PROBLÈME XIII

Trouifer le centre d^un cercle ou £un arc donné.

Prenez à yolontédans la circonférence ou vdans Tare trois fig. 8/, . points A, B, C; joignez ou. imi^înez quon Joigne AB et BC , divisez ces deux lignes en deux partiel égales par lea perpendiculaires DE, F6; le poiiit O, où ces, perpendiculaire^ se rencontrent^ seca le. centre cherché.

,ScoUe. Ia méine construction sert affaire passer une cif-i conférence par le^ trois poinfs donnés A, t^ C, et aus^ à décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné ABC aoit inscrit

PUCBUbUB ZIY,

jpaf: (^fj(i point donné rnen^r une tangente è^ un cercle donné., ... : -

SiIe;poiQt.donnéA est sur Ifi circonférence^, tirez le rayop fig. S' GA, et menez AD perpendiculaire à CA; AD sera la t^n-. gente demandée *• *9)"

Si le point A est hors du cercle, joignez le point A et le fig- 8<' centre par la ligne droite GA; divisez GA en deux également au point O; du point O, comme centre, et du rayon OC, décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée au point B; tirez AB, et AB sera la tangente demandée.

56 GÉowtrAiv.

Car en menant CB, Tangle GBA, inscrit dam le demi- *i9>^' cercle, est un angle'droit^; donc AB est perpendiculaire à rextrëmité du rayon CB, donc elle est tangente.

ScoUe, Le point A étant hors du cercle > on Tpit qu'il y a toujours deux tangentes égales AB, AD, qui passentpar le point A : elles sont égales, car les triangles rectangles CBA, CDA ont Thypoténuse G A commune, et le coté * '9> ^ CBtt=CD;donc iU sont égaux ^; doncAD=:;:AB, et en même temps l'angle G AD==:CAB.

PROBIiBMB XV»

Inscrire un cercle dans un triangle dmné ABC. fif?. 87. Menez les bissectrices AO,BOdes angles A et B, ces droites se couperont en un point O, qui sera également distant des trois côtés AB, AC, BG.

Si donc de ce point on abaisse les perpendiculaires OD OF, OE sur les côtés du' triangle, ces perpendiculaires seront égales , et la circonférence décrite du point O comme centre avec OD comme rayon ^era tangente aux trois côtés.

Remarquai. Le point O étant également iïîstttnt des côtés BC, AG, appartient à la bissectrice de l'angle G; donc les trois bissectrices des angles éTuii triangle concourent en un même point.

II. Si on mène les bissectrices des deux angles è^târieûrs MBG, BGN, leur point de concours O' sera le centre d*un cercle tangent au côté BG et aux prolongements dès deux autres.