LES PLANS ET LES ANGLES SOLIDES

DBVIIYITIONS.

I. Unb ligne droite est perpendiculaire a un plan y lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son /^i^^ dans le plan*. Réciproquement *ï«'.4i le plan est perpendiculaire à la ligne.

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne rencontre le plan.

II. Une ligne est parallèle à un plan, lorsqu'elle ne peut le rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et lautre. Réciproquement le plan est parallèle à la ligne.

III. Deux plans sont parallèles entre eux, lorsqu'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et Tauti-e.

IV. Il sera défnontrë * que l'intersection commune • pr. 3. de deux plans qui se rencontrent est une ligne droite :

cela posé , Vangle ou Pinclinaison mutuelle de deux plans est la quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés Tun de l'autre; cette quantité se mesure* par Vangle que font entre elles les deux per- *pr.7. pendiculaires menées dans chacun de ces plans au même point de Tintersectiou commune.

Cet angle peut être aigu, droit, ou obtus.

V. S'il est droil, les deux plans sont perpendicU" kUres entre eux.

VI. Angle solide est Tespace angulaire compris entre plusieurs plans qui se réunissent en un même point.

i38 ciôUitKtt.

h* 109- Ainsi langle solide S est forme par la réunion des plans ASB, BSC, CSB, DSA,

Il faut au moins trois plans pour former un angle solide^

PROPOSITION PREMIÈRE

THBOaAMB.

Une ligne droite ne peut être en partie dans un plan , en partie au dehors.

Car, suivant la définition du plan, dès cp^une ligne droite a deux points communs avec \ux plan , elle est tout entière dans ce plan.

Scitolie. Pour reconnaître si une surface est plane, il faut appliquer une ligne droite en différents sens sur cette surface, et voir si elle touche la surface dans toute son étendue.

PROPOSITION II

TaioaAMfi.

Deux lignes droites qui se coupent sont dans un même plan , et en déterminent la position.

fig' x8<* Soient Afi, AC, deux lignes droites qui se coupent en A : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne droite AB ; si ensuite on fait tourner ce plan autour de AB , jusqu'à ce qu*il passe par le point C, alors la ligne AG, qui a deux de ses points A et G dans ce plan, y sera tout entière, donc la position de ce plan est déterminée par la seule condition de renfermer les deux droites AB, AC.

Corollaire I. Un triangle ABG, ou trois points A, B, G, non en ligne droite, déterminent la position d'un plan.

fig. x82. Corollaire IL Donc aussi deux parallèles AB, CD, déterminent la position d'un planj car si on mène la

t^ITRB ▼. l39

a^nte BF^ le plan des deux droites ÂE, EF, sera wlui des parallèles AB^ CD.

PROPOSITION III

THÉORÈME

Si deux pians se coupent j leur intersection commune sera une ligne droite.

Car, si dans les poinu communs aux deux plans on en trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite, les deux plans dont il s agit, passant chacun par ces trois points , ne feraient qu'un seul et même plan *, * >' ce qui est contre la supposition.

PROPOSITION IV

théorâms.

Si une ligne droite AP est perpendiculaire à ^g- xW. deux autres PB , PC , qui se croisent à son pied dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à une droite quelconque PQ menée par son pied dans le même plan , et ainsi elle sera perpendiculaire au plan MN.

Par un point Q, pris à volonté sur PQ, tire* la droite BC dans l'angle BPG, de manière que BQ= QC * , joignez A B , AQ , AG. *p~^-5»

La base BG étant divisée en deux parties égales au point Q , le triangle BPC donnera * , * i4. 3.

PC'-i-PB=2pQ + aQc!

Le triangle BAC donnera pareillement ,

ÂC Hh AB= aÂQ.V aQG.' Retranchant la première égalité de la seconde, et observant que les triangles APC , APB , tous deux

rectangles en P, donnent AC — PG=:AP, et AR —

PB=AP; on aura,

ÂP4-AP=aÂQ— aPQ.'

l4o OBOMlirElB.

Donc, en prenant les moitiés de part et d'autre^

on a AP=ÂQ— PQ*, ou ÂQ=Âp/+PQ', donc le • i3, 3. triangle APQ est rectangle en P*; donc AP est perpendiculaire à PQ.

Scholie. On voit par là , non-seulement qu il est possible qii^une ligne droite soit perpendiculaire à toutes celles qui passent par son pied dans un plan , mais que cela arrive toutes les fois que cette ligne est perpendiculaire à deux droites menées dans le plan; c'est ce qui démontre la légitimité de la définition I.

Corollaire I. La perpendiculaire AP est plus courte qu une oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la vraie distance du point A au plan PQ.

Corollaire II. Par un point P donné sur un plan ^ on ne peut élever qu^une seule perpendicubire à ce plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires par le même point P^ conduisez, suivant ces deux perpendiculaires , un plan dont Tintersection avec le plan MN soit PQ; alors les deux perpendiculaires dont il s agit seraient perpendiculaires à la ligne PQ , au même point et dans le même plan , ce qui est impossible.

Il est pareillement impossible dVbaisser d'un point donné hors d'un plan deux perpendicidaires à ce plan ; car soient AP, AQ, ces deux perpendiculaires, alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ, AQP, ce qui est impossible.

PROPOSITION V

THÉORBME.

Les obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales; et, de deux- obliques inégalement éloignées de la i^erpendiculaire^ celle qui s'en éloigne le vlus est la plus longue.