I.IVRX V. i4k

Car les angles APB, APC, APD étant droits, si on fig. «4. suppose les distances PB, PC, PD, égales entre elles, les triangles APB, APC, APD, auront un angle égal compris entre côtés égaux; donc ils seront égaux; donc les hypoténuses ou les obliques AB, AC, AD, seront égales entre elles. Pareillement , si la distance P£ est plus grande que PD ou son égale PB , il est clair que loblique AE sera plus grande que AB , ou son égale AD,

Corollaire. Toutes les obliques égales AB , AG , AD, etc., aboutissent à la circonférence BCD, dé* crite du pied de la perpendiculaire P comme centre} donc étant donné un point A hors d'un plan , si on ▼eut trouver sur ce plan le point P où tomberait la perpendiculaire abaissée de A, il faut marquer sur ce plan trois points B, G, D, également éloignés du point A , et chercher ensuite le centre du cercle qui passe par ces points; ce centre sera le point cherché P.

Scholie. Langle ABP est ce qu'on appelle YmcU^ naison de PobUque AB sur le plan MN ; on voit que cette inclinaison est égale pour toutes les obliques AB, AC, AD, etc. , qui s'écartent également de la perpen* diculaire; car tous les triangles ABP, ACP, ADP, etc.» sont égaux entre eux.

PROPOSITION VI

THBORÂM B.

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et Sg. iSS. BC une ligne située dans ce plan ; si du pied P de la perpendiculaire on a-baisse PD perpendiculaire sur BC , et quon joigne AD,ye dis que AD sera perpendiculaire à BC.

Prenez DB=DG, et joignez PB, PC , AB , AG : puisque DB=:DC, l'oblique PB := PC; et par rapport à Li perpendiculaire AP, puisque PB=3=PG|

t4t GSOMBVaXB.

^^* Toblique AB=: AC*; donc la ligne AD a deux de seé points A et D également distants des extrémités B et C ; donc AD est perpendiculaire sur le milieu de BG.

Corollaire. On Toit en même temps que fiC est perpendiculaire au plan APD, puisque BC est perpendiculaire à*la-fois aux deux droites AD, PD.

Scholie. Les deux lignes A£, BC, offrent l'exemple de deux lignes qui ne se rencontrent point, parce que elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est à-la-fois perpendiculaire à la ligne AP et à ia ligne BG. La distance PD est la plus courte entre ces deux lignes; car si on joint deux autres points, comme A et B , on aura Afi > AD , AD > PD; donc , à plus forte raison , AB > PD.

Les deux lignes AE, CB, quoique non situées dans un même plan, sont censées faire entre elles un angle droit, parce que AD et la parallèle menée par un de ses points à la ligne BG feraient entre elles un angle droit* De même la ligne AB et la ligne PD, qui représentent deux droites quelconques non situées dans le même plan, sont censées faire entre elles le même angle que ferait avec AB la parallèle à PD menée par un des points de AB.

PROPOSITION VI

VHBOEÂMB.

9g.i86. Si la ligne AP est perpendiculaire au plan' MN , toute ligne DE parallèle à AP sera perpendiculaire au même plan.

Suivant les parallèles AP, DE, conduiseï un plan dont l'intersection avec le plan MN sera PD; dans le plan MN menez BG perpendiculaire à PD , et joi« gnei AD.

LIVEB V. l43

Suivant le corollaire du théorème prdcëdent, BC est perpendiculaire au plan APDE; donc l'angle BDE . est droit : mais l'angle EDP est droit aussi, puisque AP est perpendiculaire à PD , et que DE est parallèle à AP;<lonc la ligne DE est perpendiculaire aux deux droites DP, DB; donc elle est perpendiculaire à leur planMN.

Corollaire h Réciproquement ai les droites APi DE fiOQt perpendiculaires au même plan MN, elles ««roQt parallèles; car si elles ne Tëtaient pas, oondui* ses par I0 point D une parallèle à AP, cette parallèle sera perpendiculaire au plan MN \ donc on pourrait i par un même point D, élever deux perpendiculaires à un même plan , ce qui est impossible ^ * 4«

Corollaire [I. Deux lignes A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car imaginez nn plan perpendiculaire à la ligne G, les lignes A et B, parallèles à cette perpendiculaire , seront perpendiculaires au même plan ; donc , par le corollaire précédent, elles seront parallèles entre elles.

