LIT&K IV

est plus grand que eirc. OD; donc il est inipo5sible que GA soit à OB comme cùv. CA est à une circonférence plus petite que cire, OB, ou, en termes plus giën^raux^ il est impossible quun rayon soit à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite quB la ciiw conférence décrite du second rayon.

De là je conclus qu'on ne peut avoir non plus ^ GA est à OB comme cire, CA est à une circonférence plus grande que cîrc. OB ; car si cela était, on aurait, en renversant les rapports : OB est à GA comme une circonférence plus grande que àirâ, OB est à cire. GA, ou , ce qui est la même chose , comme cire. OB est à une circonférence plus petite que cire. GA; donc un rayon serait à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite du second rayon, ce q uî a été démontré impossible.

Puisque le quatrième terme de la proportion GA: OB :: cire. GA:X ne peut être ni plus petit ni plus grand que cire. OB ^ il faut qu^il soit égal à cire. OB; donc les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons.

Un raisonnemeilC et une construction entièrement semblables serviitmt à démontner que les surfaces des cercles sont comme les quarrés de leurs rayons.

Nous n'entrerons pas dans d autres détails sur cette proposition , qui d ailleurs est un corollaire de la suivante.

Coroliaire. Les aros semblables AB, DE, sont fig-i^ comme leurs rayons AG,DO, et les secteurs semblables AGB ^ D0£ , sont comme les quarrés de ces mêmes rayons.

Car, puisque les arcs sont semblables, langle G est égal à langle O*; or langle G est à quatre angles droits comme lare AB est à la circonférence entière

• dél. 3.

IW. 3.

laO CEOKBTftlE.

* 17* a- décrite du rayon AG^, et l'angle O est à quatre angles droits comme Tare DE est à la circonférence décrite du rayon OD; donc les arcs AB, DE, sont entre eux comme les circonférences dont ils font partie : ces cir^ conférences sont comme les rayons AC, DO, donc arcAB:arcT)E::AC:JX>.

Par la même raison les secteurs ACB, DOE, sont comme les cercles entiers , ceux-ci sont comme les quarrés des rayons ; donc sect. AGE : secL DOE : :

ÂC*:DO.

PROPOSITION XII

TKBOEâKB*

L'aire du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon.

Désignons par surf. GA la surface du cercle dont le rayon est GA; je dis qu'on aura surf GA=7GAx cire. GA.

fis- »7^- Gar si 7 GA X cire. GA n'est pas Faire du cercle dont GA est le rayon, cette quantité sera la mesure d'un cercle plus grand ou plus petit. Supposons d'abord qu'elle est la mesure d'un cercle plus grand, et soit, s'il est possible, 7 G A X cire. Gki^isurf. GB.

Au cercle dont le rayon est GA circonscrivez un polygone régulier DEFG, etc. , dont les côtés ne i-en-

* 10. contrent pas la circonférence qui a GB pour rayon * ;

la surface de ce polygone sera égale à son contour

* 7. DE + EF + FG + etc. multiplié par 7 AG * : mais le

contour du polygone est plus grand que la circonférence inscrite, puisqu'il l'enyeloppe de toutes parts; donc la surface du polygone DEF6, etc., est plus grande que { AG x cire. AG , qui , par hypothèse , est la mesure du cercle dont GB est le rayon ; donc le polygone serait plus grand que le cercle. Or au contraire;

LivRB IV. lai

il est plus petit, puisquil y est contenu; donc il est impossible que } CA X cire. CA soit plus grand que surf, CA, ou, en d autres termes, il est impossible que la circonférence d'un cercle midtipliée par la moitié de son rayon soit la mesure d'un cercle plus grand..

Je dis en second lieu que le même produit ne peut être la mesure d'un cercle plus petit; et, pour ne pas changer de figure, je supposerai qu'il s'agit du cercle dont CB est le rayon; il faut donc prouver que-^CB X cire. CB ne peut être la mesure d'un cercle plus petit, par exemple, du cercle dont le rayon est CA. En effet, soit, s'il est possible, iCBxciVc. CB = surf. CA.

