LA SPHÈRE

DEFINITIONS

I. LiA sphère est un solide terminé par une surface courbe, dont tous les points sont également distants d'un point intérieur qu'on appelle ceture.

On peut imaginer que la sphère est produite par fig«>3o. la révolution du demi-cercle DAE autour du diamètre DE : car la surface décrite dans ce mouvement par la Courbe DAE aura tous ses points à égales distances du centre G.

II. Le rajron de la sphère est une ligne droite menée du centre à un point de la surface ; le diamètre ou axe est une ligne passant par le centre , et terminée de part et d'autre à la surface.

Tous les rayons de la sphère sont égaux ; tous les diamètres sont égaux et doubles du rayon.

in. n sera démontré * que toute section de la * P" '• sphère, faite par un plan , est un cercle : cela posé, on appelle grand cercle la section qui passe par le centre , petit cercle celle qui n'y passe pas.

TV, Un plan est tangent à la sphère lorsqu'il n'a qu'un point commun avec sa surface.

y. Le pôle iTun cercle de la sphère est un point de la surface également éloigné de tous les points de la circonférence de ce cercle. On fera voir* que tout *P'*^cercle, grand ou petit, a toujours deux pôles.

VI. Triangle sphirique est une partie de la surface de la sphère comprise par trois arcs de grands cercles.

aOS GBOMXTAim.

Ces arcs, qui s'appellent les côtes du triangle, sont toujours supposés plus petits qae la demi«<âroonJërence. Les angles qhé leurs plânl fbnC entre eux sont les angles du triangle.

VII. Un triangle sphérique prend le nom de rec* tangle^ isoscèle , équilatéraif dans I9 mêmes cas qu'un triangle rectiligne.

VIII. Polygone sphérique est une partie de la surface de la sphère terminée par plusieurs arcs de grands cercles.

IX. Fm&tiu Mt la partie de la suiface de la spbèr« comprise «fitre deut demi-grands oerdes qui •• ter* minent à un diamètre commun.

X. J'appellerai ûôin ou ongltt sphMque la partie du solide de là sphèi*è com^^riM entre le^ mêmes doni* gtatids cercles , et à laquelle le fuséan âert de base.

XI. Pyramide spIiiriqUè est la paHle du solide de la sphère comprise entre les plans d'un atigle solide dont le commet est au centré. La ha^e dé là pjfraniide est le polygone sphérique ltitëiicé{)té pAt* \^ mènté» plans.

XII. On appelle tôtiê la partie de la surfiicé dé Ut âphèfé comprise entre déUt plans parallèles ^ en sont les bases, L'utt de ces plans peut éttig taâ^C à h sphère, alors la 2ône n'a qu une basé.

XIII. Segment sphérique ^ii la portion du Solidti de la Sphère coiUprise entre deux plans p&ràllèles qui en sont les l)ases.

L^'un de ces pUns peut être tangent â là éphèfe, alors le segment sphérique n'a qu^un6 base. fig. 910. Xt V. La hauteur et une zone ou dHun segment est la distailce des deux plans parallèles qui sont les bases de la zoqe ou du segment.

XV. Tandis que le demi«*cercle DAE tourtiant autour du fUamètre DE décrit la sphère^ tout secteur

i.rvaB vil. io3

circulaire 5 comitie DGF ou FGH, décrit un «olidt qtJi'on appelle seatmir sphèriquei

PROPOSiIT{ION PREMIERE.

vlisoliâaiB.

Toute secHon de la sphère ^ faite par unplan^ 0ât un cercle.

Soit AMB là f emicm faite par un plan dafM la sphère ^* ^*'* dont h cenite e»i G. Du point C menefe la perpendii^ cuiaire CO sur le plan AMB, et différentes lignes GM^ CM , à différents points de la courbe AMB qui termine la section.

Les obliques GM, GM^ GB ^.sont égales , puisqu'elles sont des rayons de la sphère , elles sont donc également éloignées de la perpendiculaire CO* ; donc toutes * *" les lignes OM, OM, OB, sôttt égales; donc là seétiOfi AMB est un cercle dont le point O est le centré.

CorolkUrë L Si la seotlon passe par le centre de la sphère, son rayon sera lé rayon de lu sphène; donc tôt» lé» grands oerdes sont ëgauic entre eux.

IIi Disui grands cerôleft se coupent toujours en deux patties égales; car leur ihtefsecdon commune, pas« sant par le «entre, est un diamètre.

m. Tout grand eerele diirise la sphère et sa smfaee en deux parties égales; ear si, après avoir sépara les deux hémisphères ^ on les applique sur la base oom* mune en tournant leiur convexité du même càté , les deux surfaces coïncideront Tune avec lautre , sans quoi il y aurait des points plus près du centre les uns que les autres.

