I.IVRB VI

Corollaire. Toute section faite dans un prisme parallèlement à sa base , est égale à cette base.

PROPOSITION VIII

TRBOaâMB.

Les deux prismes triangulaires symétriques fig. aoS. ABDHEF, BCDFGH, dans lesquels se décompose le parallélipipède AG, sont équivalents entre eux.

Par les sommets B et F menez perpendiculairement au côté BF, les plans ^adcy Yehg^ qui rencontreront, d'une part en a, d, c, de Tautre en e, A, ^, les trois autres côtés AE, DH, CG, du même parallélipipède; les sections Bade, Tehg, seront des parallélogrammes égaux. Ces sections sont égales, parce qu^elles sont faites par des plans perpendiculaires à une même droite et par conséquent parallèles *j elles sont des parallélo- * 7. grammes, parce que deux côtés opposés d'une même section aB^dc, sont les intersections de deux plans parallèles ABFE, DCGH, par un même plan.

Par une raison semblable, la figure BaeF est un parallélogramme , ainsi que les autres faces latérales BFgc^ cdhg, ad/ie, du solide BadcFehg; donc ce solide est un prisme *; et ce prisme est droit, puisque *déf. 4. . le côté BF est perpendiculaire au plan de la base.

Cela posé, si par le plan BFHD on divise le prisme droit BA eu deux prism^ triangulaires droits d&deYh ^ BdcYhg; je dis que le prisme triangulaire oblique ABDEFHy sera équivalent au prisne triangulaire (droit à&deYk.

En effet ces deux prismes ayant une partie corn* mune ABDà^F, il suffira de prouver que les parties restantes, savoir, les solides BaADâf, YeEYUi sont équivalents entre eux.

Ij4 GÉOMBTRIS.

Or, à cause des parallëlogramines ÂBFE, oEFe^ les côtés AE, ae, égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux ; ainsi , ^n ôtant la partie commune Ai? , il restera Aa = Ee. On prouvera âe même que Drf= HA.

Maintenant , pour opérer la superposition des deux solides BaADd^ F^EHA^ plaçons la base Feh sur son ég^le Qo^; alors le ppinti? tombant en a, et le point k ^q df \e^ côtés ^^, àfl^ tojpfih^TQnt sur leifrs ^iix aJiy dD^ pujsquils son( perpencl^ciil^irea ^u même plan Bad. Donc les deux solides dont il s^agit coïncideront entièrement l'un avec Tautre; ^onç le prisme oblique BADFEH est équivalent au prisme droit BadFeh.

On démontrera semb]ablement que Ifi prisme obli* que BDCFH6 est équiv^l^nt au prisme droit. B^FA^* Mai^ les deux prismes droit3 Bo^fFci^i^p^cF^ sept égaux entre* eui^ , puisqu'ils ftfi^ ff^ême );^uteiir Bf, et que leurj ^î^se? Bad y Bdc s^^\ Rioift^ d'^ même S parallélogramnae *. Dgpp Ic^ djeujt pci^ip^ tfrîfni^laîres BApFEï?, BPCFHG, équiyçilent^ ^ 4^^ pr^fm^ égaux, spnt équivalents entf^ çu).

Corollaire, Tou^ RTismç «iWgl^lWf 4BDffEF est la moitié du parallélipipède 46 i filMWtr^t W^ M même angle solide A , ^y^ç \f» vg^es firétes AS, AD,AE.

PROPOSITION lï.

TH]iORiKB.

%.ft09. Si deux pwcUlélipipèdes AG, AL, oru une hase commune ABCD , et que leurs bases supé^ Heures EFGH , IKLM , soient comprises dani un même plan et entre les mêmes parallèles Et, HL, ces deux parallélipipèdes seront équiya' lents entre eux.

cor,

LXVRB VI. 175

Il peut airiver trois eas, selon que El est plus grand , plus petit ou égal à SF ; mais la démonstration est la même pour tous ; et d'abord je dis que le prisme triangulaire AEIDHM est égal au prisme triangulaire BFKCGL.

En effet, puisque AE est parallèle à BF et HE à GP, l'angle AEI = BFK, HEI=GFK, et HEAi^ GFB. De ces six angles les trois premiers forment l'angle solide E , les trois autres fonhent Tangle solide F ; donc , puisque les angles plans sont égaux chacun à chacun, et semblablement disposés, il s'ensuit que les angles solides E et F sont égaux. Maintenant, si on pose le prisme AEM sur le prbme BFL, et d'abord la baseW^FJ sur la base BFK, ces deux bases étant égales coïncideront; et puisque l'angle solide E est égal à Tangle solide F, le câtc EH tombera sur son égal FG : il n'en faut pas davantage podr prouver que les deux prismes coïncideront dans toute leur étendue; car la base AEI ef; Tar^t^ E^ déterminent le prisme AEM, comme la base BFK et Taréte FG déterminent le prisme BFL * : donc ces prismes sont *9. égaux.

jyiais si du solide AL on retranche Iç prispne AEM, il restera le parallélipipède AIL; et si du même solide AL on retianche le prisme BFL , il restera le parallélipipède AEG ; donc les deux parallélipipèdes AIL , AEG ) sont équivalents entre eux.

PROPOSITION X

Deux parallélipipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents entre eux.

Soit ABCD la base commune aux deux paralléli- fig. sio. pipèdes A6 , AL; puisqu'ils ont même hauteur, leurs bases supérieures EFGH , IKLM, seront sur le même

1^6 GBOMBT&IB.

plan. De plus les côtés EF et AB.sont égaux et parallèles , il en est de même de IK. et AB ; donc EF est égal et parallèle à IK : par une raison semblable GF est égal et parallèle à LK. Soient prolongés les càiés EF, HG, ainsi que LK, IM, jusqu'à ce que les uns et les autres forment par leurs intersections le parallélogramme NOPQ, il est clair que ce parallélogramme sera égal à chacune des bases EFGH, IKXiM. Or si on imagine un troisième parallélipipède qui, avec la même base inférieure ABCD, ait pour base supérieure NOPQ, ce troisième parallélipipède serait équivalent «^ au parallélipipède AG% puisqu'ajant même base infé» rieure, les bases supérieures sont comprises dans un même plan et entre les parallèles GQ , FN. Par^ même raison ce troisième parallélipipède serait équivalent au parallélipipède AL; donc les deux parallélipipèdes AG, AL, qui ont même base et même hauteur, sont équivalents enti^e eux.

