LES POLYÈDRES

DEFINITIONS

l. \/n appelle solide polyèdre ^ ou simplement /lolyédrcy tout solide terminé par des plans ou des faces planes. (Ces plans sont nécessairement terminés euxmêmes par des lignes droites. ) On appelle en particulier tétraèdre le solide qui a quatre faces ; liexaèdre celui qui en a six ; octaèdre celui qui en a huit ; dodécaèdre celui qui en a douze ; icosaèdre celui qui en a vingt, etc.

Le tétiaèdre est le plus simple des polyèdres ; car il faut au moins trois plans pour former un angle solide, et ces trois plans laissent un vide qui , pour être fermé , exige au moins un quatrième plan.

IL L'intersection commune de deux faces adjacentes d'un polyèdre s'appelle côté ou eiréte du polyèdre.

III. On ?i^ipe\\t polyèdre régulier celui dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces polyèdres sont au nombre de cinq. Voyez Vappendice aux livres VI ^ VIL

IV. he prisme est un solide compris sous plusieurs plans parallélogrammes, t^minés de part et d'autre par deux plans polygones égaux et parallèles.

Pour construire ce solide , soit AfiCDE un polygone quelconque; si dans un plan parallèle à ABC, on mène les lignes FG, GH, HI, etc., égales et parallèles aux côtés AB, BC, CD, etc., ce qui formera

l6a GÉOMÉTRIE.

le polygone FGHIK égal à ABCDE; si ensuite on joint d'un plan à l'autre les sommets des angles homologues par les droites ÀF, BG, CH, etc., les faces ABGF, BCHG, etc., seront des parallélogrammes, et le solide ainsi formé ABCDEFGHIK sera un prisme.

V. Les polygones égaux et parallèles ABCDE, FGHIK, s appellent les bases du prisme; les autres plans parallélogrammes pris ensemble constituent la surface latérale ou corwexe du prisme. Les droites égales AF, BG, CH , etc,, s'appellent les côtés du prisme.

VI. La hauteur d^un prisme est la distance de ses deux bases , ou la perpendiculaire abaissée d'un point de la base supérieure sur le plan de la base inférieure.

VII. Un prisme est droit lorsque le? côtés AF, - BG, etc., sont perpendiculaires aux plans des ba^es:

alors chacun d eux est égal à la hauteur du prisme. Dans tout autre cas le prispie est oblique^ et la hauteur est plus petite <jue le côté.

VIII. Un prisme est triangulaire , quadrang^ lawe , pentagonal^ hexagonal y etc., ^lon que la base est un triangle, un quadrilatère, un peplagone, un hexagone, etc.

fig . ao6. IX. Le prisme qui a pour b^e un parallélogramme , a toutes ses faces parallélogrammique$; il s'appelle parallélipipede.

Le paraUélipipède est rectangle lorsque toutes |es laces sont des rectangles.

X. Parmi les pspralMUpipèdes rect^qgles on distingue le cube ou hexaèdre régulier compris sous six quarrés égaux.

fig. 196. XI. L^ pyramide est le ^lide forpié lorsque plusieurs pl^s triangulaires partent d*un même point $, et sont terminés aux différtînts côtés d'un même pUvi polygonal ABCDE.

Le pelygone A^CDE s'ftppélle la fci^ de h fj^st* mide , le point S en est le s^^mmet, et Vensetnble dos triangles ASB , BSC, e«o., ferme la suf^e een^^exe oa latdréde de la pyramide.

XII. La hoMUêur de la pyramide est If perpendieui laîre abaissée du sommet ^ur le plan de la jbase , prolongé s'il est néoeasaire.

XIIL La pyvamide est triafLgulaiF^, quadiHi^gu^ laire^ etc., selon que )a base est un triangle, un ^a*^ drilatère, etc.

XIV. Une pyramide est régtditre^ lorsque la base est un polygone régulier, et qu'en même temps la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base passe par le centre de cette base : cette ligne s'appelle alors \*uxe iie ta pyramide.