Cf. Lé centré d'tm petit ctittîle et celui de 1a sphère fi«- »»' sont sur tine même droite perpendiciilaire au plan du petit cerclée

V« \m peciis ovroles sont d'autatit plus petits qu'ils

104 GBOMBTEIB.

sont |>lii5 éloignés du centre de la sphère ; car plus la distance CO est graiide, plus est petite la corde AB, diamètre du petit cercle ÂMB.

VI. Par deux points donnés sur la surface d'une sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle; car les deux points donnés et le centre de la sphère sont trois points qui déterminent la position d'un plan Si cependant les deux points donnés étaient aux extrémités dun diamètre, alors ces deux points et le centre seraient en ligne droite, et il y aurait une infinité de grands cercles qui pourraient passer par les deux points donnés,

PROPOSITION IL

THBOEBVS.

fig. MU. Dans tout triangle sphérique ABC , un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Soit O le centre de la sphère , et soient menés lés rayons OA, OB, OC. Si on imagine les plans AOB, AOG, COB, ces plans formeront au point O un angle solide, et les angles AOB, AOG, GOB, auront pour mesure les côtés AJB, AC, BC, du triangle sphérique ABC» Or, chacun des trois angles plans qui composent Tangle solide est moindre que la somme des deux

^91,5. autres*; donc un côté quelconque du triangle ABC est moindre que la somme des deux autres,

PROPOSITION IIL

thborAmb.

Le plus court chemin d'un point à un tuitre, sur la surface de la sphèrcj est Varc de grand cercle qui joint les deux points dormes. fif. aaS. Soit ANB Tare de grand cercle qui joint les points

LITRB Vil. do5

A. et B , et soit hors de cet &rù , s'il est possible^ M un point de la ligne la plus courte «Dtre A et B. Par le point M menez les arcs de grands cercles MA, MB, et prenez BN=MB.

Suivant le théorème précédent lare ANB est plus court que AM + MB; retranchant de part et d'auti^ BN=:BM, il restera AN<AM. Or, la distance de B en M, soit quelle se confonde avec lare BM, ou qu elle soit toute autre ligne, est égale à la distance de B et N^; car en faisant tourner le plan du grand cercle BM autour du diamètre qui passe par B , on peut amener le point M sur le point N , et alors la ligne la plus courte de M en B, quelle qu'elle soit, se confondra avec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en B, l'un en passant par M, l'autre en passant par N, ont une partie égale de JML en B et de N en B. Le premier chemin est , par hjrpothèse , le plus court ; donc la distance de A en M est plus courte que la distance de A en N , ce qui serait absurde , puisque l'arc AM est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne la plus courte entre A et B ne peut être hors de Tare ANB i donc cet arc est lui-même la ligne la plus courte entre ses extrémités.

PROPOSITION IV

TEBORÂMB.

La somme des trois côtés d*un triangle sphérique est moindre que la circonférence d'un grand cercle.

Soit ABC un triangle sphérique quelconque ; pro- ^ ^^^ longez les côtés Afi, AC, jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seront des demi-circonférences , puisque deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales* ; mais dans « i. le triangle BGD on a le c6të BG < BD -h CD * ; «joutant * >.

Sq6 OiOMBVEIB.

àt part et d'autn AB -4r AG, on aura AB+ AC-|^ BC < ABD + ACD ^ Q'««i«àKUre , plus petit qu'una cirooiifiopençê.

PROPOSITION V

La somme des cStés de tout polygone sphérique est moindre que la circonférence d*un grand cercle.

fig. a«5. Soit, par exemple, le pentagone ABCDE: prolongez les côtés AB, DC, jus(][ua leur rencoutre en F: puisaue BC est plus petit quç BF + CF , le contour du

f)ent^gone ABCDE est plus petit que celui du quadriatère AEDF. Prolongez de nouveau les côtes AE, FD , jusqu'à leur rencontre eu G , on aura ED < EG -l-GB; donc le contour du quadrilatère AEDF est plus petit que celui du triangle AF6 ; celui-ci est plus petit que la circonlérence d'un grand cercle ; donc ajojtiori le contour du polygone ABCDE est moindre que cette même circonférence.

Sckolie. Cette proposition est au fond la m^mç que la XXII* du livre v ; car, si O est le centre de la sphère, on peut imaginer au point O un angle solide formé par les angles pls^ifl AOBf BQQ| CQD, etc., et la somme de ces angles doit être plus petite que quatre angles droits, ce qui ne diffère pas de la proposition présente. I^ 4énu)nstratÎQn q^ie nom v^oo» d^ 4on* ner est différente de celle du livre v j i une et lautre supposent que le polygone ABCDE est convie, ou qu'aucun côté prolongé pe coupe la figure.