Ayant &it la même construction que ci-dessus, la surface du polygone DEFG , etc. , aura pour mesure ( DE + EF + FG + etc. ) x 7 CA; mais le contour DE + EF +FG + etc., est moindre que cire. CB qui l'enveloppe de toutes parts; donc l'aire du polygone est moindre que 7 CA X cire. CB , et à plus forte raison moindre que 7 CB X cire. CB. Cette dernière quantité est, par hypothèse, la mesure du cercle dont CA est le rayon ; donc le polygone serait moindre que le cercle inscrit, ce qui est absurde; donc il est impossible que la circonférence d'un cercle, multipliée par la moitié de son rayon , soit la mesure d'un cercle plus petit.

Donc enfin la cii*conférence d'un cercle multipliée par la moitié de son rayon est la mesure de ce même cercle.

Corollaire I. La surface d'un secteur est égale à lare fig. 168. de ce secteur multiplié par la moitié du rayon.

Car le secteur ACB est au cercle entier comme l'arc ASIB est à la circonférence entière ABD*, ou •17,». comme AMBx-AC est à ABDX7AC. Mais le cercle entier=ABDx7AC; donc le secteur ACB a pour mesure AMB x 7 AC

I3a GÉOMÉTAIB.

Corollaire II. Appelons it la circonférence dont le diamètre est lunité; puisque les circonférences son comme les rayons ou comme les diamètres^ on pourra fait^ cette proportion : le diamètre t est à sa circonf^ renée ir comme le diamètre 21GA est à la circonfé^ ratice qui a pour rayon GA; de sorte qu'on aura fig. x65. I tir:: 2GA : cifv. GA; done ewc. GA se d iv x GA. Multipliant dé part et d'autre par 1 GA^ on auni

iCAxwr^?. CA=:7rxCA, où surf. CA=ic. CAdonc la surface (Tûn cercle est égale au produit dà quarrè de son rayon par le nombre constani 1r, qui représente la circonférence dont le diamètre est i,ou le rapport de la circonférence au diamètre.

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon

. OB sera égale à w x OB ; or irx GA : it x OB ::

GA : OB ; doftc lès mrjaces des cercles sont entre eflfes comme les quarrés de lettre fnjf>ns , t;é qui 6 accordiÉ avec le théorème précédent.

Scholie. Nous avons déjà dit que le pf ôbléltie de là quadrature du cercle consisté à ttouinei^ uh ^Uarriè ^1 eu surface à tn cercle dont le n\yt>U est cotinu ; ot on vient de prouver que lé cerclé est équivalent au rectangle fait sur la circonférence tet la moitié du râyôn , pr. 6, ^ ^ rectangle se cfaài^ge eh qtiarré eh )f>ren^ht tthé ♦ Ht. 3. moyenne proportionnelle entre ses deuldimensiohs*: ainsi le problème de la quadrature dû cerclé se ré* duik à trouver là circonférence quand ori conhak te rayon , et pour cela il suffit de connaître le rappott de la circonférence au rayon xm Ml dîÀmètre.

Jusqu'à présent on ha pU détermiher ce t^ppoit que dune manière approchée; mais Tap^^roxiihation a été poussée si loin, que la connaissance du rapport exact n'aurait aucun avantage réel. sur celle du rapport approché. Auâsi cette question ^ qui A beaucoup occupé les géomètres lorsque les méthodes d approxi*

LivBB IV. ia3

mation étaient moins connues, est maintenant reléguée parmi les questions oiseuses dont il n'est permis de s occuper qu a ceux qui ont à peine les premières notions de géométrie.