XV. Diagonale d^un polyèdre est la droite qui joint les sommets df deux angles solides non adjacents.

XVJ. J*9ppe)lef^i poljed^res ^rmétriques deux polyèdres quî, ayant une base oon^mune, sont Gpns«truits semblabletnenf ^ l'un au-dessus du plan de cette t^ç, l'aïufr^ ^H-àç^§DU4, awQ cçjije cQndjliion que 1^ sommets des angles solides homologues soient situés à égales distances du plan de la base, sur une même droite perpendiculaire à ce plan.

Par exemple, si la droite ST est perpendiculaire fig. ao?. au plan ABC, et qu'au point O, où elle rencontre ce plan , elle soit divisée en deux parties égales , les deux pyramides SÂBC, TABG, qui ont la base commune kfX^y seront dfiia polyèdn^s symétriqHes.

blesj lorsquVlles ont deux faces sembla^l^ cbai^Hi}^ à chacune, semblablement placées et également inclinées entre elles.

Ainsi, en suf^osant les angles ABC = DBF, BAC fig-^o'». 2n:£DF,ApS=3DET,BASsz3EDT, si en outre l'inoUnaison des plans ABS, AfiC^ est égale celle de

104 GXOMBTEII.

leurs homologues DTE, DEF, les pyruoides SABC, TDEF, seront semblables.

XVIII. Ayant formé un triangle avec les sommets de trois angles pris sur une même face ou base d*un polyèdre, on peut imaginer que les sommets des différents angles solides du polyèdre, situés hors du plan de cette base , soient ceux d'autant de pyramides triangulaires qui ont pour base commune le triangle désigné, et chacune de ces pyramides déterminera la position de chaque angle solide du polyèdre par rapport à la base. Cela posé :

Deux polyèdres sont semblables lorsquayant des bases semblables, les sommets des angles solides homologues, hors de ces bases, sont déterminés par des pyramides triangulaires semblables chacune à chacune.

XIX. J^appellerai sommets d'un polyèdre les points situés aux sommets de ses diCférenU an^es solides.

N, B, Tooile* polyèdres qae noua coiuidM»ns sont des polyèdres à angles saUlents on polyèdres conpexei. Hou appelona ainsi ceux dont la surface ne peut être rencontrée par nne ligne droite en pins de deux points. Dans ces sortes de polyèdres le plan prolongé d'nnc Iboe ne peut couper le solide ; il est donc impossible qja» le polyèdre soit en partie an-dessns dn plan d*nne fice, en partie an-detaona; il est tout entier d*un même o6té de ce plan.

PROPO^S.ÏTION PREMIÈRE.

VHBORBMB.

Deux polyèdres ne peuvent avoir les mêmes somtnets et en même nombre sans coïncider tun avec l'autre.

Car supposons lun des polyèdres déjà construit, si on veut en construire un autre qui ait les mêmes sommets et en même nombre, il laudra que. les plans de celui-ci ne passent pas tous par les mêmes points

LIVRB VI. î6*5

que dans le premier, sans quoi ils ne diiiéreraient pais lun de lautre : mais alors il est clair que quelques-uns des nouveaux plans couperaient le premier polyèdre; il y aurait des sommets au-dessus de ces plans , et des sommets au-dessous , ce qui ne peut convenir à un polyèdre convexe : donc, si deux polyèdres ont les mêmes sommets et en même nombre, ils doivent nécessairement coïncider lun a^ec l'autre.

Sckolie. Etant donnés de position les points A, B, C , K , etc. , qui doivent servir de sommets à un polyèdre, il est facile de décrire le polyèdre.

Choisissez d'abord trois points voisins D, £, H* fig. ao4. teb que le plan DBH passe, s'il y a lieu, par de nouveaux points K , C , mais laisse tous les autres d'un même côté, tous au-dessus du plan f ou tous au*dessous; le plan DEH ou DËHKG, ainsi déterminé, aéra une face du solide. Suivant un de ses câtés £H ^ conduisez un plan que vous ferez tourner jusqu'à ce qu'il rencontre un nouveau sommet F , ou plusieurs à-la-fois F , I ; vous aurez une seconde face qui sera FEH ou FEHI. Continuez ainsi en faisant passer des plans par les cotés trouvés jusqu'à ce que le solide soit terminé de toutes parts : ce solide sera le polyèdre * demandé , car il n'y en a pas deux qui puissent avoir les mêmes sommets.

PROPOSITION II

THBORBMB.

