LIVRE IV. Iiy

flans la grande circonférence Tun des polygones réguliers qu'on peut inscrire par les problèmes précédents, divisez ensuite les arcs sous-tendus par les c6tés en deux parties égales , et menez les cordes des demi-arcs; vous aurez un polygone régulier d'un nombre de côtés double. Continuez la bissection des arcs jusqu'à ce que vous parveniez à un arc plus petit que DBE. Soit MBN cet arc (dont le milieu est supposé eu B); il est clair que la corde MN sera plus éloignée du centre que DE, et qu ainsi le polygone régulier dont MN est le côté ne saurait rencontrer la circonférence dont GA est le .rayon.

Les mêmes choses étant posées, joignez CM et CN qui rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le côté d'an polygone circonscrit à la petite circonférence, semblable au polygone inscrit dans la grande, dont le côté est MN. Or il est clair que le polygone circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait rencon* trer la grande circonférence, puisque CP est moindre que CM.

Donc , par la même construction , on peut décrira un polygone régulier inscrit dans' la grande circonférence, et un polygone semblable circonscrit à la petite, lesquels auront leurs côtés compris entre les deux circonférences.

Sckolie. Si on a deux secteurs concentriques FCG, ICH , on pourra de même inscrire dans le plus grand une portion de polygone régulier ^ ou circonscrire au plus petit une portion de polygone semblable, de sorte que les contom*s des deux polygones soient compris entre les deux circonférences : il suffira de diviser l'arc FBG successivement en 2,4^8, i6, etc., parties égales, jusqu'à ce qu'on painrienne à une partie plus petite que DBE.

Nous appelons ici portion de polygone régulier la figure terminée par une suite de cordes égales inscrites

Il8 GBOkBTftIB.

dans 1 arc F6 d'une éictrëmité k l'dutre. Cette portion a les propriétés prittcipaleô des polygones réguliers, elle a les angles égaux et les côtés ^ux , elle est à la fois inscriptiblé et cîrconsferiptible au cercle; cepcUdant elle ne ferait pàrtils d*Un polygone régulier pn>pt-ement dit, qu'autant que l'arc sous -tendu pat un dé ses K^ôtés serait une partie aliqaote de la cirooiifétence.

PROPOSITION il.

Tit&ôAiMfc.

Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons^ éi leurs surftiees comme les quarrés des rayons, fig. i65. Désignons ^ pour abréger, |iar cire. CA la circonférence qui a pour rayoïk CA; je dis quon aura être. GAicirc. OB :: CA:OB.

Car, si cette proportion n'a pas lieu, CA sera à OB comme cire. CA est à un quatrième terme plus grand ou plus petit que v»v. OB : suppofons*le ^lus petit, et soit^ s'il est possible, CA:OBuf:vr. GA: eirc. 0I>.

Inscrivez dans la circonféreUce dont OB est le rayon un polygone régulier EFGKLE, dont les câtés né reiicohtrent point la circonfiéreuce dont OU est le

* '^' rayon ^; inscriri» un polygone semblable MNP'FBH

dans la circonférence dont CA est le rayon.

Cela posé, puisque ces polygones sont semblables ^ leurs périmètres MNPSM, EFGKE sont entre eua

* •• comme les rayons CA, OB, des cercles circonscrits %

et on aura MNPSM : EFGKE :: CA: OB; ihats, par hypothèse , CA : OB .: cire. CA : eirc. OD; donc MNPSM : EFGKE :: eirc. CA : cire. OD. Or, cette ^ proportion est impossible, car le contour MNP8M est moindre que cire. CA % et au contraire ËFGiUS