Archimede a prouvé que le rapport de la circonférence au diamètre est compris entre 3~ et Sf^'; ainsi Sj ou ^ é§t Utie valeur déjà fort approchée du nombre que nous avons représenté par it, et cette première ajpproximatiôn ést fort en usa^e à cause de sa sin^pliciré. Métius â trouvé pour le tnémé nombre la Valeur beaucoup pluà approchée f^. Enfin ia Valeur de TT, développée jusqu'à un certain onlrê de détimales, a été trouvée par d'autre!» calculateurs 3,lt4iS9^653589793a, etc., et on a teu la patience de prolonger ces décimales jusqu'à la cent vingt-septièhie ou même jusqu'à la cent-quarantième. Il est évident qu'une telle approximation équivaut à là vérité, et qu'on ne connaît pas miisux l^s tacines des puissance» ihiparfaites.

On expliquera, dans les problèmes suivants, deiiit des méthodes élémentaires les plhs simples pour obtenilr ces approximations.

PROPOSITION XIII

PROBLÂME.

Étant données les surfaces d'un polygone ré^ glalier inscrit et d'un' polygone semblable circonscrit, trouver les stirjaces des polygones ré* guliers inscrit et circonscrit d^un nombre de côtés double.

Soit AB le côté du polygone donné inscrit, EF fig-«^« parallèle à ÀB, celui du polygone s'^mblable circonscrit, C le centre du cercle; si on tire la corde AM et les tangentes AP, BQ, la coixle AM sera te côté tlu

1^4 GÉOMÉTEIB.

polygone inscrit d'un nombre de côtés double, ei PQ double de PM sera celui du polygone semblable * ^»' circonscrit *. Gela posé, comme la même construction aura lieu dans les différents angles égaux à ACAI, il suffit de considérer Tangle ACftI seul , et les triangles qui y sont contenus seront entre eux comme les polygones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit dont AB est un côté, B la surface du polygone semblable circonscrit, A' la surface du polygone dont AM est un côté, fi' la surface du polygone semblable circonscrit; A et B sont connus, il s'agit de trouver A' efc.B'. . .

i^ Les triangles AGD, ACM, dont le sommet commun est A, sont entre eux comme leurs bases CD , CM ; d'ailleurs ces triangles sont comme les polygones A et A' dont ils font partie; donc A: A':: CD: CM. Les triangles CAM, CME, dont le sommet commun est M, sont entre eux comme leurs bases CA, CE; ces mêmes triangles sont comme les polygones A' et B dont ils font partie ; donc A' : B : : C A : CE. Mais à cause des parallèles AD, ME, on a CD: CM:: CA:CE; donc A:A'::A':B; donc le polygone A'^ Tun de ceux que Ton cherche , est moyen propor* tionnel entre les deux polygones connus A et B , et on

a par conséquent A'irsl/AxB.

2? A cause de la hauteur commune CM , le triangle CPM est au triangle CPE comme PM est à PE ; mais la ligne CP divisant en deux parties égales •'7» 3 l'angle MCE, on a* PM:PE::CM:CE::CD:CA:: A: A'; donc CPM:CPE::A:A', et par suite, CPM: CPM4-CPE, ou CME::A:A+A'. Mais CMPA . ou 2CMP et CME sont entre eux comme les polygones B' et B dont ils font partie; donc B':B:: aA:A+A'. On a déjà déterminé A'; cette nouvelle proportion déterminera B', et on aura B' =

■ .,; donc, au moyen des polygones A et B," il est

facile de trouver les polygones A' et B' qui ont deux fois plus de côtés.

PROPOSITION XIV

PaOBLÂME.

Trouver le rapport approché de la circonférence au diamètre.