PROPOSITION XI

THBORBMB.

Tout parallé/ipipède peut être changé en un parallélipipède rectangle équis^alent qui aura même hauteur et une base équii^alente .

fig. aïo. Soit AG le parallélipipède proposé; des points A , B, G , D, menez AI, BK, CL, DM, perpendiculaires au plan de la base , vous formerez ainsi le parallélipi* pède AL équivalent au parallélipipe de AG , et don t les faces latérales AK , BL, etc. , seront des rectangles. Si donc la base ABCD est un rectangle, AL sera le parallélipipède rectangle équivalent au parallélipipède proposé AG. Mais si ABCD n'est pas un rectangle , menez

6g. 911. ^o et BN perpendiculaires sur CD, ensuite OQ et NP perpendiculaires sur la base, vous aurez le solide AB^OIKPQ qui sera un parallélipipède rectangle :

LiTR-S VI. lyy -

en effet, par construction, la base ABNO et son op<* posée IKPQ sont des rectangles; les faces latérales en 84;^nt aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc. , sont perpendiculaires au plan de la base; donc le solide AP est un parallélipipède rectangle. Mais les deux parailélipipèdes AP, AL, peuvent être censés avoir même basc^ ABKI et même hauteur AO : donc ils sont équivalents; donc le parallélipipède AG, qu'on avait dV ^ bord changé en un parallélipipède équivalent AL, se •t'ait, trouve de nouveau changé. en un parallélipipède rectangle équivalent AP, qui a la même hauteur AI, et dont la base ABNO est équivalente à la base ABGD.

PROPOSITION XIL

THÉOaiMB.

Deux parallélipipedes rectangles AG, AL, Sg. aiij qui ont la même base ABCD, sont entre eux comme leurs hauteurs A£, AI.

Supposons d'abord que les hauteurs A£, AI, soient entre elles comme deux nombres entiers, par exemple, comme 1 5 est à 8. On divisera AE en 1 5 parties égales, dont AI contiendra 8, et par les points de division x, y y z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. Ces plans partageront le solide AG en i5 parallélipipedes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme ayant des bases égales et des hauteurs égalée; des bases égales, patce que toute section comme MIKL, faite dans un prisme parallèlement à sa base ABGD, est égaie à cette base*; des hauteurs égales, parce que ces hau- « ^, leurs sont les divisions mêmes A-r, xjr^ xz^ etc. Or, de ces i5 parallélipipedes égaux, huit sont contenue dans AL; donc le solide AG est au solide AL comme i5 est à 8, ou en général comme ^ hauteur AE est à la hauteur AL

jy^ ciouittiin.

En second lien, si le rapport de AB à AI «c peitt s'exprimer en nombres , je dis qu'on n'en aura pas moins solid. AG : solid. AL : : AE : Al. Car, «cette proportion n'a pas lieu, supposons qu on ait sol, AG : sol. AL : : AE : AO. Divisez AE en parties égales dont chacune soit plus petite que OI, il y aura au moins un point de division m entre O et L Soit P le paral-

r . léiipipède qui a pour base ABCD et pàixr hauteur Am; puisque les hauteurs AE, Am sont entre elles comme deux nombres entiers, on aura soi, AG : P :: AE : A/71. Mais on a/par hypothèse, soi. AG : sol. AL :: AE : AO ; de là résulte sol. AL : P : î AO : Am. Mais AO est plus grand que Am; donc il faudrait, pour que la proportion eût lieu, que le solide AL tdt plus grand que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est impossible que le quatrième terme de la proportion sol. aG : soL AL : : AE : j?, soit une ligne plus grande

• que AI. Par un raisonnement semblable on démon-

trerait que le quatrième terme ne peut être plus petit que Al ; donc il est égal à AI ; donc les parallelipipèdes rectangles de même busfi sont entre eux oomin^ leui'S hauteurs.

PROPOSITION XIIL

THBoaâii^. .

fg.«x3. Deux paraHélipipèdes rectangles AG, AK, qui ont m^tne hauteur AE, sont entre eux comme leurs ha^es ABCD , AMNO.

Ayant placé les deui( solides l'un à côté d« l'aulre^ comme la figure lea représente, prolongea la plan ONUL» jusqu'à ce qu'il rencontre le pUn DCGJi suL -vant PQ, vous aurez un troi&ième pai^Uéiipipède AQ^ qu'on pourra comparer à chacun des parallelipipèdes AG ^ AK. Les deux solides AG, AQ, ayaiil miôie Îmm

LITHÈ ri. t^0

AEHD, tènt entre eux comme leurs hauteurs kO^AAf pareillement les deux solides AQ, AK, ayant même basé AOI^B^ sont entre eux comme leurs hauteurs

AD, Ali. Ainsi on aura les deux proportions,

soi. AG : sol. AQ :: AÔ : AO,

soi. AQ : sol. AK :: AD : AM.

Multipliant ces deux proportion^ par ordre , et omet* tant, dans le résultat, le multiplicateur commun sol AQ, on aura,

sol. AG : sol. AK :: AB x AD : AO h AM. Mais AB x AD représente la base ABCD, et AO X AM représente la base AMIfO ; donc deux paralléUpi« pèdes rectangles de même hauteur sont entre eux oonme leurs bases.

PROPOSITION XIV

Deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs hases par leurs hauteurs , ou comme les produits de leurs trois dimensions.