Dans deux polyèdres spnétriques les faces homologues sont égales chacune à chacune y et r inclinaison de deux faces adjacentes , dans un . de ces soliiles , est égale à C inclinaison des faces homologues dans foutre.

Soit ABCDE la base commune aux deux polyèdres, fif . ^o5.

l66 GBOMBTAl£.

soient M et N les soiiiniets de deux angles âoUdes quelconques de lun des polyèdres, M' et N' les sommets homologues de Taulré polyèdre; il faudra, sui- ▼ant la définUioo, que les droites MM', MN% soient perpendîfïulaires au plan ABC^ et quelles soient flivisées en deux parties égales aux points met n où elles rencontrent ce plAn. Gela posé, je dis que la distance MN est égale à M'N'.

Car si on fait tourtier le trapèze m M'J^'/i autour de rnn jusqua ce que son plan s'apt>lique sur le plaki mMN/i; à cause des angles droits en m et en is, le c6lè mW tombera sur son égal miM^ et aN' sur /zN ; donc lès deux trapèces eoincideront , et on aura MN = M'N'.

Soit P un troisième sommet du polyèdre supérîeiirf et P' son homologue daûs Fauti'è^ on aUra de même MPrirMT' et NPkN'Fç donê le triangie MNP^ qui joint trois sommets quelconques du poly^sdre sm^ périeur^ est égal eut triatigle M'N'P' qui joint les trois sommets homologues de Poutre poljredf^.

Si parmi ces triangles on considère ielileinent celii qui sont formés k la surface des polyèdres , on petot déjà condure qile les surfaces des déuii polyèdres sont composées dun mtrae nombre de triangles égauli chacun à chacun.

Je dis maintenant que si des triangles sont dans un même plan sur une fturfece et fotiiiebt une même face polygone, les triangles homologues seront dans un même plan sur Tautrb surface et formeront une face polygone égale.

En effet, soient MPN, ÎVPQ, 'Jeux frîàngles adjacents qu'on supposé dànè un même plan , et soient M'P'N', NT'Q', leurs homologhes. On a Tanglc MNP=M'N'P', l'angle PNQ=P'N'Q'j fet si on joigjaait MQ et M'Q', le triangle MNQ serait égal à M'N'Q', ainsi on aurait laiigle MNg = M'K'Q'.

LivaB VI. 167

Mais puisque MPNQ est un. seul plan, on a l'angle MNQ=]yC«>-hPNQ; donc on aura aussi M'N'Q' =crM'NT'-hP;N'Q'. Or, si les trois plans M'NT', P N'Q', M'N'Q', n'étaient pas confondus en un seul , ces trois plans formeraient un angle solide , et on aurait * langle M'N'Q' < M'N'P' + FN'Q'; -«©.s. donc, puisque cette condition n'a pas lieu, les deux tiiangles M'NT', P'N'Q', sont dans un même plan.

Il suit de là que chaque Face, soit triangulaire, soit polygone, dans un polyèdre, répond à une face égale dans Tautre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont compris sous un même nombre de plans égaux, chacun à chacun.

il reste à prouver que Tinclinaison de deux faces adjacentes quelconques .dans l'un des polyèdres est ^ale à l'inclinaison des deux faces homologues dans l'autre.

Soient MPN, NPQ, deux triangles formés sur i'aréte commune NP dans les plans des deux faces adjacentes; soient M'P'N', N'P'Q', leurs homologues; on peut concevoir en N un angle solide formé par les trois angles plans AINQ, MKP, PNQ, et en N' un angle solide formé par les trois M'IN'Q', M'N'P', P'N'Q'. Or, on a déjà prouvé que ce» anglçs pians sont égaux chacun à chacun; donc Tinclinaison des deux plans ATNP, PNQ, est égale à celle de leurs homologues M'N'P', P'N'Q' *. * "' '^•

Donc, dans les polyèdres symétriques, les faces sont égalèà chaètihe à chacune, et les plans de deux faces quelconques adjacentes d'un des solides, otit enue eux la même inèlinaison que ks plans des deux b:ces homologues dis l'autre solide.