PROPOSITION VI

thbo&Ame.

fis«Mio. Si on mène le diamètre DE p^rpendicukin «4 plan du grand cêreU AMB, kâ e^trémUs

' dcf.

iiiTmB vu. %Qy

D eiE 4^ ce diamètrû seront Im pâlfUf du (narcle èlMR j 0t 4e tous les petits cercles , comme FNG , qui lui sont parallèles.

Car DQ étant perpendiculalrf au plan AMB , eat perpendiculaire à toutes les droites GA, CM, GB^ etc., menées par son pied dans ce plan ] donc tous les ares DA, DM, DB, etc. , sont des quarts de eirconfërenee : il en est de même des arcs ËA, EM, EB, etc. ; donc les points D et B sont chacun également éloignés de tous les points de la circonférence AMB; donc ils sont les p61es de cette circonférence *. '^

En second lieu, le rayon DG, perpendiculaire au plan AMB , est perpendiculaire à son parallèle FNG \ donc il passe par le centre O du eerole FNG ^ \ donc * '* si on tive les obliques DF, DN, DO, ces obliques s'écarteront également de la perpendioulaire DO et seront égales. Mais les cordes étant égales, tes arcs sont égaux ; donc tous les ares DF, DN, D6 , etc., sont égaux entre eux ; donc le point D est le pôle du petit cercle FNQ , et par la même raison le point E est Tautre pAle.

Corollaire I. Tout arc DM mené d'un point de lare de grand cercle AMB à son pôle est un quart de circonférence, que nous appellerons pour abréger un quadransy ou un quadrant, et ce quadrant fait en même temps un angle droit avec l'arc AM. Caria ligne DC étant perpendiculaire au plan AMC, tout plan DMG qui passe par la ligne DC est perpendiculaire au plan AMC *\ donc langle de ces plans, ou, suivant la *iS, 6. déf. vi, lapgle AMD, est un angle droit,

II. Pour trouver le pôle d'un arc donné AM, menez l'arc indéfini MD perpendiculaire à AM , prenez MD égal à un quadrant, et le point D sera un des pôles de Tare MD ; ou bien menez aux deux points A et M les arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le point de concours D de ces deux ares sera le pôle demandé.

do8 GBOMBTMl£.

III. Réciproquement, si la distance du point D à chacun des points A et M est égale à un quadrant , je dis que le point D sera le pôle de lare AM, et qu'en même temps les angles DAM, AMD, seront droits.

Car soit C lé centre de la sphère, et soient menés les rayons GA, CD, CM: puisque les angles ACD, MCD, sont droits, la ligne CD est perpendiculaire aux deux droites CA, CM ; donc elle est perpendiculaire à leur plan ; donc le point D est le pôle de Tare AM ; et par suite les angles DAM, AMD, sont droits.

Scholie, Les propriétés des pôles permettent de tracer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec la même facilité que sur une surface plane. On voit, par exemple , qu en faisant toiu*ner lare DF ou toute autre ligne de même intervalle autour du point D, l'extrémité F décrira le petit cercle FN6 ; et si on fait tourner le quadrant DFA autour du point D , Textrémité A décrira Tare de grand cercle AM.

S^il faut prolonger Tare AM, ou si on ne donne que les points A et M par lesquels cet arc doit passer, on déterminera dVbord le pôle D par Tintersection de deux arcs décrits des points A et M comme centres avec un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant trouvé, on décrira du point D, comme centre et avec le même intervalle, lare AM et son prolongement.

Enfin, s^il faut du point donné P abaisser un arc perpendiculaire sur lare donné AM, on prolongera celui-ci en S jusqu'à ce que T intervalle PS soit égal à un quadrant; ensuite du pôle S et du même intervalle on décrira Tare PM, qui sera lare perpendiculaire de^ mandé.

PROPOSITION VII

vbboeAmx.

Tout plan perpendiculaire à Vextrémité d'un rayon est tangent à la spKère.

Soit FA6 un plan perpendiculaire à l'extrémité du fig. ««a. rayon OA ; si on prend un point quelconque M sur ce plan , et qu'on joigne OM et AM , l'angle OAM sera droit, et ainsi la xiistance OM sera plus grande que OA. Le point M est donc hors de la sphère ; et, comme il en est de même de tout autre point du plan FAG, il s^ensuit que ce plan n'a que le seul point A commun avec la surface de la sphère ; donc il est tangent à cette surface *• *a4f.4.

Scholie. On peut prouver de même que deux sphères n'ont qu'un point commun, et sont par conséquent tangentes l'une à l'autre : lorsque la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la difTércnce dé leurs rayons, alors les centres et le point de contact sont en ligne droite.

