a : aiosi la fractioa dont il s*agic

• •"+-7+etaàrinfini.

Par exeraple , si on calcule cette fraction jusqu'au quatrième terme inclusivement, on trouve que sa valeur est i fl ou {} ; de sorte que le rapport approché de la diagonale au côté du quarré est :: 4 k • ^p. On trouverait un rapport plus approché en caloulant un plus grand nombre de termes.

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