Se/iolie. On peut remarquer que les angles solides d^un pofyedre sont les symétriques des angles solides de r autre polredrë; car si langle solide N est formé par les plans MNP, PNQ, QNR, etc., son hoiwrfo-

l68 GÉOMÉTRIE.

gue N' est formé par les plans M'N'F, P'N'Q', Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés dans le même ordre que les autres;, mais comme les deux apgles solides sont dans une situation inverse l'un par rapport à Tautre, il s'ensuit que la disposition réelle des plans qui forment Tangle solide N' est Tinverse de celle qui a lieu dans Tangle homologue N. D^ail* leurs les inclinaisons des plans consécuti£i sont égales dans l'un et dans l'autre angle solide; donc ces angles solides sont symétriques l'un de l'autre. Voyez le scholie de laprop. XXllI^ liu. V.

Cette remarque prouve qu'un polyèdre quelconque ne peut avoir qu*un seul polyèdre symétrique. Car si on construisait sur une autre base un nouveau polyèdre symétrique au polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient toujours symétriques des angles du polyèdre donné; donc ils seraient ^aux i ceux du polyèdre symétrique construit sur la première base. D'ailleurs les faces homologues seraient toujours égales; donc ces deux polyèdres symétriques cons« truits sui\une base ou sur une autre auraient les faces ^ales et les angles solides égaux ; donc ils coïncideraient par la superposition , et ne feraient qu'un seul et même polyèdre.

PROPOSITION III

THBORfiXB.

Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont un angle solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun et semblablement placés. fi(t. «oo. Soit la base ABCDE égale à la base eAaley le parallélogramme ABGF égal au parallélogramme abgf^ et le parallélogramme BCHG égal au parallélogramme bchg; je dis que le prisme ABCI sera égal au pi-isme abci.

LIVRB VI. 169

Car soit posée la base ABCDE sur son égsAealcde^ ces deux bases coïncideront : mais les trois angles plans qui forment Tangle solide 6 sont égaux aux trois angles plans qui foiment langle solide 6^ cba- ,

cun à chacun, savoir, ABC = aie y ABG^=:a6g, et GBG=: gbc; de plus ces angles sont semblablement placés : donc les angles solides B et ^ sont égaux , et par conséquent le côté B6 tombera sur son égal bg. On voit aussi qu'à cause des parallélogrammes égaux ABGF, aègfy le côté GF tombera sur son égal gf^ et semblablement GH sur gh; donc la base supérieure FGHIK coïncidera entièrement avec son égale fghïk y et les deux solides seront confondus en un seul, puisqu'ils auront les mêmes sommets ^. '*

Corollaire. Deux prismes droits qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont égaux. Car ayant le côté AB égal kaby et la hauteur BG égale à bgy le rectangle ABGF sera égal au rectangle abgf; il en sera de même des rectangles BGHC, bghe; ainsi les trois plans qui forment Tangle solide B sont égaux aux trois qui forment l'angle solide b. Donc les deux prismes sont égaux.

PROPOSITION IV

théoeAmb.

Dans tout parallélipipède les plans opposés sont égaux et parallèles.

Suivant la définition de ce solide, les bases ABGD , sg. ao6. EFGH, sont des parallélogrammes égaux, et leurs côtés sont parallèles : il reste donc à démontrer que la même chose a lieu pour deux faces latérales opposées , telles que AEHD, BFGC. Or, AD est égale et parallèle à BC, puis<}ue la figure ABCD est im parai-

I^O GSOMBT&IE.

lëlogramme ^ par une raison semblable AE est égale et parallèle à BF : donc 1 angle DAE est égal à Tangle •i3, 5. CBF*, et le plan DAE parallèle à CBF ; donc aussi le parallélogramme DAEH est égal au parallélogramme CBF6. On démontrera de même que les parallélogrammes opposés ABFE , DCGH y sont égaux et parallèles.

Corollaire. Puis({ue le parallélipipède est un solide compris sous six plans dont les opposés sont égaux et parallèles, il s'ensuit quune face quelconque et son opposée peuvent être prises pour les bases du parallélipipède.,

Scholie. Etant données trois droites, AB , AE ^ AD, passant par un même point A, et faisant entre elles des angles donnés, on peut sur ces trois droites conttruire un parallélipipède; il faut pour cela mener par lextrémité de chaque droite un plan parallèle au plan des deux autres; savoir , par le point B lui plan parallèle à DAE^ par le point D un plan parallèle à BAE , et par le point E un plan parallèle à BAD. Les renconfi-es mutuelle de ce\ plans formeront le parallélipipède demandé.

