I.I VAB < I
£n second lieu ^ par rapport à cette circonférence, tous les c6tës AB , BC ^ CD , etc., sont des cordes égales ; elles sont donc également éloignées du centre* ; donc * 8, a. si du point O , comme centre , et du rayon OP , on décrit une ciixx>nférence j cette circonférence touchera le côté BG et tous les autres côtés du polygone , chacun dans son milieu , et la circonférence sera inscrite dans le polygone , ou le polygone circonscrit à la circonférence.
Scholie I. Le point O , centre commun du cercle inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé aussi comme le centre du polygone , et par cette raison on appelle cuigle au centre, Tangle AOB formé par les deux rayons menés aux extrémités d'un même côté AB.
Puisque toutes les cordes AB y BC , etc. , sont égales, il est clair que tous les angles au centre sont égaux ^ et qu'ainsi la valeur de cliacun se trouve en divisant quatre angles droits par le nombre des côtés du polygone.
Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d*un certain nombre de côtés dans une circonférence donnée, il ne s'agit que de diviser la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés; car, les arcs étant égaux , les cordes AB, BC, £f. i58. CD, etc., seront égales; les triangles ABO, BOG, COD , etc. , seront égaux aussi , parce qu^ils sotit équilatéraux entre eux ; Jonc tous les angles ABC, B(îD» CDE , etc., seront égaux ; donc la figure ABCD£, etc. , sera un polygone régulier.
PROPOSITION III
PROBLBMB.
Inscrire un quarré dans une circonférence donnée.
IIO GioiliTlIlB.
fis* 157. Tirez deux diamètres AC, BD, qui se coupent à ang^les droits; joignez les extrëmîtës A., B,G, D, et U figure ABCD sera le quarré inscrit : car les angles AOB y BOC y etc. , étant ^gaux , les cordes AB , BC , etc., sont égales.
Sclu^/ie. Le triangle BOC étant rectangle et isoscèle,
•"•^ on a*BC:BO:: W^ari; donc U côté du quarri inscrit est au rayon comme lu fHicine quarrèe de % ési à l'unité.
PROPOSITION IV
PAOBLâXB.
Inscrire un hexagone régulier et un triangle équilatéral dans une circonférence donnée, %%, x58. Supposons le problème résolu , et soit AB un côté de ITiexagone inscrit; si on mène les rayons AO, OB, je dis que le triangle AOB sera équilatéral.
Car langle AOB est la sixième partie de quatre angles droits ; ainsi en prenant langle droit pour unité , on aura AOB=^=| : les deux autres angles ABO . BAO, du même triangle valent ensemble à — j ou 4, et comme ils sont égaux, chacun deux=: },• donc le triangle ABO est équilatéral 5 donc le côté de Vhexagone inscrit est égal au rayon.
Il suit de là que pour inscrire un hexagone régulier dans une circonférence donnée , il faut porter le rayon six fois sur la circonférence , ce qui ramènera au môme point d'où on était parti.
Lliexagone ABCDEF étant inscrit, si Ton joint les sommets des angles alternatiyement, on formera le triangle équilatéral ACEé
Scholie. La figure ABCO est un parallélogramme et même un losange, puisque AB=:BG=CO=;AO;
*f4*9* donc * la somme des quarrés des diagonales AC+
BO, est égale à la somme des quarrés des côtés,
LIYRB IT. m
laquelle est 4 A.B ou 4 BO ; retranchant de part et
d'autre BO', il restera AC*=3 BO'; donc ÂC:BO'; 3:i, ou ACrBO:: |/3:i; donc le coté du triangle iquUatêral inscrit est au rayon comme la racine quarrée de 3 est a C unité.
PROPOSITION V
rmoBiiÂxs,
Inscrire dam un cercle donné un décagone régulier j ensuite un pentagone et un pentédé^ cagone.
Divisez le rayon AO en moyenne et extrême raison f^^* au point M ^ , prenez la corde AB égale au plus |prand i^Tx segment OM , et AB sera le côté du décagone régulier qu'il faudra porter dix fois sur la circonférence.
Gap en joignant MB, on a par construction AO: 0M::O]VI:A]y[; ou, à cause de ABs=OM, AO:AB ::AB:AM; donc les triangles ABO, AMB, ont un angle commun A compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont semblables *. Le triangle OAB est isos- ^ '• cèle , donc le triangle AMB Test aussi, et on a AB= BM : d'ailleurs AB=OM; donc aussi MB = OM ; donc le triangle BMO est isoscèle.