' Car ayant placé les deux solides AG, AZ, de nuu> fig. tiS nière que leurs surfaces aient l'angle commun fiAË^ prolongez les plans nécessaires pour former le ta)isMme paraliélipipède AK. de même hauteur avec le parallélipipède AG. On aura, par la propositÂon pré« eédente,

sol. AG : soL AK :: ABCD : AMNO.

Mais les deux pamlléUpipèdes AK , A:£, qui ont même base AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs

AE, AK; ainsi on a,

sol.AKxsol. kZ :: AE : AX.

Mtdtipliont cei deux proportions par ordre, et oraet«

|8o GBOMBTAIE» '

tant 9 dans le résultat, le multiplicateur commilA »L AK, on aura

soL AG : sol. AZ :: ABGDxAE : AMNOxAX. A la place des bases ABGD et AMNO, on peut mettre AB X AD et AO x AM , ce qui donnera ,

sol. AG : soLkluii ABx ADx AE : AOx AMx AX. Donc deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux, etc.

Scholie. Il suit de là qu'on peut prendre pour mesure dun parallélipipède rectangle le pi'oduit de sa base par sa hauteur, ou le produit de ses trois dimensions. C'est sur ce principe que nous évaluerons tous les autres solides.

Pour l'intelligence de cette mesure il faut se rap* peler qu'on entend par produit de deux ou de plusieurs lignes, le produit des nombres qui représentent ces lignes, et ces nombres dépendent de l'unité linéaire qu'on peut prendre à volonté : cela posé, le produit des trois dimensions d'un parallélipipède est un nombre qui ne signifie rien en lui-mâme, et qui serait différent si on avait pris une autre unité linéaire. Mais si on multiplie de même les trois dimensions d'un autre parallélipipède, en les évaluant d'après la même unité linéaire, les deux produits seront entre eux comme les solides, et donneront l'idée de leur grandeur relative.

La grandeur d'un solide, son volume ou son étendue constituent ce qu'on appelle sa solidité^ et le mot de solidité est employé particulièrement pour désigner la mesure d'iHi solide : ainsi on dit que la solidité d'un parallélipipède rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur , ou au produit de ses trois dimensions.

Les trois dimensions du cube étant égales entre elles, si le coté est i, la solidité sera i X i-hi,ou i ; fti le côte est 2 , la solidité sera ^><3Hd|0tt>{;4ile

LtVRfi Vt. ï9i

cAtë est 3, la solidité sera 3 x 3 X 3, ou 07, et ainsi dé suite; ainsi les côtés des cubes étant comme les nombre^ I', 2, 3, etc., les cubes eux-mêmes ou leurs solidités sont comme les nombres i, 8, 27, etc. De là vient qu'on appelle en arithmétique cu5e d'un nombre le produit qui résulte de trois facteurs égaux à ce nombre.

Si on proj^osait de faille un cube double d'un cube donné, il faudrait que le côté du cube cherché fi!it au côté du cube donné comme la racine cube de 2 est à lunité. Or on trouve facilement, par une construction géométrique, la racine quarrée de 2 ; mais on ne peut pas trouver de même sa racine cube , du moins par les simples opérations de la géométrie élémentaire, lesquelles consistent à n'employer que des lignes droites dont on connaît deux points, et des cercles' dont les centres et les rayons sont déterminés.

A raison de cette difficulté le problème de la duplication du cube a été célèbre parmi les anciens géomètres, comme celui de la trisection de F angle ^ qui est à -peu -près du même ordre. Mais on connaît depuis long- temps les solutions dont ces sortes de problêmes sont susceptibles , lesquelles , quoique moins simples que les constructions de la géométrie élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes ^ ni moins rigoureuses.

PROPOSITION XV

THÉORBME.

La solidité d*^n parallélipipède^ et en général la solidité d*un prisme quelconque ^ est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car i^ un parallélipipède quelconque est équiv;ii* lent à un parallélipipède rectangle de même hauteur tX de base écjuivalente*, Or la ^çliclité de çelul-ci e«t

i9a GÉoMiTatx.

égale à sa base multipliée par sa hauteur; donc la solidité du premier est pareillement égale au produit de sa base par sa hauteur.

â^ Tout prisme triangulaire est la moitié du parai'* lélipipède construit de manière qu'il ait la même hau« ^^* leur et une base double*. Or la solidité de celui^'^ci est égale à sa base multipliée par sa hauteur ; donc celle du prisme triangulaire est égale au produit de sa base, moitié de celle du parallélipipède^ multipliée, par sa hauteur.

3^ Un prisme quelconque peut être partagé en au« tant de prismes triangulaires de même hauteur qu'on peut former de triangles dans le polygone qui lui s^t de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire est égale à sa basé multipliée par sa hauteur ; et puisque la hauteur est la même pour tous, il s'ensuit que la somme de tous les prismes partiels <era égale à la somme de tous les triangles qui leur serrent de bases, multipliée par la hauteur commune. Donc la solidité d'un prisme polygonal quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire* Si on compare deux prismes qui ont mêtne hauteui^^ les produits des bases par les hauteurs seront comme les bases; donc deux prismes de même hauteur sont entre eux comms leurs bases; par une raison semblable, deux prismes de même base sont entre eux comme leurs bautekrs*,

PROPOSITION XVI

LBKXB.

fig.ai4. St une pyramide SABCDE e^ coupée par un plan abd parallèle à sa base,

r Les côtés SA, SB, SC,.... et la kauteurSO, seront divisés proportionnelletnent en a, b, c, . . efo , a* La section abcde sera un polygone sembla*' ble à la base ABCDE.

iitriis VI. i83

Cât t^ Itt fhm ABC, aie., ^unt pa^^lèles^ leur« inlerseetioTMt AB^ aè^ par ttn trokième plan SAfi> seront parallèleA*) donc l«s triangles SAB, -Sa3, sont *iO|S^ semblables, et on a la proportion SA: Sa:: Sfi : Sa; on aurait de même SB : S& :: SC : Se;, et ainsi dé suite. Donc tous les côtes SA, 8B, SU, etc., sont coupés proportionnellement en a, 3, c, etc. La hauteur SO est coupée dans la niéme proportion au point o; car BO et io sont parallèles, et ainsi on a SO:&»::SB:S&.