Soit le rayon du cercle = i , le côté du quarré insci'it sera V^2*y celui du quarré circonscrit sera égal au diamètre 2; donc la surface du quarré inscrit = 2, et celle du quarré circonscrit = 4* Maintenant, si on fait A=a et B=4, on trouvera par le problème précédent Toctogone inscrit A'=v/8=

2,8284271 , et l'octogone circonscrit B'=-— — ^z=

3,3i37o85. Connaissant ainsi les octogones inscrit et circonscrit^ on trouvera par leur moyen les polygones d'un nombre de côtés double ; .il faudra de nouveau supposer A= 2,8284271, B= 3,3 13708$, et

on aura A'=W^ÂxB = 3,0614674 , et B' = ^^

= 3,1825979. Ensuite ces polygones de 16 côtés ser-^ viront à connaître ceux de 32, et on continuera ainsi jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de ditTérence entre les polygones inscrit et circonscrit, au moins dans Tordre de décimales auquel on s'est arrêté , qui est le septième dans cet exemple. Arrivé i ce point, on conclura que le cercle est égal au dernier résultat, car le cercle doit toujours être compris entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit ; donc si ceux-ci ne diffèrent point entre eux jusqu^à un certain

126 6ÉpX?TEI9-

ordre de décimales, le cercle n'en différera pas non plas jusqu'au même ordre.

Voici le calcul de ces polygones prolongé jusqu'à ce qu'ils ne diffèrent plus dans le septième ordre de décimales.

If onbrt des cdtÀ> Polygone inscrit. Polygone circonscrit.

32 3,i9i44Si 3,1517249

128 3,i4o33ii 3,14^2236

De là je conclus que la surface du oerde =s 3,1415926. On pourrait ayoir du dout0 sur la ditrnièrè décimale à cause des erreurs qui Tiennent des parties négligées; mais le calcul a été fait avec une décimale de plus, pour être sûr du résultat que nous venons de trouver jusque dans la dernière décimale.

Puisque la surface du cercle est égale à la demiT circonférence multipliée par le rayon , le rayon étant I, la demi*circonférence est 3,i 415926; ou bien le diamètre étant i , la circonférence est 3,1415926; donc le rapport de la circonférence au diamètre dé^ signé ci-dessus par ir:= 3,1415926.

PRÇPOSJTION XV.

Le triante GÂJB est équivalent au triangle isoscèle DCE, ^8- i?»* (7«i a /e même angte C , r/ dont le c6té CE ^^a/ à CD e^f moyen proportionnel entre CA «/ CB. D« plus , si f angle CAB tfj/ droit, la perpendiculaire C¥ abaissée sur la hase du triangle isoscèle , sera moyenne proportionnelle entre le c6té CA et la demi^somme des côtés CA , CD.

Car, I® à cause de Tangle commun C, le triangle ABC est an triangle isoscèle DCË comme AC X CB est à DC X CE , ou

PC*; donc ces triangles seront équivalents, si DCssAC *^4* 3. XCB, ou si DC est moyei^ne proportionnelle entre AC et C.

2^ La perpendiculaire CGF coupant en deux parties égales Tangle ACB, ona*AG:GB:.:AC:CB, doùrésulte, co//î/?o- *ï7» 3. nendo, AG:AG+CB ou AB:: AC: AC-|-CB; mais AG est à AB comme le triangle ACG est au triangle ACB ou iCDF ; d^ailleurs , si Tangle A est droit , les triangles rectangles ACG» CDF, seront semblables, et donnerpnt AÇG:

GDFllACsCF^dono

AC*: a (Cf": : AC : AC + CB.

Bfultipliant le second rapport par AC , les antécédents de-

viendront égaux, et on aura par conséquent aÇF^^-C X

(AC + CB) , ou CF = AC X f^^"''^\ donc a^ si Tangle

4 ett droit , la pevpendicolaira CF sera moyenne proportionnelle entre le oâté AC et la demi-somme des e^iég 4C , CB.

PROPOSITION XVI

paoBLâxB.

Trouver un cercle qui diffère aussi peu qu*on vo(idrti d'un polygone régulier d»nné.

Soit proposé , par exemple, le qnarré BMNP ; abaissez du fif. t^t.