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le même plan , sans quoi la proposition serait déjà

PROPOSITION VIII

vhbobAxb.

Si la ligne AB est parallèle à une droite CD fi^. 187. menée dans le plan MN , elle sera parallèle à ce plan.

Car si la ligne AB , qui est dans le plan ABCD, ren« contrait le plan MN , ce ne pourrait être qu'en quelque point de la ligne CD, intersection commune des deux plans : or, AB ne peut renconti*er CD, puisqu'elle lui est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non plus le plan MN; donc elle est paiallèle à ce plan\ *déA ai

l44 6BOMBTAIK.

PBOPOSIÏION IX.

THSOBiMB*

fig. i8«. Deux plans MN , PQ , perpendiculaires à une même droite AB , sont parallèles entre eux.

Car s'ils se rencontraient quelque part, soit O un de leurs points communs, et joignez OA, Ofi ; la ligne AB, perpendiculaire au plan MN, est perpeodicalaire à la droite O A menée par son pied dans ce plan ; par la même raison AB est perpendiculaire à BO \ donc OA et Ofi seraient deux perpendiculaires abaissées du même point O sur la même ligne droite, ce qui est impossible; donc les plans MN, PQ, ne peuYent se rencontrer ; donc ils sont parallèles.

PROPOSITION X

THÉOR an B.

85- ««S- Les intersections E F, G H, de eleiix plans parallèles MN, PQ, par un troisième plan FC, sont parallèles.

Car si les lignes EF, GH, situées dans un même plan , ne sont pas parallèles , prolongées elles se rencontreront ; donc les plans MN , PQ , dans lesquels elles sont, se rencontreraient aussi; donc ils ne seraient pas parallèles.

PROPOSITION XI

THioaâMB.

flg.iis. La ligne AB, perpendiculaire au plan MN^

est perpendiculaire au plan PQ parallèle à MN.

Ayant tiré à volonté la ligne BC dans le plan PQ,

suivant AB et BG, conduisez un plan AJBG dont

IMITEE ▼. ^ t45

finterseotion avec le plan MN soit AD , l'intersection AD sera parallèle à BC*; mais la ligne AB perpendi- * ««• culaire au plan MN est perpendiculaire à la droite AD ; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BG ; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à toute ligne BC menée par son pied dans le plan PQ , il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ.

PROPOSITION XII

THÉORàllB,

Les parallèles £G ^ FH , comprises entre deux H '^9plans parallèles MN , PQ , sont égales.

PsLT les parallèles EG, 1*'H, faites passer te plan EGHF, qui rencontrera les plans parallèles suivant EF et GH. Les intersections EF, 6H, sont parallèles entre elles % ainsi que EG, FH; donc la figure EGHF ' lo. est un parallélogramme; donc EG=:FH.

Corollaire. Il suit de là que deux plans paral&les sont partout à égale distance ; car si £G et FH sont perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, elles seront parallèles entre elles*; donc elles sont égales. * ?•

PROPOSITION XIIL

THBOEiMS.

Si deux angles CAE , DBF , non situés dans le H- 'g** même plan , ont leurs côtés parallèles et dirigés * ' dans le même sens^ ces angles seront égaux et leurs plans seront parallèles.

Prenez AC=BD, AE=BF, et joignez CE, DF AB , CD , EF. Pujsqne AC est égale et parallèle à BD la figure ABDC est un parallélogramme*; donc CD * "'3. est égale et parallèle à AB. Par une raison semblable

JO

r46 GIBOHBTRIB.

£F est égale et parallèle à AB ; donc anssi CD. eft égale et parallèle à E7 , la figarc CEFD eat donc un parallélogramme ^ et ainsi le côté CE est égal et parallèle à DF ; don6 les triangles CAE, DBF, sont équilatéraux entre eux; donc Tangle GAEzcr DBF.

En second lieu je dis que le plan AGE est parallèle au plan BDF ; car , supposons que le plan parallèle à BDF, mené par le point A, rencontre les lignes CD, EF, en d'autres points que C et E, par exemple en 6 et H ; alors , suivant la proposition xii , les trois lignes AB, GD , FH , seront égales : mais les trois AB^ GD, EF^ le sont déjà; donc on aurait CDssGD, et FH =:EF, ce qui est absurde ; donc le plan AGE est parallèle à BDF.