ao Puisque ai est parallèle k AB^ ie à BG^ cd k CD, etc., langle abc = ABC ^ l'angle &crf=:BCD, et ainsi de suite. De plus, à cause des triangles sembla- Iles SAB, S^*, on à AB : a* r : SB : 8* î et i cauàe des triangles settiblables SBC, S^<?, oti a SB : S^ : : fiC : te; âbnc AB : a3 : : BC : Bc; on aurait de même tiC : ic :t CD : édj 6t ainsi de suite. Donc les pdljrgories ABCDB, ahcde^ otit léS angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels ; donc \U sont setli<> blables.

CôtoUàtte. Soieut SABCDE, SXYZ, d«i* pyM*. mides dont le âomitièt e%t cMnmUri, et qui dtit même hauteur, ou dont les bases sont situées dans un même jilan ; si on coupe ces pyramitto par un même plan parallèle au plan des bases, «t qull en résulte les aeètious ahcde^' âcj%; je dis qui; Us section^ abcde^ lyt , seront entre elles comme les bases ABGDE , XYZ.

Caf lés polygones ABCDË, abcdé^ éutut éeiublables, leuts aftrlaces sotit comme le» quaffés des côtéa ho*mul^ei AB, àh; maia AB \ aè\iSA\^\ donc

ABCDE : alcde : : SA •* Sa.'l^ar la même raison, llTZ :

a^ : : SX : Sa*, liais puisque abcxjrz n'est qu'un ménae plan^ on a ausai.SA : Stf }: SX : Sjb\ donc ABGD£ s abcde 2: XYZ ; a:j%$ donc les sections tfte</<?«

l84 GBOMST&It.

sejrz , sont entre elles comme les bases ABQDE, XTZ. Donc si les bases ABCDE, XTZ sont équivalences, les « sections faites à égale hauteur sont paraUement

équivalentes.

PROPOSITION XVIL

THBOmiMS.

Deux pyramides triangulaires qui ont des bar ses équwalerUes et des hauteurs égales j sont équivalentes.

fig.iiS. Soient S ABC, sabc les deux pyramides dont les bases ABC, o^, que nous supposons placées sur un même plan^ sont équivalentes et qui ont même baur teur TA; si ces pyramides ne sont pas équivalentes, soit^a^c la plus petiteet soit Aria hauteur d'un prisme qui étant construit sur la base ABC, serait égal à leur différence.

Divisez la hauteur commune AT en parties ^[ales plus petites que A^, et soit k une de ces parties; parles points de division de la hauteur, faites passer des plans parallèles au plan des bases; les sections faites par chacun de ces plans dans les deux pyramides, seront

'««. équivalentes*, telles que DEF et tlefj GHI et ghi^ etc. Cela posé, sur les triangles ABC, DEF, GHI, etc., pris pour bases, construisez des prismes extérieurs qui aient pour arêtes les parties AD, DG, 6K, etc. du coté SA ; de môme sur les tringles def^ ghi^ klm^ eu* pris pour bases , construisez dans la seconde pyramide des prismes intérieurs qui aient pour arêtes les parties correspondantes du cetera; tous ces prismes paitiels auront pour hauteur commune k.

La somme des prismes extérieurs de la pyramide SABC est plus grande que cette pyramide, la sommû

«or.

^IVEB VI. iSS

des prbtneft intérieurs de la pyramide sabc est plus petite que cette pyramide; donc par ces deux raisons la différeoce entre les deux sommes de prismes devra être plus grande que la différence entre les deux pyramides*

Or à parti^ des bases ABC, abc^ le second prisme extérieur DEFG est équivalent au premier prisme intérieur drfay puisque leurs bases DEF, def^ sont équivalentes et qu'ils ont une même hauteur k ; sont équivalents par la même raison le troisième prisme extérieur GHIK et le second intérieur gtàd^ le quatrième extérieur et le troisième intérieur, ainsi de «uite jusqu'au dernier des uns et des autres. Donc tous les prismes extérieurs de la pyramide SABC, à l'exception du premier ABCD , ont leurs équivaleuts dans les prismes intérieurs de la pyramide sabc. Doiie le prisme ABCD est la différence entre la somme des prismes extérieurs dé la pyramide SABC et la somme des prismes intérieurs de la pyramide sabc; mais la différence de ces deux sommes est plus grande que la différence des deux pyraipides; donc il faudrait que le prisme ABCD filit plus grand que le prisme ABGX; or au contraire iLest plus petit, puisqu*ils ont une même base ABC, et que la hauteur k du premier est moindre que la hauteur kx du second. Donc rhypothèse d*où Ton est parti ne saurait avoir lieu; donc les deux pyramides SABC, sabc^ de bases équivalentes et de hauteurs égales , sont jéquivalentef*

PROPOSITION XVIII

TH ioxâlIB.

ToiUe pyramide triangulaire est le tiers du prisme triangulaire de même base et die même hauteur.

Soit SABC une pyramide triangulaire , ABCDES un *g- w*.

