LIVRE ir

On trouvera de la rhéme manière lescèmtreâ 0",0"' des deux autres circonférences tangentes à un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres.

Il y a donc en général quatre circonférences tangentes à trois droites données.

PROBLSHE XVI.

Sur ime droite donnée kR , décrire wi segment gg. gs. capable de V angle donné C> cest-à'^rey un segment *^* ^^" tel que tous les angles gui y sont inscrits soient égaux à V angle donné C.

Prolongez AB vers D, faites au point B rangleDBE=C, tirez fiO perpendiculaire à BE, et 60 perpendiculaire sur le milieu de AB; du point de rencontre O, comme centre, et du rayon OB, déérivez un cercle, le segment demandé seraAMB.

Car puisque BFest perpendiculàifeàrextrémité du rayon OB, BF est une tangente, et l'angle ABF a pour mesure la moitié de l'arc AKB^ ; d'ailleurs Tangle AMB, comme an- *2o, a. gle inscrit, a aussi pour mesure la moitié de l'arc AKB; donc l'angle AMB=ABFx:=£BD=C; donc tous les angles inscrits dans le segment AMB sont égaux à l'angle donné C«

Scolie. Si l'angle donné était droit, le segtnent cherché serait le demin^ercle décrit sur le diamètre AB.

PaOBLÈME XYII.

Construire une tangente commune à deux circonfé^ renées.

1** Supposons le problème résolu, et soît AA'une tangente commune extérieure aux deux circonférences. Menons les rayons CA,C'A' aux points de contact, et la droite C'B parallèle à AA'.Les rayons CA,CA'étant perpendiculaires surAA', serontaussiperpendiculairessufla droite C'B; cette dernière ligne sera donc tangente à une circonférence décrite du

58 GSOMBTRIE.

point Bçomme centre, avec un rj^yoi^ GB égal à CA*---C'A'

On déduit de là la construction suivante^ décFiveq& une circonférence du point G comme centre, ay^ un rayon égal à G A — CA% ^t menez par le point C'.una ^mgente à cette circonférence. Connaissant le point B, on. tirera la ligne GBAy.on -mènera C A' parallèle à CA| et on joindra AA'.

La construction fait Toirqu^il y a deux solutions du problème, puisque par le point G' on peut mener deux tangentes à la circonférence GB, et que le problème n*est possible qu autant que Ion a GG'^CA — CA'; ou, en d'autres te»mes, qu'autant queles circonférences ne sont pas intérieures y.une à Tautre.

2^ Proposons-nous de mener une tangente commune intérieure aux deux circonférences dont les rayons sont CA et G'M^ et soit. A M[ U ligne cherchée;. menons les rayons GA, G'M' aux points de contact, et la droite C'B parallèle à AM'. La droite A.fA! étant perpendiculaire sur les rayons GA, G'M', G'B sera perpendiculaire sur les me-, mes droites; elle sera donc tangente à une circonférence décrite du point C comme centre avec un rayop ÇB égal à GA 4- AB, ou GA + GT»!'.

Pour résoudre le problème, on décrira donc une cir-

LIVEK II. 59

ccmférence ^yant son oestre en C, et dont le mypn sqit la somme de$ rayons des deux circonférences données; oq nièoera par le point C une tangente C'B à ciçtte circpnférence, et le reste de la construction s'achèvera^comiçe dans le cas pi^édeot.

Ce problème a aussi deux solutions; et ii nest possible qu autant qu'on a CC ^ CA + CM, c est-à-dire que les circonférences sontez^rieuresi ou tangente^ extérieurement.

pROBiiÈMB xvm.

TroUifer la plus grande commune mesure de deu:v lignes droites AB et CD , et leur rapport numérique.

La plus grande commune mesure des deux lignes ne saurait surpasser la plus petite CD; mais elle serait égale à CD, si cette ligne était contenue exactement dans la plus grande AB.

Portons donc CD sur AB , et supposons qu'on ait AB = 2CD+IB; je dis que la plus grande commune mesure entre AB et CD est la mémeque celle desdeux lignesCDetlB.

En effet, toute commlitte mesure de AB et de CD , divisant CD, divisera aussi' AI; et divisant AB, elle sera contenue exactement dans le reste IB ; ce sera donc une commune mesure de CD et IB.

Réciproquement, toute commune mesure de CD et de IB sera contenue exactement dans AI et dans IB, et par suite dans AB; (Qe sèura donc une con^mune mesure A^ AB et de CD.

Ainsi , toutes- les communes mesures de AB et de CD sont les mêmes que celles de CD et de IB ; la plus grande commune mesure est donc la même.

6o gëom^rir.

Portons IB* sur CD, et supposons qu'on ait CD=::IB + KD: on prouvera, comme précédemment, que la plus grande commune mesure entre CD et IB est U méîne qu'entre IB ec KD.

Portons encore KD sur IB, et supposons qu'on ait IB = 2KD; KD sera la plus grande commune mesure des deux lignes AB et CD.

On déduit d^ailleurs des égalités ci-dessus :

CD = 3.KD et AB = 8.KD;

donc le rapport des deux lignes AB et CD est -|-.

Remarque. Nous avons supposé ci-dessus qu'on arrivait dans cette série d'opérations à un reste égal à zéro. Nous allons prouver qu'il en est toujours ainsi , quand les deux lignes ont une commune mesure ; et que, dans le cas où elles sont incommensurables , on arrive à des restes plus petits que toute grandeur assignable.

En effet, soient A, ift, les deux lignes sur lesquelles on opère j r, r, /j r^ Tj . . . les restes successifs ; J, q^q^ ^4 • • • • les quotients, on aura les égalités.:

A=Bj. -hr.

Or, r, est plus petit que — ; car, si B n'est contenu

qu'une fois dans A, B sera plus grand' que — ; le reste

sera donc plus petit que — ; et si B est contenu plusieurs

fois dans A , cela aura lieu à plus forte raison. On aurait de même :

LIVJEUS IK $1

Ta < - d'où ^3 < a 4

r.<j d'où r,<^

r- < - d ou r, < -2; î et ainsi de suite.

On voit donc que si Topération se prolongeait indéfiniment, on arriyerait à des resles aussi petits qu'on voudrait ; et par conséquent, s'il y a une commune mesure, on arrivera à un reste nul; autrement on tomberait sur des restes plus petits que la commune mesure , ce qui est évidemment absurde d'après la théorie précédente.

Dans le cas où les lignes sont incommensurables, on pourra, après un certain nombre d'opérations, négliger le dernier reste; le reste précédent servira alors de commune mesure, et conduira à une valeur approchée du rapport.

PftOBiLBMB XIX.

Deux tmgles k eib étant donnéji , troiwer leui* corn- <*« ymune mesure j s'ils en ont une ^ et de là leur rapport en nombres. •

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD , £F, qui servent de mesure à ces angles ; procédez ensuite pour la comparaison des arcs CD, EF, comme dans le problème précédent; car un arc peut être porté sur un arc de même rayon , comme "îDine ligne droite sur une ligne droite. Vous parviendrez ainsi à la commune mesure des arcs CD, EF, s'ils en ont une, et à leur rapport en nombres. Ce rapport sera le même que celui des angles donnés * ; et si DO est ^^^ ^ la commune mesure des arcs , DAO sera celle dès angles. Si les deux arcs étaient incommensurables « les angles le seraient également, et on n'obtiendrait qu'une valeur approchée de leur rapport.

6ii GdOMiiviii£.