L'angle AMB, extérieur au trtangle isoscèle BMO, est double de l'intérieur O * ; or l'angle AMB= MAB; * «9» i donc le triangle OAB est tel que chacun des angles à la base , OAB ou OBA, est double de l'angle au sommet O ; donc les trois angles du triangle valent cinq fois Tangle O, et ainsi Tangue O est la cinquième partie de deux angles droits, ou la dixième de quatre : donc Tare AB est la dixième partie de la circonférence , et la oorde AB est le côté du décagone régulier.
lia GBOMBT&IB.
Corollaire I. Si on joint de deux en deux les sommets du décagone régulier, on formera le pentagone r^ulierAGEGI.
Corollaire IL AB étant toujours le côté du décagone, soit AL le côté de Tliexagone; alors l'arc BL sera , par rapport à-la circonférence , 7—^77 ou ^ ; donc la corde BL sera le côté du pentédécagone ou poly- |[one régulier de i5 côtés. Ou voit en même temps que lare CL est le tiers de CB.
Scliolie. Un polygone régulier étant inscrit, si on divise les arcs sous-tendus par ses côtés en deux par< ties égales , et qu'on tire les cordes des demi-^arcs , celles-<;i formeront un nouveau polygcme régulier dun nombre de côtés double : ainsi on voit que le quarré peut servir à inscrire successivement les polygones réguliers de 8, 16 , 3^, etc., côtés. De même hexagone servira à inscrire les polygones réguliers de 12 , 24 > 48 , etc. , côtés ; le décagone, des polygones dis 20, 40f 80, etc., côtés; le pentédécagone, des polygones de 3o, 60, 120, etc., côtés (i).
PROPOSITION YI.
PEOBLBMS.
fig..i6o. Etant lionne le polygone régulier inscrit ABCD^ etc. j circonscriœ à la mé/ne çirconfè' " rence un polygone scmblaùle.
(i) On e cm long-temps qiie ces polygones éttient les seuls qai pussent é\re inscrits par les procèdes de U géométrie él^ mentairc, ou, ce qui revient au même, par la lésolutîoii à^s équations du premier et du second degré : mais iU. Gauss a prou\r ^ dans un ouvrage intitulé Ûùquisiiionet Arithmeticet , Ltp» siœ , tSoi, qu'on |)eut inscrirf par de semblakles moyens Upol^guiitt léguher de dix>sepi côiéii, et eu gcnéril celui de s"-f-i côtes y pourvu que l'^-f*' ^^^ u" nombre premier* .
LITRB IV. Il3
Au poil) t T, milieu de l'arc AB , menez la tangente GH, qui sera parallèle à AB ^ ; faites la même chose au milieu «10.2. de chacun des autres arcs BG, CD, etc.; ces tangentes foimeront par leurs intersections le polygone régulier circonscrit GHIK , etc. /semblable au polygone inscrit.
Il est aisé de voir d*abord que les trois points O, B, H , sont en ligne droite, car les triangles rectangles OÏH , OHN , ont l'hypoténuse commune OH , et le côté OT=ON; donc ils sont égaux*; donc *i8,i. l'angle TOH =: HON , et par conséquent la ligne OH passe par le point B milieu de Tare TN : par la même raison le point 1 est sur le prolongement de OC, etc. Mais, puisque GH est parallèle à AB et HI à BC, l'angle GHI=ABC *; de même HIK = BCD, etc.; • a6, r. donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces mêmes parallèles, on a GH:AB:: OH:OB, et HI: BC::OH:OB; donc GH:AB;: HI:BC. Mais AB = BCjdonc GH=HI.Par la même raison HI=IK, etc.; donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux entre eux; donc ce polygone est régulier et semblable au polygone inscrit.
Corollaire I. Réciproquement , si on donnait le polygone circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallût tracer par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., on ▼oit qu il suffirait de mener aux sommets G, H , I , etc. , du polygone donné les lignes OG, OH, etc. , qui rencontreraient la circonférence aux points A, B , C , etc. ; on joindrait ensuite ces points par les cordes AB , BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On pourrait aussi , dans le même cas , joindre tout simplement les points de contact, T, N, P, etc., par les cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un polygone inscrit semblable au circonscrit.
Corollaire II. Donc on peut circonscrire à un
Il4 GBOMBVIIIB.
cercle donné tous les polygones réguliers qjtxim sait inscrire dans ee cercle, et réciprpquemeiiu
PROPOSITlOîî VU.
THBOaÊMB.