28$ 6X0HBTEIE.

pridihe triangulaire de même base et de néme henteiitfyje (li« que la pyramide cai le tien du priaroe*

Retranches du prisme la pjraœide.SABG ^ il restera le solide SACDE, qu^oti peut eonsîdëDer comlne une. pyramide quadrangiilaire donc le sommet eal S et qui a pour t^se le parallélogratilnie ACDE ; tire» la diago- «aie CE et conduisez le plan SCE qui partagera la py* ramide quadrangulairt on deus pyramides triangulaires SACE SOCË* Cea deux pyramklea ont p0ur hauteut commune la perpendioidaire abaissée du sommet S sur le plan ACDE ; elles ont des bases égales, puis^pa les triangles AGE , DG E, sont les deux moitiés du méma parallélogramme; doneles deux pyramides SAGE, SDCE y sont équiralentes entre elles ) mais la pyrainîde SDCË et la pyraitiide SABC ont des bases égales ABG , DES; elles ont aussi même hauteur ^ car cette faauienr est la .distance des plans parallèles ABC , DES« Donc ka deux pyramides SABC, SDCE^ aimt équiTaleutct { Bdais an a démontré que la pyramide SDGE est équi<* Talente à la pyramide SAGE ; doneles trois pyramides £ABC , SDCE, SAGE^ qui composent le prisme ABD aont équivalentes entre elles. Ddilc la pyramide SABG est le tiei's du prisme ABD qui a • nsênte baie et uiérAe hauteur.

Corollaire, ta solidité d une pyramide Màri^lalM est égale au tiers du produit de sa base par êA, hâutétir

PROPOSITIOF XIX.

«g 114. Toute pyramide SABGDE a pour mesure le tiers du pwduU de sa basé ABCDB par M hauteur AO.

Car en faisant passer les plans SEB , SEC , par les

diagonaleA £B , EC , on divuera la pyramide polygo< siale SABCDë on plusieurs pyramides triangulaire*. qui auront toutes la même hauteur SO. Mais par le. tli^oreme précédent chacune de «ces pyramides se mesure en multipliant chacune des bpses AB£ | BCEy CD£ 5 par le tiers de sa hauteur SO ; donc la somme des pyramides triangulaires , ou la pyramide polygo* naW SABCDE, aura pour mesure la somme des triangles AB£, BC£, CD£ , ou le polygone ABCD£^ multiplié par -^SO; donc toute pyramide a pour me^

sure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. Corollaire L Toute pyramide est le tiers du prisme

de même base et de même hauteur.

' Corollaire II. Deux pyramides de même hauteur ôont entre elles comme leurs bases , et deux pyramides de même base sont entre elles comme leur^ hauteurs.

Scholie. On peut évaluer la solidité de tout corps polyèdre en le décomposant en pyramides , et cette décomposition peut se faire de plusieurs manières : une des plus simples est de faire passer les plans de division par le sommet d^un même angle solide \ alors on aura autant de pyramides partielles qu'il y a de faces dans le polyèdre , excepté celles qui forment Tangle solide d*où partent les plans d'e division.

PROPOSITION XX

THBOmAltB.

Deux polyèdres symétrique$ .êont êqu4valerU$ ent^ eux ou égaux en solidité.

Car i^ deux pyramides triangulaires symétriques, %ftoi. telles que SABG, TABC, ont pour mesure commune

t$9 GBOMliT&IÏ.

le produit de la base ABC par le tiers de la hauteur SO ou TO; donc ces pyramides sont équivalentes entre elles.

a** Si on partage d une manière quelconque Fun des polyèdres symétriques en pyramides triangulaires, on pourra partager de même l'autre polyèdre en pyramides triangulaires symétriques; or les pyramides triangulaires symétriques sont équiyalentes chacune à chacune ; donc les polyèdres entiers seront équitalents entre eux ou égaux en solidité.

Scholie. Cette proposition semblait résulter immédiatement de la proposition II , où Ton a fait Toir que dans deux polyèdres symétriques, toutes les parties constituantes dun solide sont égales aux parties constituantes de Tautre; mais il nen était pas moins né* cessaire diS la démontrer d^me manière rigoureuse.

PROPOSITION XXL

THÉORâlIB.

Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base^ le trône qui reste en étant la petite pyramide y est égal à la somme de trois pyramides qUi auraient pour hauteur commune fa hauteur du tronc ^ et dont les bases seraient la base inférieure du tronc j sa base supérieure ^ et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. ^

Soit ABCDE une pyramide coupée par le plan abd parallèle à la base ; soit TF6H une pyramide triangulaire dont la base et la hauteur soient égales ou ëqui* valentes à celles de la pyramide SABCDE. On peut supposer les deux bases situées sur un même plan ; et alors le plan abd^ prolongé, décerminera dans la py»

LXTAfi VU I$9

Munide trîjuigulaire une secùon/gh , située à la mène liauteur au-dessus du plan commun des hases : d^ou il résulte 91e la section^^A est à la section aid comme 1a base FGH est à la base ABD * ; et puisque les bases ' '^^ sont équivalentes, les sections le seront aussi. Les pyramides Sabcdej T/gh^ sont donc équivalentes, puisqu'elles ont même hauteur et des bases équivalentes- . . « iues pyramides entières SABCDE, TFGH, sont équivalentes par la même raison ; donc les troncs ABDdaby ¥Gllhfg^ sont équivalents , et par conséquent il suffira de démontrer la proposition énoncée , pour le seul cas du tronc de pyramide triangulaire.

Soit FGHhfg un tronc de pyramide ti*iangulaire *S* *>^ k bases parallèles : par les trois points F, ^, H, con* duisez le plan F^H , qui retranchera du tronc la py ramide triangulaire ^FGH. Cette pyramide a pour base la base inférieure FGH du tronc , elle a aussi pour hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet g est dans le plau de la base supérieure fgh.

Après avoir retranché cette pyramide, il restera la pyramide quadrangulaire ^AHF, dont le sommet est g et la base /AHF. Par les trois points y, ^, H , conduisez le plan^H, qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux triangulaires ^F/B, g/hH. Cette dernière a pour base la base supérieure gj/i du tronc, et pour hauteur la hauteur du tronc, puisque son sommet H appartient à la base inférieure : ainsi nous avons déjà derux des trois pyramides qui doivent composer le tronc.

