GI GH
:: 0:C9 ouDE: AB :: e-^ ;— . . Multipliant les antécédents
par OG et les conséquents parCG, on aura DÉX OGrABx CG : : Cl : GH. Mais les triangles semblables ODE, OFG, donnent OE : OG :: DE : FG , d'où résulte DE X OO = OE XFG; on aura demème ABxCG = CBxFG; doncOEX FG : CB X FG ;: CI : GH , ou OE : CB :: CI : GU. Si donc on fait voir que Tare GI est plus grand que Tare GH , il s'en suivra que Tapo thème OE est plus grand que CB.
l3$ GliOMBTail,
De l*aatre cAté de CF soit Mît la figure CKx entièrement égale à la figure CG:r , de sorte qu*on ait CK=CG, Tangle HOK = HCG , et Tare Kjr=xG ; la courbe K>G enydop- *9' p^a Tare KHG , et sera plus grande que cet arc \ Donc Gx, moitié de la courbe, est plus grande que GH moitié de Tare; donc , à plus forte raison , GI est plus grand que GH.
Il résulte de là que l'apothème OE est plus grand que CB : mais les deux polygones ayant même périmètre sont entre * 7* eux comme leurs apothèmes * ; donc le polygone qui a pour dcmi-c6té DE est plus grand que celui qui a pour demi-cÀté AB : le premier a le plus de côtés , puisque son angle au centre est le plus petit; donc de deux polygones réguliers isopérimètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand.
PROPOSITION X
THBOEBMB.
Le cercle est plus grand que ioui polygone isopénmètre. ^' ' ' U est déjà prouvé que de tons les polygones isopérimètres et d'un même nombre de côtés le polygone régulier est le plus grand; ainsi il ne s*agit plus que de comparer lé oeide à un polygone régulier quelconque isopérimètre. Soit Al le demi-côté de ce polygone , C son centre. Soit dana le oerde isopérimètre Tangle DOE=: AGI , et conséquemment Tare DE égal au demi -côté AI. Le polygone P est au cercle G comme le triangle AGI est au secteur ODE ; ainsi on aura P:G::^AIxCI.4D£xO£::Gl:OE. Soit menée au point E la tangente £G qui rencontre OD prolongé en G ; les tri^ angles semblables AGI, GOE, donneront la proportion GI: OE :: AI ou DE:GE ; donc P:G :: DE:G£, ou comme DEx \ OE qui est la mesure du secteur DOS est à GEx |OE qui est la mesure du triangle GOE : or le secteur est plus pedt que le triangle; donc P est plus petit que G, donc le cercle est plus grand que tout polygone isopérimètre.