PROPOSITION VIII

THBOaâlIB.

V angle BAC que font entre eux deux arcs de H- «»«. grands cercles AB , AC , est égal à V angle FAG , formé par les tangentes de ces arcs au point A : il a aussi pour mesure Varc DE, détrit du point A comme pôle entre les côtés AB, KZ, prolongés s^îl est nécessaire.

^Car la tangente AF, menée dans le plan de Tare AB, est perpendiculaire au rayon AO; la tangente AG, menée dans le plan de l'arc AG, est perpendi* culaire au même rayon AO. Donc l'angle FAG est

2IO GÉOMiTtllB.

♦17,1 ^gai à l'angle des plans OAB, OAC*, qui est celui des arcs AB, AC, et qui se désigne par BAC.

Pareillement, si l'arc AD e§t égal à un quadrant, ainsi que AE, les lignes OD, OE, seront perpendiculaires à AO, et Tatigle DOE sera encore épi à Fangle des plans AOD, AOE ; donc l'arc DE est II mesure de l'angle de ces plans, ou la mesure de Taiigle CAB.

Corollaire. Les angles des triangles spkëriqiMs pe^ vent se comparer entre eux par Ite ate» de granda cei^ clés décrits de leurs sommets (iomme pôlen et compris «entre leurs côtés : ainsi il est facile de faire titi an^e «%al à un atigle donné.

f g. ft3i Sehotie. Les angles opposés au sommet , téb que ACO et BCN, sont égaux ; car l'un ou Vautre «l tDtH jours l'angle formé par les deux plans ACB , OCW.

On voit aussi que dans la rencontre dé deux atrs ACB, OGN, les deux angles adjacents AGO, OCB, pris to^'emble , râlent toujours deux angles droite.

PROPOSITION IX

THÉORBME.

%a«7» Etant donné le triangle ABG|^i des points

A, B, C, comme pôles y on décrit les arcs EF,

FD , DE , qui forment le triangle DEF ; récipro-

* quement les trois points D, E, F, seront les

pôles des côtés BG, AG , AB.

Car le point A étant le pôle de lare EF, la distance AE est un quadrant j le point C étant le pôle de lare DE y la distance CE ^st pareillement un quadrant; donc le point E est éloigné d un quadrant de chacun . g des points A et C ; donc il est le pôle dé l*arc AC *. xoT, 3/ On démontrera de même que D est le pôle de Tare BC , et F celui de l'arc AB.

Corollaire. Dbnc fe trîanglO ABC peut être décrit par le ujoyen de l!)EF , comme JDEF par le moyen de

4Ba

LiVHfi Vil. jltl

PROPOSITION X

Les mêmes choses étant posées que dans le théorêirùe précédent ^ chaque angle de Vun des triangles ABC, DEF, aura pour mesure la demU Cg.aa?. circonférence moins le côté opposé dans Vautre triangle.

Soient prolongés, s'il est nécessaire ^ lés côtés AB^ AG , jusqu'à la rencontre de EF en 6 et tl ; puisque le point A est le pôle de Tare GH, Tangle A aura pour mesure l'arc GH. Maïs Tare EH est un quadrant ainsi que GF, puisque E est le pôle de AH, et F le pôle de AG; donc EH + GF vaut une demi -circonférence. Or EH + GF est la môme chose que EF -f- OH ; donc l'arc GH qui mesure Fanglte A est égal k utie demi-circonférence moins le côté EF ; de même Tangle B aura pour mesure \ cfrû. — DF et l'atlgle C , ^ erre — DE.

Cette propriété doit être réciproque entre Ifes dëul triangles, puisqu'ils se décrivent de la même manière Tun p.ir le moyen de l'autre. Ainsi on trouvera qtio les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pout mesures respéctlvemeilt \ cird. — BC , { cire, — AC, ; c^7r* — AB. En effet l'ailgle D, par exemple, a pottr me* /lUre Tare MI ; dr MI + BC = MC + BI = ^ cire. .' donc Tare MI , mesure de l'angle D , =: ^ cire. — BC, et ainsi deé autres.

Scholie. Il faut remarquer qu'outre le triangle DEt* gg, a^g^ dii en pourrait former trois autres par l'intersectioft des trois arcs DE, EF, DF. Maiâ k propositioti a(:* ttielle n'a Heu que pour le triangle central, qui est distingué des trois autres ^n ce que les deux angles A et D sont situés d'un mémç côté de BG les deux B ff.as;.

et E d'un même côté de AC, et les deux C et F dW même côté de AB.

On donne différents noms aux deux triangles ABC, DEF ; nous les appellerons triangles polaires.

PROPOSITION XI