MESURE DES POLYGONES. -^ SIMIUTUDE

. DJSFItfITIQ2fS«

L Ij'aire d'une ^gure est le rapport de $.on étendue à celle de l'unité de surface ^.

IL Deux ligures équivalentes sont celles qui ont la niéj9»e aire.

Deux figures peuvent être équivalentes , quoique trèsdissemblables : par exemple, un cercle peut être équivalent à un carré, un triangle à un rectangle^ etc.

La dénomination de figures égales sera conservée à celles qui, étant appliquées IVine sur rautrè, Coïncident dans tous teurs points : tels sont deux cercles dont les rayons sont égaux, deux triangles dont les. trois GÔté& sont égaux chaoun à chacun | etc. .

IIL La hauteur d'un parallélogramme es^ la, per^eodicju,fig. 93. laire EF qui mesure la distance des deux qôjbés oppiosés

AB , CD , pris pour bases^ fig. 1)4. I^- I^ hauteur d'un û:iapgle est la perpei^dipulaire AD abaissée du sommet d'unas^^ A sur le p^ opposé fiC pris pour base.

Cg. 9»- V. La hauteur du trapèze est k perpendiculaire EF menée entre ses deux côtés parallèles AB, CjD»^

K. B. Pour rÎDtcUigence de ce UyT« et d<» sairtnû, ii iiiot «▼oir présente lu tbéoiûe dès proitorttons , pour laquelle nous renvoyons aux traités ordinaires d'arithmétique et d'algèbre. Nous ferons seulement une observation, qui est

(*} On confond souvent , dans le âiscours , l'aire et la sarfaco d'une figure.

LIVfiK II. ^

trà^nvortiiiite poar Axer le Tvti Uû9 |des propomiioq» , «( disw^r toa^ é^curité f soit d«iu renoncé, toit dans les démonstrations.

Si on a la proportion A : B : : C : D, on sflît que le prodnit cfes extr^êmes kyj) est égal an produit des moyens BXC

Gatto ▼érité mi «aeontettable po«* les nombres ; elle l'eft ausët p0Ut 4e9 grandeurs quelconques , ponrru qu'elles sVxpriment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c*est ce qu'on peut toujours supposer : pai^ exemple, si A , B , C, D, sont des lignes, on peut imaginer qu'une de ces quatre lignes, ôû une ciaqoiteie, si l'on veut, têewe à tontes de eomarane mttare et soit prise* pour unité ; alors A, B, G* D, représentent chacime un certai» nombre d'unités, entier ou rompu, commensurable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes A y B , C , D , derient pne proportion de nombres.

Le produit des lignes A et î), qti*oii ap|ie1fe'fllilséi leur rs^to/ig^, n'est donc antre cbose qae le nombre d^unitéa linéaires eontenues dans A , multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que ce prodok peut et doll être égal à celui qui résulte semblablemcnt des ligne» B et G.

Les grandeurs A et B peuvent être d'une espèce, par exemple, des lignes , et les grandeurs C et D d'une autre espèce . des sur/aces ; alors il faut toujours regarder ces grandeurs eommé des uembrecr: A et B s'-exprîmerontSett unités Uaéaîres, C et D en unités superficielles^ et la produit A X I) ^^^ <ui nombre comme le produit B X C.

En général , dans toutes les opérations qu'on fera sur les proportions, il faut toojonre ^egardéf le» leHties d« ces proportioné^nima sittaatrdc nôndurn ^ chacun de l'espèce qui lui convient, et on n'aura aucune peine à toMefoir ces opérations et les consé<|uences qui en résultent.

PROPOSITION PREMIÈRE

THioninKis^

Les parallélogrammes qui ont des hases égales et des fuiuteurs égales , sont équiifolents.