Il reste À considérer la troisième ^F/H : or, si on mène^K parallèle à^F, et qugn im^ne une nou* velle pyramideyTHK y dont le sommet est K et la base F/ H, ces deux pyramides auront même base F]/Hi elles auront aussi même hauteur^ puisque les sommets ^ et K sont situés sur une ligne ^K parallèle à F/^ et par conséquent parallèle au plan de la buse ; donc ce

pytamides nont équivalentes. Mais la'pyrtimdeyf'Mi peut être oonsidétëe oomme ayant son soranel en /, et ainsi elle aura même hauteur que le troBc ; quant èi sa base PKH , je dis qu elle est moyenne propoitioB» nQlle entre les bases VGHj/gh. En effet les triangles ¥HKj/ffh^ ont un angle égal F=/, et un côté ^ml

♦j4,3. FK==/g^; onadonc*FHK:/^A::FH:/À. On a aussi FHG : FHK : : F6 : FK ou fg. Mais les triangles semblables FGH, >^A, donnent FG:^::FH:^A; done FGH : FHK: : FHK i/gAj et ainsi la base FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, fgh. Donc un tronc de pyramide triangulaire, à bases

^^ parallèles, équivaut à trois pyramidea qni ont pour hauteur commune la hauteur du tronc , et dont les bases sont la base inférieure du tronc , sa l>ase supé« rieure, et une moyenne proportionnelle entre ces deui bases.

PROPOSITION XXIL

thboaAmb.

iig.ii6. •^' ^^ coupe un prisme triangulaire dont ABC est la base y par un plan DES incliné à cette basCf le solide ABC DES, qui résulte de cette section y sera égal à la somme de trois pyramides dont les sommets sont DjE^S^ et la base commune ABC.

Par les trois points S, A, G, faites passer le plan SAC, qui retranchem du prisme tronqué ABCDBS It pyramide triangulaire SABG : cette pyramide a pour base ABC et pour sommet le point S.

Apres avoir retranché cette pyramide , il restera k pyramide quadrangulaire SACUE, dont S est le som* met, et ACDE la base. Par les trois points S, B, C|

mkenét ttiûoilB «a plan &EÇj qui 4ivlMfa U pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangultiros SAGE, SCDE.

La pyramide SAEC, qui a pour bà^e le triangle AEG et pour sommet le point S, est équivalente à une pyramide EABG, qui aurait pour base AEG et pour Aommet le point B. Gar ces deux pyramides ont même h^e ; eU^ <in^ aussi même hauteur, puisque la ligne B3, «tant parallèle à chacune das lignes AE, CP, e^t parallèle à leur plan ACE; donc 1^ pyramide SAEC est équivalente à là pyramide EABG, laquelle peut èîT0 oonsidérée comme ayant pour base ABC et pour sommet le point E.

La troisième pyramide SCDE peut être changée d'abord en ASCD; car ces deux pyramides ont la même base SCDj elles ont aussi la même hauteur; puisque AE est parallèle au plan SGD; donc la pyramide SCDE est équivalente à ASCD. Ensuite la py* ramide ASCD peut être changée en ABCD , car ces deux pyramides ont la base commune ACD ; elles ont aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc la pyramide SCDE, équivalente à ASCD, est aussi équivalente i ABCD ; or , celle-ci peut être regardée comme ayant pour base ABC et pour sommet lé point D.

Donc enfin le prisme tronqué ABCDES est égal k la somme de trois pyramides qui ont pour base com« mune ABC, et dont les sommets sont respectivement les points D, E, S.

Corollaire. Si les arêtes AE, BS, CD, sont perpen* dlcidaires au plan de la base , elles seront en même temps les hauteurs des trois pyramides qui composent le prisme tronqué; de sorte que la solidité du prisme ' tronqué sera exprimée par -ABC xAE + f ABC xBS

ig% G BO MUTAIS.

+ 1 ABC X CD, quantité qui se rëduità ^ABC X (AE-f- BS + CD).

PROPOSITION XXIII

THSOEBlftB.

Deux pyramides triangulaires semblables ont les faces homologues semblables y et les angles solides homologues égaux.

Suivant la définition, les deux pyramides tiiaiigulaires S ABC, TDEF, sont semblables, si les deux triff.ioS. angles SAB, ABC, sont semblables aux deux TDE, DEF, et semblablement placés, cest-à-dire, si l'on a l'angle ABS=DET, BAS=EDT, ABC=DEF, BAC = £DF, et si en outre Tinclinaison des plans SAB, ABC, est égale à celle des plans TDE, DEF : cela posé , je dis que ces pyramides ont toutes les faces semblables chacune à chacune , et les angles solides homologues égaux^

Prenez BG=ED, BH=EF, BI=ET, et joignez 6H, GI, IH. La pyramide TDEF est égale à la pyra* mide IGBH; car ayant pris les c6tés GB, BH^ égaux aux côtés DE, £F, et Tangle GBU éunt, par hypothèse, égal à Tanglc DEF, le triangle GBH est égal à DEF; donc, pour opérer la superposition des deux pyramides, on peut d^abord placer la base DEF sur son égale GBH; ensuitç, puisque le plan DTE est incliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est clair que le plan DET tombera indéCniment sur le plan ABS. Biais, par hypothèse, Vangle DET = GBI, donc ET tombera sur son égale BI ; et piûsque lea quatre points D, E, F, T, coïncident avec les quatre 1 1. G| B, H, I, il s ensuit * que la pyramide TDEF coin* cide avec la pymmide IGBH.

1*1 V»B VI. ip3

Or^ à taMe Ues triangles égaux DEF, GBH, on a I angle BGH = EDF = BAC ; donc GH est parallèle à AC. Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; donc le plan IGH .est parallèle à SAC^. De là il suit *,3^ 5. que le triangle IGH, ou son égal TDF, est semblable à SAC *; et que le triangle IBH , ou son égal TEF , est * 1 5 semblable à SBC ; donc les deux pyramides triangulaires semblables SABC, TDEF, ont les quatre faces semblables chacune à chacune : de plus elles ont les angles solides homologues égaux.