Corollaire. Si deux plans parallèles MN^ PQ, aoat rencontrés par deux autres plans GABD, EABF^ les angles CAS, DBF, formés par les intersections des plans parallèles I seront égaux; car rintersection AC •lo. est parallèle à BD*, A£ lest à BF, donc Tangle CA£ = DBF.

PROPOSITION ILIY.

THBO&BKB.

fig. i^. Si trois droites AB , CD , EF , non situées dans le même plan y sont égales et parallèles y les triangles ACE, BDF , formés de part et d'autre en joignant les extrémités de ces droites^ seront égaux , et leurs plans seront parallèles.

Car, puisque AB est égale et parallèle à CD^ là figure ABDC est un parallélogramme ; donc le eùhé AG est égal et parallèle à HD. Par une raison sem» Uable les côtés A£, BF, sont égaux et parallèles ainsi que CE ^ DF ; donc les deux triangles A£fi|

BDf* , «ODt égaux ; on prouvera d*ailleurs , comme dàtiê la propoaiûun préoëdente , que leurs plaii« sont pamllèlas.

PROPOSITION XV

T^iiORBMB.

Deux droites comprises entre trois plans panillèie.fy sont coupées en parties proportionnelles.

Supposons que la ligne AB rencontre les plans pa« fig. 191. rallèles MN , PQ , IIS , en A , Ë , B • et que la ligne • CD rencontre les mêmes plans en G, F, D; je dis qu'on aura AE : EB . : CF : FD.

Tirez AD qui rencontré le Jilan PQ en 6 ^ et joignez AC, EG, GF^ BD ; les intersections EG, BD, des plans parallèles PQ, RS, par le plan ABD, sont ptralièles ^ ; donc A E : E B ; : AG : CD ; pareillement les * 10. intersections AC, GF^ étant parallèles, on a AG :GL): : CF:FD ; donc^ à cause du rapport commun, AG: GD, on aura AE : ÈB : : CF : FO.

PROPOSITION xr.

Sou ABCB MH quadrilatère quelconque situé ou non situé ig, ig». dans un même plan; si on coupe les côtés opposés propor^ iionneUement par deux droites £F, GH, de sorte qu'on ait AE : EB : : DF : FC, er BG : CC : : AH : llDje dis que les droites EF, GHj se couperont en un point M.^ de manière qu'on aura HM:MG :: AÊ:£B, e/EM:MF:: AllrlID.

Conduisez Suivant Al) un plan quelconque A/^Hct) qui île paftse pas suivant GH; par les points E, D, C, F, menez à GUles ]iarallèles E*, B^, Ce, h/, qui rencontrent ce pian Hke^bfC, f, Acaose des parallèles B^, GH^ Cc*,onAum *t§^ 3, éH : Ho : 3 BG: OC : : Ali : UD ; donc * les triangles AH^ , DHc, » «o, 3. sont semblablesr. On aura ensuite ài$l0à::AElEB « et W:

I/(8 GBOHBTAIB.

c::DF:FC; donc Aeiebiiiy/i/c^ou^ componendo , kei l^f::Kb:'Dc; mais, à caïue des triangles semblables AEft, DUc, on a A^:Dc:: AH:HD; donc A«:D/:: AH:HD : d*aa- «20^ 3 leurs les triangles kHb , cHD , étant semblables , l'angle HA« =HD/; donc les triangles AHe, DH/', sont semblables*, donc Tangle AHe=zDH/. Il s*ensuit d'abord que eVL/^t une ligne droite , et qu*ainsi les trois parallèles £« , GH , F/, sont situées dans un même plan , lequel contiendra les deux droites £F, GH; donc celles-ci doheni se couper en mn point M. Ensuite, à cause des parallèles Ee^ MH, ¥f^ «m aura £M:MF::<?H:H/:: AH:HD.

Par une oonstviction semblable, rapportée au c6lé AB, on démontrerait que HM:MG:: A£:£B.

PROPOSITION XVII

THBORBMB.

«g. 19*3. V angle compris entre les deux plans MAN, MAP, peut être mesuré y conformément à la définition , par r angle N AP que font entre elles les deux perpendiculaires AN , AP , menées dans chacun de ces plans à Cintersection commune AM.