Soit AB la base commune des deux parai lélogrammes %• 9^' ABCD, AB£F^ puisqu'il» sont supposés avoir 1h. même hauteur^ les bases supérieures DC, FË, seront sUué^ #iir un^. même ligne parallèle à AB. Or on a par la nature des parallélogrfiipn^es AD rrz BÇ, et AF ;:^ B£ ; pâo: la même raison op a DG = AB , et FE = AB ; donc DC = FE f donc, retranchant DG et FËd^ la Oiême ligne DE» les restes CE et DF seupnt égitux*

II suit de là ^ue lea triangles DAF, CBE^ sotvt é(}oilatéraux antre eux, et par conséquent égaux*

64 GSOM£TRI£.

fig.96. Mais si du quadrilatère ABED on retranche le triangle ADF, il reste le parallélogramme ABEF; et si du même quadrilatère ABED on retranche le triangle CBE, il reste le parallélogramme ABGD;donc les deux parallélogrammes ABCD, ABEF, qui ont même base et même hauteur, sont équivalents.

Gg. 97. Corollaire. Tout parallélogramme ABCD est équivalent au rectangle ABEF de même base et de- même hauteur.

PROPOSITION IL

THEOREME.

fig.QS. Tout triangle ABC est la moitié du paralUlo^

gramme ABCD qui a même base et même hauteur. •33 , 1. (2ar les triangles ABC , ACD, sont égaux *.

Corollaire I. Donc un triangle ABC est la moitié du rectangle BGEF qui a même base BC et même hauteur AO; car le rectangle BGEF est équivalent au parallélogramme ABCD.

II. Tous les triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales, sont équivalents.

PROPOSITION III

THEOREME.

Deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs hases.

fig. 99- Soient ABCD, AEFD, deux rectangles qui ont pour hauteur commune AD; je dis qu'ils sont entre eux comme leurs bases AB, AE.

Supposons d'abord que les bases AB, AE^ soient cornmensurables entre elles, et qu'elles soient, par exemple, comme les nombres 7 et 4 : ^i on divise AB en 7 parties égales, *AE contiendra 4 ^^ ^^^ parties; élevez à chaque point de division une perpendiculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectangles parties qui seront égaux entre

LIVBE 111. 65

eux, puisqu'ils auront même base et même hauteur» Le rectangle ABCD contiendra sept rectangles partiels, tandis que AEFD en contiendra quatre; donc le rectangle ABCD est au rectangle AEFD comme 7 est à 4) ou comme AB est à AE. Le même raisonnement peut être appliqué à tout autre rapport que celui de 7 à 4 ; donc , quel que soit ce rapport, pourvu qu'il soit commensurable, on aura : ABCD: AEFD ::AB:AE.

Si les bases AB, AE, étaient incommensurables, on prouverait par le raisonnement déjà employé (liv. a , prop. 18), que la proposition a encore lieu.

PROPOSITION IV

THBORBMB.

Deux rectangles sont entre eux comme les produits des bases par les hauteurs.

Soient R, r, les surfaces des deux rectangles: B, H^ les deux dimensions du premier; 3, A, les deux dimensions du second.

Imaginons un troisième rectangle R' qui ait même base B que le premier, et même hauteur h que le second. On aura en vertu du théorème précédent : R:R':H:A.

Multipliant ces proportions terme à terme, et divisant les deux termes du premier rapport par R', on a : (i) R:r::BxH:ixA.

Mesure du rectangle. Mesurer un rectangle R, c'est trouver son rapport à un certain rectangle r qui serait pris pour unité.

On voit par le théorème précédent qu'on obtiendrait ce rapport en cherchant combien de fois les lignes B, H, 3,/i, contiennent une même unité, et en divisant le produit des

66 GiOMSÎRIB

àêux premiers nombres par le produit des èeux dernier».

On aura —=5--- =4. Ainsi le rectangle R contient

4 lais le rectangle pris pour nnké.

On prend, ordinairement pour unité de^uifaee le carré qui a pour ooté lunite'de longueur 4 alors ks noonbres qui représentent 4 et A se réduisant à Tunité, la proportion (i) devient :

R:r::BxH:i.