Car on a déjà placé langle solide E sur son homo. logue B , et on pourrait faire de même pour deux autres angles solides homologues ; mais on voit immédiate* ment que deux angles solides homologues sont égaux, par exemple , les angles T et S, parce qu ils sont formés par trois angles plans égaux chacun à chacun , et semblablement placés.

Donc, deux pyramides triangulaires semblables ont les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux.

Corollaire I. Les triangles semblables dans les deux pyramides fournissent les proportions AB:DE::BC: EF :: AC : DF : : AS : DT :: SB : TE : : SC :TF; donc, dans les pyramides triangulaires semblables^ les côtes homologues sont proportionnels,

II. Et puisque les angles solides homologues sont égaux , il s'ensuit que riiwlinaison de deux faces queL conques d^une pyramide est égale a rinclinaison des deux faces hotnologues de la pyramide semblable.

III. Si on coupe la pyramide triangulaire SABG par un plan GIH parallèle à Tune des faces SAC, la pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide entière BASC : car les triangles BGI, BGH, sont semblables aux triangles BAS, BAC, chacun à chacun, et semblablement placés ; rinclinaison de leurs plans

1^4 «bomAvaib.

est la même de part et d'autre; donc Uê deux pyramides sont semblables.

fig. ai4. IV. En général, fi on eot^ê une pp^mmide qud^ eefujue SABCDE par un pian abc de par^Mle k la base^ la pyramide partielle Sabode sera sembléêih a la pyramide entière SABCDE. Car les bases ABCDB, ahûde^ sont semblables, et en joignant AC, ««, on vient de prouver que la pyramide triangulaire 8ABC est semblable à la pyramide SoAc \ done le point 8 eA détermiiië par rapport à la base ABG comme le pptBt

*aéf.x8. S Test par rapport k la hase ake^^ donc les deux py* ramides SABCDE, %abcde^ son« semblables.

ScMblie. Au lieu des cinq données requises par li| définition pour que deux pyramides triangulairef soient semblables, on pourrait en substituer cinq autres, suivant différentes combinaisons , et il en résulterait autant de théorèmes , parmi lesquris on peut distinguer celui-ci : Deux pyramides triangulaires spni senb> hlables lorsqu'elles ont les eêtés hûmoloffues propor* tionnels.

fig. «03. Car, si on a If^ proportions AB : DE ;: BC ; EF :; AC :PF::A3:DT.:SB:TE::SC:TF, ce qui renferme c\nq conditions) les triangles 4PS , ABC , seront sentl^lables aux triangles DET, DEF, et semblablem^t placés. On aura aussi le triangle SBC semblable a TSF ; donc les trois angles plans qui forment Fangle solide B , seront égaux aux angles plans qui forment Tangle solide E , chacun à chacun ; d'où il suit que riiiclinaison des plans SAB , ABG , est égale à celle.de leurs homologues TDE , DEF , et qu^ainsl les deux pyramides sont semblables.

PROPOSITION XXIV

D^W^ polyèdres semblable^ ont les faces homologua s^mblabfes^ et ks ÇiU^le^ solides hamQlogues égaux.

IiITRB VI. 195

Soit ABCDS la bMd d'un polyèdre ; AOienk M et N fig> «19- ^cs sommets de deux angles «olides, hors de cette base, détermiiiéi par les pyramides triangulaires M ABC, NABC , dont la base oommuoe est ABC; soient dai^s Tautra polyèdre^ abcda la base homologue ou semblable à ABCDE , /vi et A les sommets homologues à M et N ^ déterminés par ks pyramides mmbo , nakc , semblables aux pyramides MABC , NABC ; je dis dalx>rd que les distances MN, mn^ sont proportionnelles aux eôtés homologues kR^ab.

£n efbi, les pyraroidiés MABG, mabc^ étant semblables, Vindinaisou des plans MAC, BAC, est égale à O0lie des plana mac^ boa ; pareillement les pyramides M ABC, tuÂcy étant semblables, Tinclinaison des plans N AG , BAC , est ^le à celle des plans na€^ bae : donc, si on retranche les premières inclinaisons des dernières, il restera Finolinaison des plans NAC, MAC, égale à oelle des plans nac^ mac. Mais, à cause de la similitude des mêmes pyramides, le triangle MAC est semblable à ffuzo, et le triangle NAG est lembUble à nuo : donc les deux pyramides tnaiigulaires MNAC, nuèoo, ont deux faees semblables chacune à chacune 9 aemblablement placées et également inclinées entre elles; donc ces pyramides sont semblables*, et leurs * ^^• eAtés homologues donnent la proportion MN : mn :: 'kHLiam^ D*ailleurs AMtomr: AB:ai; donc TS^imn : : AB : A.

Soient P et /? deux autres sommets homologues de mêmes polyèdres, et on aura semblablement VSlpn :: AB:a&, PM :/»/»:: AB: a3. Donc MN: toi.: PN:/w :: PM ipm. Donc te triangle PNM qui joint trois som^ mets quelconques iPun polyèdre est semblable au trt* angle pnm qui ioini les trois sommets homologues de VaMtrê polykdre.

Soient encore Q et j^ deux sommets homologues, et le triangle PQN sera semblable à pqn. Je dis de plus

11)6 GÉOMEXaiS.

que rincIinaisoD des plans PQN, PMN, est égale à celle des ^Islus pqn, pmn.

Car si on joint QM et qm, on aura toujours le triangle QNM semblable a qnm, et par conséquent Fangle QNM égal à qnm. Concevez en N un angle solide formé par les trois angles plans QNM, QNP, PJiM, et en n un angle solide formé par les trois angles plans qnni^ anpypnm : puisque ces angles plans sont égaux chacun à chacun, il s'ensuit que les angles solides son égaux. Donc rinclinaison des deux plans PNQ, PNMj est égale à celle de leurs homologues /7/i^,^/im; donc, si les deux triangles PNQ, PNM, étaient dans un même plan, auquel cas on aurait rangleQNM=QNP -4- PNM, ou aurait aussi langle qnm=qnp+pnniy et les deux triangles qnp^ pnm^ seraient aussi dans un même plan.