1^8 e^OMl&TAlB.

centre C la perpendiculaire CA sur le côté 9fB, et joignez CB

Le cercle décrit du rayon CA. est inscrit dans le quarré , et le cercle décrit du rayon CB est circonscrit à ce même quarré; le premier sera pins petit que le quarré, le second sera plus grand ; mais il s'agit de resserrer ces limites.

Prenez CD et CE égales chacune à la moyenne proportionnelle entre CA et CB , et joignez £D ; le triangle isoscèle 5x. CDË sera équivalent au triangle CAB* ; faites de même pour chacun des huit triangles qui composent le quarré , vons formerez ainsi un octogone régulier équivalent aa quarré BMNP. Le cercle décrit du rayon CF, moyen propor-

^. CA+CB . j 1,

tionnel entre CA et , sera mscnt dans 1 octogone , et

le cercle décrit du rayon CD lui sera circonscrit. Ainsi le premier sera plus petit que le quarré donné et le second plus grand.

Si on change de la même manière le triangle rectangle CDF en un triangle isoscèle équivalent, on formera par ce moyen un polygone régulier de seize côtés, équivalent an quarré proposé. Le cercle inscrit dans ce polygone sera plus petit que le quarré, et le cercle circonscrit sera plus grand.

On peut continuer ainsi jusqu'à ce que le rapport entre le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit diffère aussi peu qu*on voudra de Tégalité. Alors Tun et l'autfe cercle pourront être regardés comme équivalents an quarré proposé.

Scholie. Voici à quoi se réduit la recherche des rayons successifs. Soit a le rayon du cercle inscrit dans Tun àt% polygones trouvés , b le rayon du cercle circonscrit au même polygone; soient a! et hf les rayons semblables pour le polygone suivant qui a un nombre de côtés double. Suivant ce que nous avons démontré , V est une moyenne proportionnelle entre a et 6 , et a' est une moyenne proportionnelle

entre a et ; de sorte qu'on aura b'z=z\/aXà^ et «'=

|/*ïX ; donc les rayons a ei b d'un polygone étant

eonims, on en conclut facilement les rayons eC et &' da polygone suivant : et. on continuera ainsi jasqu'à ce que la dîlférence entre les deux rayons soit devenue insensible; alors Ton ou Taotre de ces rayons sera le rayon du cercle équivalent an quarré ou au polygone proposé.

Cette mëtbode est facile à pratiquer en lignes , puisque elle se réduit^à trouver des moyennes proportionnelles successives entre des lignes connues ; mais elle réussit encore mieux en nombres , et c*est une des plus commodes que la géométrie élémentaire puisse fournir pour trouver promptement le rapport approché de la circonférence au diamètre. Soit le c6té du quarré = a , le premier rayon inscrit CA sera I , et le premier rayon circonscrit CB sera \/ a ou i ,4 1 Aa 1 36. Faisant donc a=x, 6=: i,4i4^i36, on trouvera V-zzi 1,1892071 , et <!'=:: 1,098684 !• Ces nombres serviront à calculer les suivants d*après la loi de continuation.

Voici le résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres par les tables de logarithmes ordinaires.

Eajom dct oerclet circooscriti. Rayons dea cercle« inflcrits.

i,i43o5oo ^i,i2io863.

i,i3ioi49 1,1265639.

Maintenant que la première moitié des chiffres est la même des deux côtés, on pourra , au lieu des moyens géométriques , prendre les moyens arithmétiques , qui n'en diffèrenl que dans les décimales ultérieures. De cette manière l'opération s'abrège beaucoup, et les résultats sont :

Donc t»i3637g2 est à très- peu près le rayon du ctiraU égal en surface au qa^rré dont le c6té est 2. De là il est facile de trouyer le rapport de la eireonférefice %f^ ^Umètn : car on a démontré que la surface du cercle est égale au quarré de son rayon multipUé par le nombre « ; daac , si on diyise U surface 4 par le quarré de i^iaSSjga t on aiira la valeur de ir, qui se trouve par ce calcul de 3,|4 ^^9^^» ^^t comme on Ta trouvée par une autre métbod^-