On voit donc que le rapport dm rectangle au cairé construit sur l'unité de longueur, est égal au produit des nombres qui représentent combien de fois la base et la hauteur contiennent cette unité linéaire; et c'est ce qu*on exprime d*une manière abrégée, en disant qu un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soient B = 3™,53 , H = 2" ,25.

La surface du rectan^e sera 7 "^'^ "'^,94a5 , ou

PROPOSITION V

THBOBEMB.

Vaire <Jtun parallélogramme quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

fig.97. ^^ ^^ parallélogramme ABCD est équivalent au rectangle ABEF, qui a même base AB et même hauteur BE ; or celui-ci a pour mesure AB X BE , donc AB X BE est égal a l'aire du parallélogramme ABCD.

Corollaire, Les parallélogranmies de même 'base sont entre eux comme leurs hauteurs, et les parallélograimm^s •de même hauteur sont entre eux comme leurs bases; car A, B^ C, étant trois grandeurs quelconques, on a généralement AxC:BxG:;A:B.

PROPOSITION VI

JJaUre ^ un triangle est égale ^aa prodmt de sa base par la rmitié<k sa hauteur.

Cat* te triai^le ABC est la moitié du parallélograrome £g. 104. ABGE , qui a même base BC et même hauteur AD : or , k sBrfeee do |NiTallélogMfiime^=^ BCx AD ^,* dôue celle ^ • 5. triançte jrt\9C X AO , ou BC^ A AD.

CoroOmire. Deux triangles de même hauveur saut: entre eux comme leurs bases , et deux triangles de même base sont entre eux comme leups haiiteurs.

PROPOisiTION VIL

Vaire du trapèze ABCD est égale à sa hauteur EF, gg. joS. multipliée par la demi-somme des bases parallèles ^ AB, CD.

Par le point I, milieu du coté CB^ menei KL parallèle au côté opposé AD, et prolongea DC jusqu'à la iienconire deRL.

Dans les triangles IBL, IGK, on a le cdté FBtt^: I€ par constructitEm', fàngïte LIB=:C!K, et l'angle IBLî=i:BCF, piibqae CK et BL sont parallèles^; donc ces triangles sont * 26. i. ^ égaux*; dteic le tnrpêze ABCD est équmlent au patallélo- *?» »• gramme ABKL, et 51 a pour mesure EPx AL.

Maïs -ott a ALi^DKi et puisque fctriangle IBL est égrf au triangle KCI, le côté BT/i^Gtj donc AB+Gt) = AL + TJR =^ û AL , et ainri AL est îa demi-sonuiie des basefe ABjCt); donc enfin l aire du trapèee ABCD est égaie à lahaoteurlîPttiJfltîpliétepaT h demi-somme des bases AB,

CD, ce qui s'exprime ainsi : ABGD=EFx/— ^^ — ]•

Scolie. Si par le point I, milieu de BC, on mène IH,

parallèle à la base AB, le point H sera aussi le milieu

de AD, car la figure AHIL est un parallélogramme , ainsi

que DHIK, puisque les. côtés opposés sont parallèles : on

a donc AH=:IL et DH=1K,- or, IL = IK, puisque les

triangles BIL, GIK, sont égaux; donc AH = DH.

'« AJB-4-CD On peut remarquer que la ligne HI = AL = J

donc Taire du trapèze peut s'exprimer aussi par EFxHI : elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles.

PROPOSITION VUI

THBOBSMB.

fig. ïofl. Si une ligne AC est divisée en deux parties AB, BC, le carré fait sur la ligne entière AC contiendra le carré fait sur une partie AB , plus le carré fait sur l'autre partie BC, plus deu:z fois le rectangle compris sous les deux parties AB, BC, ce qu'on exprime ainsi :

AC ow (AB + BC)'= AB +BC+ a AB x BC.

