LES POLYGONES RÉGULIERS, ET LA MESURE DU CERCLE
DÉyiUltlOM.
U If polygone qui est à la fois ëquiangle et équilatëral, s'appelle polygone régulier.
Il y a des polygones réguliers de tout nôtnbre de o6tés. Le triangle équilatëral est celui de trois côtés ; et le quârré, celui de quatre.
PROPOSITION PREMIÈRE
THiOEÊMH.
Déujn polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont deux figures semblables.
Soient ^ par exemple, les deux hexagones réguliers fig. i56. A.BCDEF , abcdef ; la somme des angles est la même dans Tune et dans Fautre figure^ elle est égale à huit angles droits *. L*angle A est la sixième partie de *»•»!• cette somme aussi bien que Tangle a; donc les deux angles  et a sont égaux ; il en est par conséquent de même des angles B et ^, des angles C et c, etc.
De plus , puisque par la nature de ces polygone» les côtés AB, BC , CD, etc. , sont égaux , ainsi que ah^ hc^cJ^ etc., il est clair qu'on |i les proportions AB: abwUCibcw CXiwdy etc. ; donc las deux figures dont il s'agit ont les angles égaux et les d^tés homologues proportionnels; donc elles sont semblables *. *h^^'i**
I08 GBOMSTEIS.
CoroUnire. Les périmètres de deux polygones réguliers d*un même nombre de. c6tës sont entre eux comme le? côtés homologues, et leurs sur&ces sont *S7»S, comme les quarrés de ces mêmes côtés *•
Scholie. L angle d'im polygone régulier se détermine par le nombre de ses côtés comme celui d'un *ao, 1. polygone équîangle *•
PROPOSITION II
thborAmb.
Tout polygone régulier peut être inscrit dim$ le cercle^ et peut lui être circonscrit. 6g. i5ft. Soit ABCDE, etc. , le polygone dont il s*agit , imaginez qiron fasse passer une circonférence par les trois points A, B ; G; soit O son centre, et OP la perpendiculaire abaissée sur le milieu du côté BG; joignes AO et OD.
Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA peuvent être superposés : en effet le côté OP est commun , langle OPC=OPB, puisqu'ils sont droits; donc le côté PC s'appliquera sur son égal PB , et le point G tombera en B. De plus, par la nature du polygone, Tangle PCD=PBA, donc GD prendra U direction BA, et puisque GD= BA, le point D tombera en A, et les deux quadrilatères coïncideront entièrement lun avec lautre. La distance OD est donc égale à AO , et par conséquent la circonférence qui passe par les trois points A, B , G, passera aussi par le point D ; mais, -par un raisonnement semblable, on prouvera que la circonférence qui passe par les trois sommets B , G , D , passera par le sommet suivant £, et ainsi de suite; donc la même circonférence qui passe par les points A, B, G, pa^se par tous les sommets des angles du polygone, et le polygone est inscrit dans cette circonférence.