Pour démontrer la l^timitë de cette mesure, il faut prouver, i^ quelle est constante, ou qu^elle serait la même en quelque point de Tintersectton commune qu'on men&t les deux perpendiculaires.

En effet, si on prend un autre point M, et qu^on mené MG dans le plan MN, et MB dans le plan MP, perpendiculaires à l'intersection commune AM ; puisque MB et AP sont perpendiculaires à une même ligne AM, elles sont parallèles entre elles. Par la même raison MC eA parallèle à AN ; donc Tangle BMC =

* il PAN * ; donc il est indifférent de mener les perpendiculaires au point M ou au point A; l'angle compris sera toujours le mémee.

^^ 11 faut prouver que si langle des deux plans augmente ou diminue dans un certain rapport, Tangle PAN aug^mentera ou diminuera dans le même rapport.

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d'un rayon à volonté Tare NDP, du centre M et d'un rayon égal décrivex lare C£B , tirez AD à volonté ; les deux plans PAN, BMC, étant perpendiculaires à une même droite MA, seront parallèles^; donc les intersections «9. AD, ME, de ces deux plans par un troisième AMD, seront parallèles ; donc langle BME sera égal à PAD* * **•

Appelons pour un moment coin l'angle formé par deux plans MP , MN ; cela posé , si Tangle D AP était égal à DAN, il est clair que le coin DAMP serait égal au coin DAMN ; car la ba'se PAD se placerait exactement sur son égale DAN, la hauteur AM serait toujours la même ; donc les deux coins coïncideraient Tun avec Fautre. On voit de même que si l'angle DAP était contenu un certain nombre de fois juste dans langle PAN, le coin DAMP serait contenu autant de fois dans le coin PAMN. D ailleurs, du i-ap* port en nombre entier à un rapport quelconque la conclusion est légitime, et a été démontrée dans une circonstance tout-à-fait semblable * ; donc quel que * 17. soit le rapport de l'angle DAP à langle PAN , le coin DAMP sera dans ce même rapport avec le coin PAMN» donc l'angle NAP peut être pris pour la mesure du coin PAMN, ou de l'angle que font entre eux les deux plans MAP, MAN.

Scholie. n en est des angles formés par deux plans comme des angles formés par deux droites. Ainsi, lorsque deux plans se traversent mutuellement , les angles opposés au sommet sont égaux, et les angles adjacents valent ensemble deux angles droits ; donc si un plan est perpendiculaire à un autre , celui-ci est perpendiculaire au premier. Pareillement dans la rencontre des

iSo GBOMMTMim.

plans parallèles par un troisième plan , il existe les mêmes égalités et les mêmes propriétés que dans la rencontre de deux lignes parallèles par une troîaièflM ligne.

PROPOSITION XYIIL

THBOKBMB.

*«• 194* La ligne AP étant perpendiculaire cai plan MN, tout plan A PB, conduit suivant AP, so'Q perpendiculaue au plan MN.

Soit BC l'intersection des plans AB^ MN; si dans 1^ plan MN on mène DE perpendiculaire à BP, la ligne AP, étant perpendiculaire au plan MN, sera perpcn* diculaire à chacune des deux droites BG , DE : mais Tangle APD, formé par les deux perpendiculaires PA» PD| à Tintersection commune BP, mesure langle des deux plans AB, MN ; donc, puisque cet angle est droit,

*dér. 5. les deux pkins sont perpendiculaires entre eux\

SchoUd* Lorsque trois droites, telles que AP, BP, DP , sont perpendiculaires entre elles, chacune de ces droites est perpendiculaire au plan des deux autres et les trois pians sont perpendiculaires entre eiu*

PROPOSITION XIX, thAoeAhb.

cg 194. Si ieplun AB est perpendiculaire au plan MNf , et que dans le plan AB on mène la ligne P A peirpendioulaire à Vintersection commune PByj'e dis que PA sera perpendiculaire au plan MN.

Car si dans le plan MN on mène PD perpendieii. laire à PB, l'angle APD sera droit, puisque les pinns sont perpendiculaires entre eux; donc la ligne AP est perpendiculaire aux deux droites PB, PD; fient elle est perpendiculaire à leur plan MN.