PROPOSITION V

THBOHÂMB.

Dans tout parallélipipède les angles soiides çppasés sont symétriques Vi/tn de Vautre ; et les diagonales menées pf$r les sommets de ces angles se coupent mutuellement en deux parties égales.

Cg. !ko6. Comparons , par exemple , l'angle iolide A i son opposé G; Tangle.EAB, égal à EFB, est aussi égal à HGC ♦ lan^le DAE — . DHE = GGF , et l'angle DAB aaDCB= HGF) donc les trois angles plans qui for^

LIVRB VI. 171

ment l'angle solide A sont égaux aux trois qui forment Tangle solide G, chacun à chacun; d ailleurs il est facile dii voir que leur disposition est différente dans Tun et dans lautre; donc i^ les deux angles solides A et G sont symétriques lun de l'autre *. * «3, 5.

En second lieu, imaginons deux diagonales £C, AG y menées lune et l'autre par des sommets opposés : puisque A£ est égale et parallèle à CG ^ la figure AEGG est un parallélogiamme; donc les diagonales £C , AG9 se couperont miituellement en deux parties égales. On démontrera de même que la diagonale £C et une autre DF se couperont aussi en deux parties égales; donc 2^ les quatre diagonales se couperont mutuellement en deux parties égales , dans un même point quon peut regarder comme le centre du parallélipipéde.

PROPOSITION Vi.

THÊORBMB.

Le pian BDHF, gui passe par deux arêtes fig. «07. parallèles opposées BF, DH, Mvise le parais léljpipèd^ AG en deux pristnes triangulaires ÂBbH£F, GHFBCD, symétriques Vun de l'autre.

D'abord iQes deux solides sont des t>rtsines( car les triangles ABD , £FH 5 ayant leurs oôtëaë^ux et parallèles , sont égaux ^ et en même temps les faces laténdes ABFE^ ADHE,BDHF, sont des parallélogrànlme^; donc le solide ABDHEF est un prisme : il en est de même du àolide GHFBCD. Je dis maintenant que ces deux prisnles sont syniétHques l'un de l'autre.

Sur la base ABD faites le prisme ABDE'F'H' que soit le symétrique du prisme ABUEFH. SuivâHt ce qui a été démontré % le plan ABF'C «si égal à " >•

ty2 GÉOMËTBIB.

ABFE, et le plan ADH'E' est égal à ADHE; mai:. si on compare le prisme GHFBCD au prisme ABDH'E'F', la base GHF est égale à ABD; le parallélogramme 6HDC, qui est égal à ABFE, estau5si égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBC, qui est égal à ADHE, est aussi égal à ADH'E'; donc les trois plans qui forment l'angle solide G dans le prisme GHFBCD, sont égaux aux trois plans qui forment langle solide A dans le prisme ABDH'E'F', chacun à chacun, d'ailleurs ils sont disposés seni- *3. blablement; donc ces deux prismes sont égaux *, et pourraient être superposés. Mais l'un d'eux ABDH'E'F' est symétrique du prisme ABDHEF; donc lautre, GHFBCD, est aussi le symétrique de ABDHEF.

PROPOSITION VIL

LEMKB.

6g. 90I. Dans tout prisme ABCI , les sections NOPQR STVXY, faites par des plans parallèles, sont des polygones égaux.

Car les côtés NO, ST, sont parallèles, comme étant les intersections de deux plans parallèles par un troi* sième plan ABGF; ces mêmes côtés NO, ST, sont compris entre les pai^allèles NS, OT, qui sont côtés du prisme; donc NO est égal à ST. Par une semblable raison les côtés OP, PQ, QR, etc., de la section NOPQR, sont égaux respectivement aux côtés TV, VX, XY, etc., de la section STVXY. D'ailleurs les côtés égaux étant en même temps parallèles, il s ensuit que les angles NOP, OPQ, etc., de la première section , sont égaux respectivement aux angles STV, TVX, etc., de la seconde. Donc les deux sections NOPQR^ STVXY , sont des polygones égaux.