Tout ce qui vient d'être démontré a lieu, quels que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs homologues m, n^ p^ q.

Supposons maintenant que la surface de l'un des polyèdres soit partagée en ti*iangles ABC, ACD, MNP, NPQ, etc., on voit que la surface de 1 autre polyèdre contiendra un pareil nombre de triangles aicj acdy mnp^ ^PJt o^<^«> semblables et semblablement placés ; et si plusieurs triangles, comme MPN, NPQ, etc., appartiennent à une même face et sont dans un même plan , leurs homologues mpn^ ^P3^ ^^'> seront pareillement dans un même plan. Donc toute face polygone dans un polyèdre répondra à une face polygone semblable dans l'autre polyèdre ; donc les deux polyèdres seront compris sous un même nombre de plans semblables et semblablement placés. Je dis de plus que les angles solides homologues seront égaux.

Car, si langle solide N, par exemple, est formé par les angles plans QNP, PNM, MNR, QNR, Tangle solide homologue n sera formé par les angks

LIVRB VI. 197

plans qnp^ pnm^ mnr^ qnr. Or, ces angles plans sont ëgaux chacun à chacun , et l'inclinaison de deux plans adjacents est égale à celle de leurs homologues ; donc les deux angles solides sont égaux , comme pouvant être superposés.

Donc enfin deux polyèdres semblables ont les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux.

Corollaire. Il suit de la démonstration précédente que si , avec quatre sommets d'un polyèdre , on forme une pyramide triangulaire , et cju on en forme une Seconde avec les quatre sommets homologues d^un polyèdre semblable, ces deux pyramides seront semblables ; car elles auront les côtés homologues pro. portionnels*. *«i,«ch.

On voit en même temps que deux diagonales ho* mologues*^, par exemple, AN, an^ sont entre elles *'7»«* comme deux côtés homologues AB , ah,

PROPOSITION XXV

THBORiMS.

Deux polyèdres semblables peuvent se partager en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacune, et semblablement placées.

Car on a déjà vu que les surfaces de deux polyèdres peuvent se partager en un même nombre de triangles semblables chacun à chacun , et semblablement placés. Considérez tous les triangles d'un polyèdre, excepté ceux qui forment langle solide A, comme les bases d'autant de pyramides triangulaires dont le sommet est en A ; ces pyramides prises ensemble composeront le polyèdre : partagez^de même Tautre polyèdre en pyramides qui aient pour sommet

igS GEOBliTElB.

commun celui de langle a homolo|^e a A; il est dair que la pyramide qui joint quatre sommets d'un po^ lyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les quatre sommets homologues de l'autre^ polyèdre. Donc deux polyèdres semblables, etc.

PROPOSITION XX,V1

THBOEjâMB.

Deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes des côtés homologues.

>i ' 2 1 'i. Car deux pyramides étant semblables , la plus petite pourra être placée dans la plus grande , de manière qu'elles aient Tangle solide S commun. Alors les bases ABCDE^ abcde^ seront parallèles; car, puisque les *aa. faces homologues sont semblables*, l^angle Sab est égal à SAB , ainsi que Sbc à SBC ; donc le plan ahc

*«3, 5. est parallèle au plan ABC*. Cela posé, soit SO la perpendiculai-re abaissée du sommet S sur le plan ABC , et soit o le point où cette perpendiculaire rencontre le plan abc ; on aura, suivant ce qui a été déjà

**^' démontré*, SO:So ::SA:Sa:: AB:a*; et par conséquent

iSOr^So:: KRiab.

Mais les bases ABCDE, abcde^ étant des figures sem«* blables, on a,

ABCDE : abcde :: ÂB*: âb* Multipliant ces deux proportions terme à terme, il en

résultera la proportion ,

ABCDE X 7 SO . abcde X y So : : Ab': aï]

or, ABCDE X y SO est la soUdité de la pyramide * '^- SABCDE^, et abcde x\ho est celle de la pyramidtf Sabcde ; donc deux pyramides semblables sont eûtrs <*1ii*s comme les cubes de leurs côtés hofnoioguw»

PilOPOSITION XXVll.

Dieux pofyèdres semblablsg sonf entre eims comme les tube$ des eàtés. homologues.

Car deux polyèdres semblables peuvent être par- H- ^'D' Cages en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacune \ Or, les deux pyra- * ^^' mides semblables APNM, apnm^ sont entre elles comme les cubes des côtés homologues AM, am^ ou comme les cubes des côtés homologues AB, ab. Le même rapport aura lieu entre deux autres pyramides homologues quelconques; donc la somme de toutes les pyramides qui composent un polyèdre, ou le polyèdre lui-même , est à l'autre polyèdre , comme 'le cube d'un côté quelconque du premier est au cube du côté homologue du second.

Scholie généraL

On peut présenter en termes algébriques , c'est-àdire, de la manière la plus succincte, la récapitidation des principales propositions de ce livre concernant les solidités des polyèdres.

Soit B la base dun prisme, H sa hauteur; la solidité du prisme sera B x H ou BH.

Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la solidité de la pyramide sera BXjH, ou Hx^B, ou ^BH.

Soit H la hauteur d un tronc de pyramide à bases parallèles , soient A et B ses bases ; h/AB sera la moyenne proportionnelle entre elles, et la sollditi* du tronc sera ^Hx(A4-Bh-\/AB.)

aOO GÊOMÉTIIIB.

Soit B la base d'un tronc de prisme triangulaire H, H', H", les hauteurs de ses trois sommets supé* rieurs, la solidité du prisme tronqué sera ~Bx(H+ H' + H^

Soient enfin P et /; les solidités de deux polyèdres Semblables, A et a deux côtés ou deux diagonales homologues de ces polyèdres, on aura P :/> :: A': a.

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