LITEB T. iSl

Corollaire. Si le plan AB est perpendiculam an plan MN, et que par un point P de l'intersection commune on élère une perpendiculaire au plan MN ; je diâ que cette perpendioulaire sera dans le plan AB, car, si elle n'y était pas, on pourrait mener dans le plan AB une perpendiculaire AP à Tintenection eom» mune BP, laquelle serait en même temps perpendi* cuiaire au plan 1)IN ; done au même point P il y aurait deu^ perpendiculaires au plan ]k(Nf ce qui est tmposiible *. ^

PROPOSITION XX

THEORBHB.

Si deux plans AB , AD , ^ont perpendiculaires ^' '^^' 4 un troisiètne MN , leur intersectioi% commune AP sera perpendiculaire à ce troisième plan.

Car si par le point P on élève une perpendiculaire ^\x plan jyiNy cet^e perpendiculaire doit se trouver à* ia-iois dans le plan AB et dans le plan AD^ ; doqc elle *^^''9* est leur intersectio}! commune AP.

PROPOSITION XXI

THi&oaâitB.

Si un angle solide est formé par trois angles ^^ ^^ plans y la somme de eleux quelconques de ces angles sera plus grande que le troisième.

Il n^ a lieu à démontrer la proposition que lorsque Tangle plan qu'on compare à la somme des deux autres est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc l'angle soli4e 8 formé par trob -angles plans ASB> A6C, BSG, et supposons que langie ASB soit le plus grand des trois; je dis quon aura ASB < ASC -f- 13S(^.,

Dans le plan ASB faites l'angle BSD=BSC, tirez

lS9 GKOMBTEIK.

à ToloDté la droite ADB; et, ayant pris SC=SD joignez AC, BG.

Les deux côtés BS, SD, sont égaux aux deux BS, se, Tangle BSDz=BSG; donc les deux triangles BSD, BSG sont égaux; donc BD=BC. Mais on a AB< AG+BC ; retranchant dun côté BD, et de Tautre son égale BC , il restera AD < AG. Les deux côtés AS, SD, sont égaux aux deux AS, SC, le troisième AD *io, I. est plus petit que le troisième AG; donc* l'angle ASD <ASG. Ajoutant BSD=BSG, on aura ASD + BSD ou ASB<ASG + BSG.

PROPOSITION XXIL

THBOaÂMB.

La somme des angles plans qui forment un angle solide ^ est toujours moindre que quatre angles droits.

fijT.TgCi. Goupez langle solide S par un plan quelconque ABCDE; d'un point O pris dans ce plan menez à tous les angles les lignes OA, OB, OG, CD, OE.

La somme des angles des triangles ASB, BSG, etc., formés autour du sommet S , équivaut à la somme des angles d'un pareil nombre de triangles AOB, BOG ^ etc. , formés autour du sommet O. Mais au point B les angles ABO, OBG, pris ensemble, font Fangie ABG plus petit que la somme des angles ABS,

*ai. SBG''; de même au point G on a BGO + OGD< BGS + SCD ; et ainsi à tous les angles du polygone ABGDE. Il suit de là que dans les triangles dont le sommet est en O , la somme des angles à la base est plus petite que la somme des angles à la base dans les triangles dont le sommet est en S; donc, par compensation , la somme des angles formés autour du point O est plus grande que la somme des angles vatour du point S. Mais la somme des angles autour

LIVRB V. l53

du point O est égale à quatre angles droits*; donc la •5,i. somme des angles plans qui forment l'angle solide S est moindre que quatre angles droits.

SchoUe, Cette démonstration suppose que l'angle solide est convexe, ou que le plan dune face prolongée ne peut jamais couper Tangle solide ; s il en était autrement, la somme des angles plans n'aurait plus de bornes et pourrait être d'une grandeur quelconque,

PROPOSITION XXIII

THBOaÂMB.

Si deux angles solides sont composés de trois angles plans égaux chacun à chacun j les plans dans lesquels sont les angles égaux seront également inclinés entre eux.

Soit l'angle ASC=DTF, l'angle ASB=DTE, et l'angle BSC=ETF; je dis que les deux plans ASC, *«'^' ASB, auront entre eux une inclinaison égale à celle des plans DTF,DTE.