Construisez le carré ACDE, prenez AF^zAB, menez FG parallèle à AC, et BH parallèle à AS.

Le carré ABCD est divise en quatre parties : la première ABIF est le carré fait sur AB, puisqu'on a pris AF=AB : la seconde I6DH est le carré £iit sur fiC^.car puisqu'on a AC=3zAE, et AB= AF, la difFéreaçe 4C— AB est égale à la différence AE — AF, ce qui donne BC—F.F; mais. à cause des parallèles IG=BC, et D6 = EF, donc HIGD est égal au can^é £iit sur BG. Ces deux parties étant retranchées du carré total , il xeste les deux rectan; gles BCGI^'EFIH, qui ont cliacun pour mesure AB X BC , donc le carré fait sur AC, etc.

Snolie. Soient a et h les nortiJ)res qui représentent les

LIVHE m. 69

deux parties de k ligne AC; la multiplication algébrique donne 1 égalité :

(a -+. A)»=<i*-t- 6* + ao*/ et en supposant connue la mesure du rectangle, cette égalité donne une seconde démonstration du théorème cidessus.

Une observation semblable doit être Elite sur les deux théorèmes suivants.

PROPOSITION IX

THÉOREMS.

Si la ligne AC est la différence des deux lignes ^* *"'* AB, BC, le carré Jait sur A£ contiendra le carré de AB, plus le carré de BG, moins deux fois le rec-tangle fait sur AB et BC ; cest-à-dire qvHon aura

Âc'oa (AB— BC)* ^TbV BC— a AB x BC.

Construisez le carré ABIF, prenez AE= AC, menez G6 parallèle à BI, HK parallèle à AB, et achevez le carré EFKL.

Les deux rectangles CBIG, 6LKD, ont chacun pour mesure AB X BC : si on les retranche de la figure entière

ABILKEA, qui a pour valeur AB + BC, il est clair qu*il restera le carvé.AQ)£; donc, etc.

Stolie^ Celte proposition se déduit encore de la formule algébrique

(a— A)* = a* + *?• — aa^.

PROPOSITION X

THÉORBMB.

Le rectangle fait sur h somme et la différence de 5- ,„j^ deux lignes AB,BCj estégalà la différence des carrée de

ae^ lignes ; aifh^i on a (AB + BC) X (AB*^BC)s: ÂB— BC."

Construisez sur AB et AC les c^rés ABIF, AGDE; prolongez AB dune cpiaatité BK=BC, et achevez le reo- Ungle AKXE.

La base AK du rectangle est la somme des deux lignes AB, BG, sa hauteur A£ est la différence de ces mêmes lignes ; donc le rectangle AKLE = (AB +BC) X (AB— BC). Mais ce même rectangle est composé des deux parties ABHE + BHLK ; et la partie BHLK est égale au rectangle EDGF, car BH = DE et BK = EF; donc AKLE=zABHE -hEDGF. Or, ces deux parties forment le carré ABIF moins le carré DHIG, qui est le carré fait sur BG; donc enfin (AB+ BC) x (AB— BC)=zAB— BC'.

Soolie. Celte proposition se déduit encore de la fovmule algébrique

PROPOSITION XL

THÉORÈME

Le carré fait sur F hypoténuse dun triangle reetangle est égal à la sorn/ne des carrés faits sar tes deux autres côtés.

fig. 109. Sail ABC un triangle rectamgle en A \i â^ant formi des carrés sur les trois côtéd, abaissez dé' Fannie dfeit sur Vhjpotinuse la perpendiculaire ADqu^ vous pvolongerez jusqu'en E ; tirez ensuite les diagonales AF, CH«

