LIVRE lY. X

PROPOSITION V

THÉORBXB.

Il ny a qu'une manière déformer le polygone AfiCDEF, a^^ec des côtés donnés et un dernier inconnu qui soit le diamètre de la demi' circonférence dans laquelle les autres cétés sont inscrits.

Car, siipx>o$ona qa*on a trouTé un cercle qui satisfasse à H* ^7^* la question ; si on prend un cercle plus grand y les cordes AB , BC , CD , etc. , répondront à des angles au centre plus petits. La somme de ces angles au centre sera donc moindre que deux angles droits; ainsi les extrémités des côtes donnés n'aboutiront plus aux eitrémités d'un diamètre* L'inconvénient contraire aura lieu si on prend un cercle plus petit; donc le polygone dont il s*agit ne peut être inscrit que dans un seul cercle.

Scholie. On peut changer à volonté Tordre des côtés AD , BC, CD , etc., et le diamètre du cercle circonscrit sera toujours le même , ainsi que la surface du polygone; car, quel que soit Tordre des arcs AB, BC, etc., il suffît que leur tomme fasse la demi -circonférence , et le polygone aura tOQJonrs la même surface , puisqu'il sera égal au demi* cercle moins les segments AB , BC , etc. , dont la somme est toujours la même.

PROPOSITION VI

THBOHBVB.

De tous les polygones formés avec des côtés donnés , le maximum est celui qu^on peut inscrire dans un cercle.

Soit ABCDEl^'G le polygone inscrit, et abcdefg le non> ^g* X77inscriptible formé avec des côtés égaux , en sorte qu'on a AB = <s^^ 'BCs^bcy etc.; je dis que le polygone inscrit ost plus grand que Fautre.

Tirez le diamètre £M; joignez AM , MB; sur a6 = AB Alites le triangle abm égal à ABM, et joignez em.

En Ycrtu de la proposition ÏY, le polygone EFGAM est

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plus grand que ef^m , à moins que celui-ci ne puisse être pareillement inscrit dans une demi - circonférence dont le côté em serait le diamètre , auquel cas les deux polygones seraient égaux en ^ertu de la proposition V. Par la même raison le polygone EDCBM est plus grand que cdcbm , sauf la même exception où il y aurait égalité. Donc le polygone entier EFGAMBCDE est plus grand que çfgambcde^ k moins qu'ils ne soient entièrement égaux : mais ils ne le sont pas, puisque Tun est inscrit dans le cercle , et que Tautre est supposé non - inscriptîble ; donc le polygone inscrit est le plus grand. Retranchant de part et d^autre les triangles égaux ABM , abm , U restera le polygone inscrit ABCDEFG plus grand que le non-inscriptîble abalefg,

Scholte. On démontrera , comme dans la proposition T, qu*îl ne peut y avoir qu'un seul cercle , et par conséquent qu*un seul polygone maximum qui satisfasse à la question; et ce polygone serait encore de même surface , de quelque manière qu'on changeât l'ordre de ses côtés.

PROPOSITION VII

THSORÂKB.

Le polygone régulier est un maximum entre tous les polygones isopérimètres et d*un même nombre de côtés*

Car, suivant le théorème II, le polygone maximum a tous ses côtés égaux; et, suivant le théorème précédent, il est inscriptîble dans le cercle; donc ce polygone est régulier.

PROPOSITION VIII

LBM MB.

Deux angles au centre , mesures dans deux cercles dijfè» rents , sont entre eux comme les arcs compris divisés par leurs rayons.

AB

H' ^1^' Ainsi l'angle C est à l'angle G comme le rapport —-^ est

AG