Ayant pris SB à volonté , menez BO, perpendicu^ bire au plan ASC; du point O, où cette perpendiculaire rencontre le plan , menez OA , OC , perpendiculaires sur SA, se ; joignez AB, BC; prenez ensuite TE=SB ; menez £P perpendiculaire sur le plan DTF ; du point P menez PD , PF , perpendiculaires sur TD, TF ; enfin joignez DE , EF. ^

Le triangle SAB est rectangle en A, et le triangle TDE en D* , et puisque l'angle ASB=DTE, on a «e, aussi SBA=TED, D'ailleurs SB = TE; donc le triangle SAB est égal au triangle TD£*; donc SA=s *5,x. TD, et AB=DE. On démontrera semblablement que SC=:TF, et BC = EF. Cela posé, le quadrilatère SAOC est égal au quadrilatère TDPF ; car posant l'angle ASC sur son égal DTF , à cause de

l54 GBOHBT&IB.

SA^ TD et SC=r TF , le point A tombera en D et le point G en F. En même tempA AO , perpendiculaire à SA, tombera $ur DP perpendiculaire à TD, et pa« reiUement OC cur PF; doue le point 0 tombera sur le point P^ et on aura AOs:DP. Mail le» triangles kOB, DP£, nont rectangles en O et P, Thypoténuse AB??:P£i et le côté AO=DP; donp ces triangles * '^* '• sont égaux %• donc langle OABsPDE. L'angle OAB est l'inclinaison des deux plans ASB, ASC; l'angle PDË est celle des deux plans DTE, DTF; donc ces deux inclinaisons sont égales entre elles.

Il faut observer cependant que Tangle A du triangle rectangle OAB n'est proprement Tinclinaison des deux plans ASB , ASC , que lorsque la perpendiculaire BO tombe , par rapport à SA , du même cdtë que SC; si elle tombait de l'autre câté, alors l'angle des deux plans serait obtus , et , joint à Tangle A du triangle OAB, il ferait deux angles droits. Mais dans le même cas l'angle des deux plans TDE, TDF y serait pareillement obtus, et, jointe à Fangk D du triangle DP£ , il ferait deux angles droits $ donc, comme l'angle A serait toujours égal à D, on conclurait de même que l'inclinaison des deux plang ASB, A&G, est égale à celle des deux pUns TDE, TDF.

Scholie* Si deux angles solides sont composés de tpoia angles plans égaux chacun à chacun , et qu'en même temps les angles égaux ou homologues soient dispoiês de la mime m^mière dans les deux angles solides, alors oes angles seront égaux , et posés Tua sur l'autre ils coïncideront. En effet on a déjà tu que le quadrilatère 8AOC peut être placé sur son égal TDPF) ainsi en plaçant SA sur TD, SC tombe aur TF> et le point O sur le point P. Mais, à cause de l'égalité des trianglea AOfi, DPE, la perpendicap Uire Oft au plan ASC est égak à la perpendioulaiM

LIVRB V. t55

PE au plan TDF ; d« plus ces perpendiculaires 5ont dirigées dans le même sens ; donc le point B tombem âur le point K, la ii^ne SB sur TE , et les deux angles solides emncideront entièrement lun avec l'autre.

Cette cQÏncidence cependant n'a lieu qu'en supposant que les angles plans ^aux sont disposés de la mém€ manière dans les deux angles solides; car si le9 angles plans égaui^ étaient disposés dans un ordre irn^ersey ou, ce qui revient au même, si Içs perpendiculaires OB , PE , au lieu d*étre dirigées dans le même sens par rapport xax plans ASC, DTF, étaient dirigées en sens contraires | alors il serait impossible de faire coïncider les deux angles solides l'un avec l'autre. H n en serait cependant pas moins vrai ^ conformément au théorème, que les plans dans lesquels sont les angles égaux seraient également inclinés enti*e eux ; ue sdite que les deux angles solides se» raient égaux dans toutes leurs parties constituantes, sans néanmoins pouvoir être superposés. Cette sorte d^égalité , qui n'est pas absolue ou de superposition, mérite d'être distinguée par une dénomination parti* culière : nous rappellerons égcUki par symétrie.

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit, qui sont formés par trois angles plans égaux elv^eun â chacun; nais disposés dans un ordre inverse, s'appelleront angles éga^x par $pnitriey ou simplement angles êjmétriques.