L'aire d*un polygone régulier est égaie à son
périmètre multiplié par la moitié du rayon du
cercle inscrit.
fig. x6o ^o\t^ par exemple , le polygone rëgulîerGIIIK , etc. ,
le triangle GOII a pour mesure GH X7OT, le triangle
OHI a pour mesure HIX7ON : mais ON = OT;
donc les deux triangles réunis ont pour mesure
\ (GH-f-HI) XîOT. En continuant ainsi pour les
\ autres triangles^ on verra que la somme de tous les
' triangles, ou le polygone entier a pour mesure la
somme des bases GH, HI, IK, etc., ou le périmètre
du polygone , multiplié par 7OT, moitié du rayon du
cercle inscrit.
Scliolie. Le rayon du cercle inscrit OT n^est autre chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés ; on l'appelle quelquefois Vapothême do polygone.
PROPOSITION VIII
THBO&iMB.
Les périmètres des polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont comme les rajom des cercles circonscrits , et aussi comme les rayons des cercles inscrits; leurs surfaces sont comme les quatrés de ces mêmes rayons. fig. 161. Soit AB un. côté de l'un des polygones dont il s'agit, O son centre, et par conséquent OA le rayon du cercle circonscrit, et OD, perpendiculaire sur AB,
(p niyoïi du cçrclo în^farit; $oit parçillem^pt ^à le CQtë d*)iu autre poljgoa^ scf^bluhle, o son centra, oa et o^ les r^ons des cerples circonscrit çt ip$prit. lies périmètres des ^euj^ polygones sont entre eu^ comme les câ(ë^ AB e^ o^; maif les angles  et a sont ^anx comme éunt chacun moitié de V^ingl^ du polygone ; il en est de m^me des apgles 9 et i(; donc lef triangles ABQ, aào^ sonf sen^blal^tes , ain^i que le; triangles rectangles ADO, ado; donc ABdaâiiAO: ao:: 1)0 :4o; donc les périmètres des polygones sont entre fux cpmn^e ]es rayons AQ , aç, des cercles circon^rits , ef av^^i çomn^e Içs rayons DQ , ^^ , des cercles inscrit^.
Les surfaces de cc$ mêm^^ polygone^ sont e^fre elles comme les quarrés des côtés homologues AB ai; fiWps soif t par cQp^éqY^ent aus^i comU^Ç le^ qu^ri^ des myons des cercle cifconspfi|:s AQ, ao^ ou coipmç les q^f^xés d^ i^yoï^s dqs cercles inscrits OD, o(l.
PROPOSITION IX
Toute ligne oçurbe oupçijcgo^e qui enveloppe iïune extrémité à Vautre la ligne convexe A MB est plus longue que la ligne enveloppée AMB.
Nous aTons déjà dit que par ligne convexe nous fig. iSa. entendons une ligne courbe ou polygone, ou en par* tie courbe et ^n partie polygone, telle qu une li^ne droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la ligne AMB avait des partie^ ren^r^ntes ou des ^inuo» sites, elle cesserait d*étfe convexe, parce qu'il est aisé devoir qu'une ligne droite pourrait la couper en plus de deux points. Les arcs de cercle sont essentiellement convexes; mais la proposition dont il s'agit maintenant s'étend à une ligne quelconque qui remplit la condition exigée.
Il6 GBOMBTEIB.
Gela posé, si la ligne AMB n'est pas plus petite que toutes celles qui Tenveloppent, il existera parmi ces dernières une ligne plus courte que toutes les autres, laquelle sera plus petite que AMB, ou tout au plus égale à AMB. Soit ACDEB cette ligne enveloppante ; entre les deux lignes menez par^ut où vous voudrez la droite PQ, qui ne rencontre point la ligne AMB, ou du moins qui ne fasse que la toucher; la droite PQ est plus courte que PGDEQ; donc, si à la partie PGDEQ on substitue la ligne droite PQ, on aura la ligne enveloppante APQB plus courte que APDQB. Mais, par hypothèse , celle-ci doit être la plus courte de toutes; donc cette hypothèse ne saurait subsister; donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues que AMB.
Sg.iS3. Scholie. On démontrera absolument de la même manière qu'une ligne convexe et rentrante sur ellemême AMB, est plus courte que toute ligne qui Tenvelopperait de toutes parts, soit que la ligne enveloppante FHG touche AMB en un ou plusieurs points, soit qu'elle Tenvironne sans la toucher.
PROPOSITION X
^ LBMMB.
Deux circonférences concentriques étant {tonnéeSy on peut toujours inscrire dans laplus grande un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la plus petite^ et on peut aussi circonscrire à la plus petite un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande; de sorte que dans l'un et dans Vautre cas les côtés du polygone décrit seront renfermés entre les deux circonférences. «g. t(î4. Soient GA, CB , les rayons des deux circonférences données. Au point A menez la tangente DE terminée à l.i grande circonférence en D et E : inscrivez