L angle ABF est conap^é de l'angle ABG , plus Tangle droit GBF: l'angle GBH est composé du même angle ABG, plus langle droit ABB; donc l'angle ABF = HBG. Mais y AB = BH comme côté^. d'un même carré , et BF = BG par la même raison ; donc les triangles ABF, HBG, ont un angle égal ccMÛprîs entre côtés égaux; donc ib sont *6, I. égaux ^

hlVRS IIL 71

Le. triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF ( o« pour abréger BE) qui a même base BF et même hauteuir BD *. Le triangle HBG est pareillement la moitié du carré *pr. a- AH ; car Tangle BAC étant droit ainsi que BAL, AC et AL ne font qu'une même ligne droite parallèle à HB^ donc le triangle HBG et le carré AH, qui ont la base commune BH , ont aussi la hauteur commune Afi ; donc le triangle est la moitié du carré.

On a déjà prouvé que le triangle ABF est égal au triangle HBG; donc le rectangle BD£F, double du triangle ABF, est équivalent au carré AH, double du triangle HBG. On démontrera de même que le rectangle CDEG est équivalent au ca|*ré AI; mais les deux rectangles BDEF' CDEG, pris ensemble, font le carré BCGF; donc le carré BCGF, fait sur Fhypoténuse, est égal à la somme des carrés ABHL, ACIK, faits sur les deux autres côtés; ou, en d'autres termes, BC=:AB+ AG.

Seconde démonstraUon, Après avoir ccmstruit des carrés w^ les trois côtés, faites Fangle KHI égal à BGA , prenez HI = GA, et joignez le point I au point K ; le triangle HIK sera égal à BAC.

Joignez encore le point A au point I, le point F au poîià

7 a GEOMETRIE.

E, et tirez la ligne 6A, qui prolongée, passera par le point D.

Les quatre quadrilatères GBCD, GFED , ABHI, ACKI, sont égaux.

Pour démontrer l'égalité des deux premiers, faites tourner la figure GFED autour de GD ; cette ligne étant la bissectrice des angles droits G et D, les côtés GF, DE viendront s'appliquer sur GB et DC, et FE tombera sur BC.

Si Ton veut prouver que GBCD est égal à ABHI , on placera BG sur son égal AB; à cause de légalité des angles GBG, ABH^ le côté BG prendra la direction BH, et le point G tombera en H; enfin, à cause de Tégalité des angles BHI, BGD, GO s'appliquera sur son égal HI.

On prouverait de la même manière que GBCD est égal à AGKI.

Les quatre quadrilatères étant égaux, la figure GBGDEF est équivalente à ABHIKG ; et en retranchant * d*une part les triangles égaux FAE , ABG , et de lautre les triangles ABG, HIK, on conclut que la somme des carrés ABGF, AGDE, est égale au carré BCKH.

Corollaire I. Donc le carré d un des côtés de l'angle droit est égal au carré de l'hypoténuse , moins le carré de

l'autre côté, ce qu'on exprime ainsi : AB = BG — AG. fig. ii8. IL Soit ABCD un carré , AG sa diagonale ; le triangle ABG étant rectangle et isoscèle, on aura AG =

AB-h BG = 2 AB ; donc le carré fait sur la diagonale AG

est double du carré fait sur le côté AB.

Puisque AG : AB : : a : i , on a, en extrayant la racine carrée, AG : AB : : va : i ; donc la diagonale d'un carré est incommensurable avec son côté.

fig. 109. III. On a démontré que le carré AH est équivalent au rectangle BDEF ; or, à cause de la hauteur commune BF, le carré BGGF est au rectangle BDEF comme la iiase BC est à la base BD ; donc,

LIVAK Ilf. 7^

■bC:Âb'::BC:BD.

Donc le carré de V hypoténuse est au carré dCun des côtés de Fangle droit comme Vhypoténuse est au segment adjacent à ce côté. On appelle ici segment la partie de l'hypoténuse déterminée par la perpendiculaire abaissée de Tangle droit; ainsi BD est le segment adjacent au côté A.B, et DC est le segment adjacent au côté AC. On aurait semblablement :

"BC'iÂc':: BC : CD.