La même remarque s'applique aux angles solides formés de plus de trois angles plans : ainsi un angle solide formé par les angles plans A, B, C, D, E, et un autre angle solide formé par les mêmes angles dans MU ordre inverse A, E, D, C, B, peuvent êtr^ tels que les plans dans lesquels sont les angles égaia soient également inclinés entre eux. Ces deux angles solides, qui seraient égaux sans que la superposition

l56 GBOMÉTRIB.

fût possible, s'appelleront angles solides égaux pof^ ffmétrie, ou angles solides symétriques.

Dans les figures planes il n'y a point proprement dVgalité par symétrie , et toutes celles qu^on tou* drait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de superposition : la raison en est quon peut renverser une figure plane, et prendre indifféremment le dessus pour le dessous. Il en est autrement dans les solides, où la troisième dimension peut être prise dans deux sens différents.

PROPOSITION XXIV

VROBLÂMB.

Etant donnés les trois angles plans quiforment un angle solide^ trousser par une construction plane l'angle que deux de ces plans font entre eux.

H' 19^' Soit S Tangle solide proposé , dans lequel on connaît les trois angles plans ÂSB, ASC, BSG; on demande l'angle que font entre eux deux de ces plans, par exemple les plans ASB , ASC.

Imaginons qu'on ait fait la même construction que dans le théoiéipç précédent, l'angle OAD serait Tangle requis. Il s'agit donc de trouver le même angle par une constniction plane ou tracée sur un plan.

Pour cela faites sur im plan les angles B'SA, ASC, B'SG, égaux aux angles BSA, ASC, BSC , dans la figure solide ; prenez B'S et B^S égaux chacun a BS de la figure solide ; des points B' et B'' abaissez B'A et B"C perpendiculaires sur SA et SG , lesquelles se rencontreront en un point O. Du point A comme centre et du rayon AB' décriyez la demi-circonférence B'^E; au point O élevez sur B'E la perpendiculaire O^, qui rencontre la circonférence en 3, joignez A^,

tiVRB'V. rSy

et l'angle EA& sera riiiclinaison cherchée des deux plans ASC , ASB , dans l'angle solide.

Tout se réduit à faire voir que le triangle A0& de la figure plane est égal au triangle AOB de la figure solide. Or les deux triangles B'SA, BSA, sont rectangles en A, les angles en S sont égaux ; donc les angles en B et B' sont pareillement égaux. Mais Thypoté* nuse SB' est égale à l'hypoténuse SB ; donc ces triangles sont égaux; donc SA de la figure plane est égale à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égale Ai dans la figure plane est égale à AB dans la figure solide. On démontrera de même que SC est égal de part et d'autre ; d où il suit que le quadrilatère SA OC est égal dans Tune et dans Tautre figure , et qu'ainsi AO de la figure plane est égal à AO de la figure solide; donc dans Tune et dans lautre les triangles rectangles A03, AOB, ont Thypoténuse égale et un côté égal; donc ils sont égaux, et l'angle EA&, trouvé par la construction plane , est égal à Tinclinaison des deux plans SAB, SAC, dans Tangle solide.

Lorsque le point O tombe entre A et B' dans la figure plane, Tangle £A^ devient obtus, et mesure toujours la vraie inclinaison des plans : c'est pour cela que Ton a désigné par EA^, et non par OAd, Tinclinaison demandée, afin que la même solution convienne à tous les cas sans exception.

Scholie. On peut demander si, en prenant trois angles plans à volonté, on pourra former avec ces trois angles plans un angle solide.

D*abord il faut que la somme des trois angles donnés soit plus petite que quatre angles droits, sans quoi l'angle solide ne peut être formé*; il faut de plus qu'après avoir pris deux des angles à volonté B'SA, ASC, le troisième CSB" soit tel, que la perpendiculaire BX au côté SG rencontre le diamètre B'E entre

i58 GioMÂTmiB.

tes extrémités B' et E. Ainsi les UmitM de b gr»»deur de Tangle CSB' iOnt oelles qui font aboutir la perpendiculaire B"C aux points B' et K De ces points abaissez sur CS les perpendiculaires B'I , EK , qui rencontrent en I et K la circonférence décrite du rayon SB'', et les limites de langle CSB" seront CSI et CSK.

Mais dans le triangle isoscèle B^âl, la ligne CS prolongée étant perpendiculaire à la base B'I, on a Fangle CSI = CSB'=ASC-hASB'. Et dans le triangle isoscèle ESK , la ligne SC étant perpendiculaire à £K, on a langle CSK=:CSE. D ailleurs ^ à cause des triangles égaux ÀSE, ASB', Tangle ASEi=:ASB'; doncCSE ou CSK=A3C — ASB',

Il résulte de U que le problême sera possible toutes les fois que le troisième angle CâB'' sera plus petit que la somme des deux autres ASC^ ASB% et plus grand que leur difiérence : condition qui s accorde avec le théorème xxi j car, en vertu de ce théorème , il faut quon ait CSB" < ASC + ASB'; il faut aussi qu'on ait ASC < CSB' -h ASB', ou CSB" >ASC— ASB\

PROPOSITION XXV

»&oélâmb.

Étant donnés deux dm trûis angiê9 plûm quijof^went un angle mUdBy avtc Vangû que ieuts plans fMit entns eust ^ inmver U ttoisièim angle plan.

fig. 198. Soient ASG, ASB', les deux angles plans donnés, et supposons pour un moment que CSB" soit la tro»> * siènie angle que Ion cherche , alors , en fiùsant ia même construction que dans le problème précédent^ l'angle compris entra les plant des deux premîe/s aérait EA^. Or^ de mteta qabn datariuine l'angte

EA& par le moyen de GSB" ^ les deux autres étant donnés, de même on peut déterminer GSB* par le moyen de EA^^ oe qui résoudra le problème pro* posé.

Ayant pris âB' à Tolonté ^ abaissez sur SA la per* pendiculaire indéfinie B'E^ feites langle EA& égal à l'angle des deux plans donnés; du point b où le côté Ai renoontre la circonférence décrite du centre A et du rayon AB% abaissez sur AS la perpendiculaire M> ) et du point O abaîssex sur SG k perpendiculaire indéfinie OGB", que vous terminerez en B" de ma«. nière que SB'n==SB'; langle CSB" sera le troisième angle plan demandé.

Car si on forme Un angle solide aTeo les trois an-^ gles plans B'SA, ASG^ GSfi") Titiclinaison des plans où sont les angles donnés ASB% ASG, sera égale à l'angle donné EA*.

Scholie, Si un angle solide e^t quadruple y ou formé fig. 199. par quatre angles plans ASB , BSG , GSD , DSA , la connaissance de ces angles ne suffit pas pour déter. miner les inclinaisons mutuelles de leurs plans; car avec les mêmes angles plans on pourrait former une infinité d'angles solides; Mais si on ajoute une condition , par exemple , si on donne Tinclinaison des deux plans ASB , BSG, alors l'angle solide est entièrement déterminé, et on pourra trouver Finclinaison de deux de ses plans quelconques. En effet, imaginer un angle solide triple formé par les angles plans ASB , BSG , ASG ; les deux premiers angles sont donnés ^ ainsi que l'inclinaison de leurs plans; on pourra donc déterminer, par le problème qu'on vient de résoudre, le troisième angle ASG. Ensuite , si . on considère l'angle solide triple formé par les angles plans ASG, ÂSD , DSG , ces trois angles sont connus ; ainsi Tangle solide est entièrement déterminé. Mais l'angle solide quadruple est formé par la réunion des deux angles

l6o GBOMBTaiJB.

solides triples dont on vient de parler ; donc, puisque ces angles partiels sont connus et déterminés, langie total sera pareillement connu et déterminé.

L angle des deux plans ASD , DSC , se trouverait immédiatement par le moyen du second angle solide partiel. Quant à Tangle des deux plans B$C, CSD, il faudrait dans un angle solide partiel chercher Tangle compris entre les deux pians ASC , DSC , et dans lautre l'angle coniprb entre les deux plans ASC , BSC ; la somme de ces deux angles serait Fangle com-> pris entre les plans BSC, DSC.

On trouvera de la même manière que, pour déterminer un angle solide quintuple, il faut connaître , outre les cinq angles plans qui le composent, deux des inclinaisons mutuelles de leurs plans ; il en faudrait trois dans Taugle solide sextuple, et ainsi de suite.